第9章異方差:如果誤差方差不是常數(shù)會(huì)有什么結(jié)果古典線性回歸模型（CLRM）的基本假定中有一條是：隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是同方差的。如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)ui隨著i的不同而不同，我們稱隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)具有異方差性。本章主要討論的是以下問題：（1）異方差有什么性質(zhì)？（2）異方差的后果是什么？（3）如何檢驗(yàn)異方差的存在與否？（4）異方差有那些補(bǔ)救措施？9.1異方差的性質(zhì)9.2異方差的后果9.3異方差的診斷9.4異方差的補(bǔ)救措施9.5White異方差校正后的標(biāo)準(zhǔn)誤和t統(tǒng)計(jì)量9.6若干異方差實(shí)例9.7小結(jié)9.1異方差的性質(zhì)XY儲(chǔ)蓄0X0Y儲(chǔ)蓄(a)同方差(b)異方差個(gè)人可支配收入個(gè)人可支配收入異方差：E(ui2)=

i2返回首頁例9.1放松管制后紐約股票交易所(NYSE)的經(jīng)紀(jì)人傭金1975年四五月間，債券交易委員會(huì)廢除了對(duì)于紐約股票交易所股票交易固定傭金率的規(guī)定，允許股票經(jīng)紀(jì)人在競(jìng)爭的基礎(chǔ)上索取傭金。表9-1給出了從1975年4月到1978年12月間經(jīng)紀(jì)人對(duì)機(jī)構(gòu)投資者索要的平均每股傭金的季度數(shù)據(jù)。表9-1中X1—傭金率，美分/股(0至199股)

X2—傭金率，美分/股(200至999股)X3—傭金率，美分/股(1000至9999股)X4—傭金率，美分/股(10000股以上)

表9-1：紐約股票交易所傭金率趨勢(shì)(單位：美分/股)表9-1的數(shù)據(jù)有兩個(gè)特征1.放松管制以來，傭金率有下降的趨勢(shì)2.四類傭金率的均值、方差存在顯著差異(見表9-1和下圖)傭金率四類傭金率的方差有顯著差異，也就是說，隨著股票交易量的增大，傭金率的方差也隨之變化，這就是異方差。如果我們想建立一個(gè)回歸模型來解釋傭金率對(duì)股票交易數(shù)量(和其它變量)的函數(shù)，那么與高交易量客戶相關(guān)的誤差項(xiàng)方差將會(huì)低于與低交易量客戶相關(guān)的誤差項(xiàng)方差。這對(duì)我們建立的回歸模型是否有影響、有怎樣的影響？該怎樣修正？下面來看例9.2。例9.2523個(gè)工人的工資等數(shù)據(jù)表9-2（見Excel文件）給出了一個(gè)純截面數(shù)據(jù)的例子。表中收集了523個(gè)工人的工資、受教育年限和工齡等數(shù)據(jù)?？紤]以下模型：Eviews軟件回歸結(jié)果如下：DependentVariable:WAGE

Method:LeastSquaresSample:1523

Includedobservations:523VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-4.5244721.239348-3.6506870.0003EDUC0.9130180.08219011.108680.0000EXPER0.0968100.0177195.4635130.0000R-squared0.194953

Meandependentvar9.118623AdjustedR-squared0.191856

S.D.dependentvar5.143200S.E.ofregression4.623573

Akaikeinfocriterion5.905932Sumsquaredresid11116.26

Schwarzcriterion5.930366Loglikelihood-1541.401

F-statistic62.96235Durbin-Watsonstat1.867684

Prob(F-statistic)0.000000（9-3）例9-3圖9-3回歸方程(9-3)的殘差平方圖9-49.2異方差的后果OLS估計(jì)量仍是線性無偏的，但不再具有有效性，即不再具有最小方差性。殘差方差不再是真實(shí)的無偏估計(jì)量根據(jù)常用估計(jì)OLS估計(jì)量方差的公式得到的方差通常是有偏的。T檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)失效回到例9.2中得到的回歸方程(9-3)，由于異方差的存在，該方程的t檢驗(yàn)失效。返回首頁我們來簡單看一下為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的后果。

運(yùn)用普通最小二乘法的原理是要使殘差平方和最小，如果在異方差情況下仍然使用普通最小二乘法，每一個(gè)ei2都有同樣的權(quán)重，無論它是來自于一個(gè)較大方差的總體還是來自于一個(gè)較小方差的總體。這樣做是不合適的。我們應(yīng)該給那些取自較小方差總體的觀察值以更大的權(quán)重，而給那些取自較大方差總體的觀察值以較小的權(quán)重，這能夠使我們更為精確地估計(jì)總體回歸函數(shù)。這就是加權(quán)最小二乘法(weightedleastsquares)。圖9-59.3異方差的診斷：如何知道存在異方差問題對(duì)具體問題異方差的檢驗(yàn)并非易事，因?yàn)槲覀儍H僅知道一個(gè)樣本，很難知道總體的情況，是否是異方差便不易確定。直接計(jì)算得到方差不太可能，但我們可以借助于一些檢測(cè)工具來檢驗(yàn)異方差是否存在。檢驗(yàn)方法有（1）根據(jù)問題的性質(zhì)（2）殘差的圖形檢驗(yàn)（3）帕克檢驗(yàn)

(Parktest)（4）Glejser檢驗(yàn)(Glejsertest)

（5）White檢驗(yàn)（6）異方差的其它檢驗(yàn)方法返回首頁9.3.1根據(jù)問題的性質(zhì)所考察問題的性質(zhì)往往提供了是否存在異方差的信息。在涉及不均勻單位的橫截面數(shù)據(jù)中，常存在異方差。在例9.2中便是如此。我們可以根據(jù)問題的性質(zhì)定性地分析是否存在異方差問題。這是常用方法之一。9.3.2殘差的圖形檢驗(yàn)對(duì)回歸得到的殘差作圖進(jìn)行分析是常用的另一種異方差的檢驗(yàn)方法。為觀察異方差的存在與否，我們常常使用的殘差圖有下列幾種：1.殘差ei對(duì)X的散點(diǎn)圖；2.殘差ei對(duì)每一個(gè)解釋變量的散點(diǎn)圖；3.殘差ei對(duì)應(yīng)變量的估計(jì)值的散點(diǎn)圖；4.殘差平方ei2對(duì)X的散點(diǎn)圖；5.殘差平方ei2對(duì)每一個(gè)解釋變量的散點(diǎn)圖；6.殘差平方ei2對(duì)應(yīng)變量的估計(jì)值的散點(diǎn)圖；如果圖形中沒有可觀察到的系統(tǒng)模式，表明數(shù)據(jù)中可能不存在異方差，否則表明數(shù)據(jù)中很可能存在異方差。0Xe2a)0Xe2b)0Xe2e)0Xe2d)0Xe2c)..........…...............................................................................回到例9.2，現(xiàn)在我們做ei2對(duì)X的散點(diǎn)圖。圖9-7與（9.3）式工資的估計(jì)值

9.3.3帕克檢驗(yàn)(Parktest)

如果存在異方差，異方差中的方差可能與一個(gè)或多個(gè)解釋變量系統(tǒng)相關(guān)。為此，我們可作

i2對(duì)一個(gè)或多個(gè)解釋變量的回歸。例如在雙變量模型中，可運(yùn)行下面的回歸方程：

ln

i2=B1+B2lnXi+vi(9-4)

其中vi是誤差項(xiàng)。這就是帕克檢驗(yàn)。由于方差

i2是未知的，帕克建議用ei來代替

i，運(yùn)行如下回歸方程：

lnei2=B1+B2lnXi+vi(9-5)

ei2可從原始的回歸方程中獲得，比如模型(9-3)。帕克檢驗(yàn)的步驟：作普通最小二乘回歸，不考慮異方差問題。從原始回歸方程中得殘差ei，求其平方，再取對(duì)數(shù)。利用原始模型中的每個(gè)解釋變量作形如(9-5)的回歸?；蜃鱡i2對(duì)Y的估計(jì)值的回歸。檢驗(yàn)零假設(shè)B2=0，也即不存在異方差。如果拒絕零假設(shè)，則意味著可能存在異方差，但接受零假設(shè)并不意味著一定不存在異方差。在5％的顯著水平下，估計(jì)的斜率系數(shù)是統(tǒng)計(jì)顯著的。帕克檢驗(yàn)的缺陷：在上述回歸方程中，誤差項(xiàng)vi本身可能存在異方差。所以，判斷回歸方程中是否存在異方差，可能需要更多的檢驗(yàn)。另外：帕克所選擇的特殊函數(shù)形式只是建議性的，其它的函數(shù)形式也許會(huì)使我們得到不同的結(jié)論。例9.3工資回歸與帕克檢驗(yàn)我們來解釋工資回歸方程(9-3)。把從這個(gè)回歸方程中得到的殘差提取出來，估計(jì)得到如下結(jié)果（lsss1^2cwagef）

：=-10.35965+3.467se=(11.795)(1.255)(9-6)t=(-0.8783)(2.762)r2=0.0.0144p=(0.3802)(0.0059)取對(duì)數(shù)后Eviews軟件的回歸結(jié)果如下：lslog(ss1^2)clog(wagef)DependentVariable:LOG(ss1^2)Method:LeastSquaresSample:1523Includedobservations:522VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-3.3509780.809702-4.1385330.0000LOG(WAGEF)2.2319660.3686666.0541620.0000R-squared0.211964

Meandependentvar1.518696AdjustedR-squared0.162712

S.D.dependentvar2.194627S.E.ofregression2.024705

Akaikeinfocriterion4.347534Sumsquaredresid65.59091

Schwarzcriterion4.363847Loglikelihood-37.17848

F-statistic36.65287Durbin-Watsonstat1.661072

Prob(F-statistic)0.0000009.3.4Glejser檢驗(yàn)(Glejsertest)Glejser檢驗(yàn)實(shí)質(zhì)上與帕克檢驗(yàn)很相似。

Glejser建議作ei的絕對(duì)值對(duì)X的回歸。

Glejser建議的一些函數(shù)形式如下：

(9-8)(9-9)(9-7)每種情形的零假設(shè)都是不存在異方差，零假設(shè)為B2=0。如果零假設(shè)被拒絕，則表明可能存在異方差。例9.4工資回歸與Glejser檢驗(yàn)根據(jù)回歸方程(9-3)的殘差估計(jì)前面模型，得到的結(jié)果如下：(9-10)(9-11)(9-12)Eviews軟件回歸：分別用在編輯框用以下命令即可：lsabs(ss1)cEduclsabs(ss1)cEduc^0.5lsabs(ss1)c1/Educ結(jié)果見Eviews文件。對(duì)回歸方程(9-3)的殘差估計(jì)以上模型，對(duì)斜率系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，從而判斷是否存在異方差?？梢钥闯鋈齻€(gè)方程的檢驗(yàn)結(jié)果都是一樣的，即拒絕零假設(shè)，斜率系數(shù)是統(tǒng)計(jì)顯著的，存在異方差。對(duì)Glejser檢驗(yàn)要注意的問題與帕克檢驗(yàn)一樣，上述方程中的誤差項(xiàng)本身可能就存在異方差和系列相關(guān)問題，但對(duì)于大樣本，上述模型能很好地檢驗(yàn)異方差問題。9.3.5White檢驗(yàn)(White’sGeneralHeteroscedasticityTest)

對(duì)模型Yi=B1+B2X2i+B3X3i+uiWhite檢驗(yàn)步驟如下：用普通最小二乘法估計(jì)上面回歸方程，得到殘差ei。作輔助回歸：ei2=A1+A2X2i+A3X3i+A4X2i2+A5X3i2+A6X2iX3i+vi求輔助回歸方程的R2值。因?yàn)榇薘2值與樣本容量(n)的乘積服從分布，自由度等于該方程中解釋變量的個(gè)數(shù)(不包括截距項(xiàng))。計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。（零假設(shè)：不存在異方差）例9.5工資回歸與懷特的一般異方差檢驗(yàn)繼續(xù)回到模型(9-3)，懷特異方差檢驗(yàn)的回歸結(jié)果如下：（在Eviews中White檢驗(yàn)的操作較為簡單，只需要在(9-3)的回歸輸出結(jié)果中用View－ResidualTest-WhiteHeteroskedasticity即可。）

WhiteHeteroskedasticityTest:F-statistic2.269163Probability0.046542Obs*R-squared11.23102Probability0.046987TestEquation:DependentVariable:RESID^2Method:LeastSquaresVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C14.3829671.34