2022-2023學(xué)年江蘇省淮安、宿遷七校高一下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．2．在△中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若，且，，則的值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【分析】由正弦定理邊角關(guān)系及已知條件可得，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)有，進(jìn)而應(yīng)用余弦定理求的值.【詳解】由題設(shè)，且，可得，，所以，又，，所以，即.故選：B.3．若圓錐的母線長為，側(cè)面展開圖的面積為，則該圓錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積和體積公式求解即可.【詳解】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則，解得.所以.則圓錐的體積.故選：B4．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再根據(jù)利用兩角差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，則，所以，所以.故選：C5．三星堆古遺址作為“長江文明之源"，被譽(yù)為人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.3號(hào)坑發(fā)現(xiàn)的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會(huì)中神樹的意義提供了重要依據(jù).玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學(xué)者認(rèn)為其外方內(nèi)圓的構(gòu)造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現(xiàn)，如圖，假定某玉琮形狀對(duì)稱，由一個(gè)空心圓柱及正方體構(gòu)成，且圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，圓柱的高為12cm，圓柱底面外圓周和正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知正方體的體對(duì)角線即是外接球的直徑，又因圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，可利用勾股定理得出正方體邊長，繼而求出球的表面積.【詳解】不妨設(shè)正方體的邊長為，球О的半徑為R，則圓柱的底面半徑為a，因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線即為球О直徑，故，利用勾股定理得：，解得，球的表面積為，故選：C.6．P是所在平面上一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積與模長公式，可以得出，由此可判斷出的形狀.【詳解】由，可得，即，，等式兩邊平方，化簡得，，因此，是直角三角形.故選：B.7．在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算及正弦定理可得，由，求得，進(jìn)而可得答案.【詳解】∵，∴，，∴，，∴，，∴，∵，又，∴，即，又，∴.故選：D.8．在中，，為線段上的點(diǎn)，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化，結(jié)合余弦定理，即可求解x,得到.【詳解】不妨設(shè)由余弦定理：聯(lián)立得到：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形和向量綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.二、多選題9．在復(fù)數(shù)集內(nèi)，下列命題是真命題的是（

）A．若復(fù)數(shù)，則B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若復(fù)數(shù)，滿足，則D．若復(fù)數(shù)滿足，則【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，若復(fù)數(shù)，則，，故A為真命題.對(duì)于B，若復(fù)數(shù)，則，但，故B為假命題；對(duì)于C，若復(fù)數(shù)，滿足，但，故C為假命題；對(duì)于D，設(shè)復(fù)數(shù)，則，若，則，所以，故D為真命題；故選：AD10．設(shè)點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則點(diǎn)M、B、C三點(diǎn)共線C．若點(diǎn)M是的重心，則D．若且，則的面積是面積的【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，由平面向量基本定理，變形得到，A正確；假設(shè)點(diǎn)M、B、C三點(diǎn)共線，推導(dǎo)出，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，畫出圖形，結(jié)合向量加法法則及重心的概念及性質(zhì)得到答案；D選項(xiàng)，可以先得到的面積與面積底相同，高線之比為2:3，從而得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，假設(shè)點(diǎn)M、B、C三點(diǎn)共線，則，即，整理得：，故當(dāng)時(shí)，即，與條件中的不一致，所以點(diǎn)M、B、C三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)誤；如圖，取BC中點(diǎn)H，連接AH，若點(diǎn)M是的重心，則點(diǎn)M在AH上，且MA=2MH，則，則，C正確；D選項(xiàng)，由于，而，所以，其中，不妨設(shè)，則Q點(diǎn)在直線BC上，由于與同底，而高線之比等于與的比，即比值為2:3，所以的面積是面積的，D正確.故選：ACD11．在中，下列結(jié)論中，正確的是（

）A．若，則是等腰三角形或直角三角形B．若，則C．若，則為鈍角三角形D．若，，且結(jié)合的長解三角形，有兩解，則長的取值范圍是【答案】BC【分析】利用倍角公式化簡，再利用正弦定理即可判斷A；利用正弦定理與大邊對(duì)大角的原則，即可判斷B；利用余弦定理即可判斷C；舉反例即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，則，故，又，則，所以，故由正弦定理得，所以是等腰三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，則由正弦定理得，又由大邊對(duì)大角可得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?，又，故角為鈍角，則為鈍角三角形，故C正確；對(duì)于D，取，因?yàn)?，，即，所以是正三角形，顯然，此時(shí)是唯一確定的，不滿足題意，故長的取值范圍不可能為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．在長方體中，，，，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)且滿足，則（

）A．無論，取何值，三棱錐的體積為定值30B．當(dāng)時(shí)，的最小值為C．當(dāng)時(shí)，直線與直線恒為異面直線D．當(dāng)時(shí)，平面【答案】BD【分析】對(duì)于各選項(xiàng)分別確定點(diǎn)即可求解.【詳解】對(duì)于A，在長方體中，由于動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，所以點(diǎn)到平面的距離恒為3，又，所以，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，將矩形和矩形展開為矩形,則，故B正確；

對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由得，所以點(diǎn)在線段上,由于，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)直線與直線平行，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由得點(diǎn)在線段上，連接，

因?yàn)樵陂L方體中，所以可得，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平面，而平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故D正確；故選：BD.三、填空題13．已知向量，，則向量在向量的方向上的投影向量的坐標(biāo)為．【答案】【分析】由于已知向量,利用一個(gè)向量在另一個(gè)向量上投影向量的定義即可求得.【詳解】向量,而向量在向量的方向上的投影為，,,向量在向量的方向上的投影為:;故向量在向量的方向上的投影向量為.故答案為：.14．化簡：＝.【答案】1【分析】化簡得原式為，再進(jìn)一步化簡即得解.【詳解】原式＝.故答案為：1【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角恒等變換常用的方法：三看（看角看名看式）三變(變角變名變式）.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.15．“牟合方蓋”是我四古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何模型，在正方體內(nèi)作兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分就是牟合方蓋．如圖，已知棱長為2的正方體除去按上述方法截得的牟合方蓋后剩余的體積是，則牟合方蓋與截得它的正方體的外接球的體積之比是．【答案】【分析】利用正方體的體積公式及正方體的體對(duì)角線等于正方體外接球的直徑，結(jié)合球的體積公式即可求解.【詳解】由題意可知，正方體的體積為,因?yàn)榧褐忾L為2的正方體除去按上述方法截得的牟合方蓋后剩余的體積是，所以牟合方蓋的體積為.設(shè)正方體的外接球的半徑為,則易知，正方體的體對(duì)角線等于正方體外接球的直徑，即,解得，所以正方體的外接球的體積為.所以牟合方蓋與截得它的正方體的外接球的體積之比是.故答案為：.16．已知的外心為，滿足，則的最小值是.【答案】【分析】依題意作圖，取BC的中點(diǎn)D，則有，再由向量的線性表示和向量數(shù)量積的運(yùn)算得出，，，代入已知得，由余弦定理表示，再由基本不等式可求得的最小值.【詳解】依題意作圖，取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AD，在中，記，，，因?yàn)榈耐庑臑镺，則，因?yàn)?，又，所以，同理可得，，由得，，?在中，由余弦定理得，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.故答案為：.四、解答題17．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足.(1)求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可化簡復(fù)數(shù)，由共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解，（2）由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，由模長公式即可求解.【詳解】（1）∵，∴，∴復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，（2），∴，又，即，∴.18．設(shè)向量，滿足，且.(1)求與的夾角；(2)求的大小.【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)與的夾角為，利用即可求出答案；（2）利用即可求出答案【詳解】（1）∵，；∴，∴，則，∵，∴與的夾角為；（2）∵，∴.19．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)F．(1)求證：平面；(2)求證：F為的中點(diǎn)；【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；【分析】（1）連接AC交BD于點(diǎn)G，連接GE，根據(jù)ABCD為平行四邊形，得到G為AC的中點(diǎn)，再由E為PC的中點(diǎn)，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）先由，利用線面平行的判定定理得到平面ABEF，再利用線面平行的性質(zhì)定理得到求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：連接AC交BD于點(diǎn)G，連接GE，因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以G為AC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，所以，又平面BDE，平面BDE，所以平面；（2）因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，所以，又平面ABEF，平面ABEF，所以平面ABEF，又平面平面，所以，又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以F為的中點(diǎn).20．如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的，位于該市的某大學(xué)與市中心的距離km，且.現(xiàn)要修筑一條鐵路，在上設(shè)一站，在上設(shè)一站，鐵路在部分為直線段，且經(jīng)過大學(xué)，其中，，km.

(1)求大學(xué)與站的距離；(2)求鐵路段的長.【答案】(1)km(2)km【分析】（1）在中運(yùn)用余弦定理即可；（2）首先利用正弦定理求得，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求得和的值，再在中利用正弦定理即可求得的長.【詳解】（1）在中，，，且，，由余弦定理，得，所以，所以大學(xué)與站的距離為km；（2）因?yàn)?，且為銳角，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，由題意知為銳角，所以，所以，因?yàn)?，，且為銳角，所以，，所以，又，所以，在中，由正弦定理，得，即，解得，所以鐵路段的長為km.21．已知△的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求；(2)若△的面積為為內(nèi)角A的角平分線，交邊于點(diǎn)D，求線段長的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行角換邊得，再利用余弦定理即可得到答案；（2）求出，結(jié)合三角形面積公式得，再利用二倍角的余弦公式得，最后再次根據(jù)三角形面積公式和基本不等式即可得到答案.【詳解】（1）由正弦定理，得，即，故根據(jù)余弦定理有.（2）因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，解得，又因?yàn)?，，所以，所以，所以．于?那么．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故的最大值為．22．如圖（1），六邊形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿進(jìn)行翻折，得到的圖形如圖（2）所示，且.(1)求二面角的余弦值；(2)求四棱錐外接球的體積.【答案】(1)(2)【分析】（1）作，連接，則，證得平面，得到再證得平面，得到，進(jìn)而得到就是二面角的平面角，在直角中，即可求解；（2）取的中點(diǎn)，連接，得到為等腰梯形的外心，取的中點(diǎn)，