近世代數(shù)模擬試題一一、單項選擇題1、設(shè)A＝B＝R(實數(shù)集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，則是從A到B的(C)A、滿射而非單射 B、單射而非滿射C、一一映射 D、既非單射也非滿射3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，這個解乘法來說是(B)A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(兩方程解一樣)4、當G為有限群，子群H所含元的個數(shù)與任一左陪集aH所含元的個數(shù)(C)A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n階有限群G的子群H的階必須是n的(D)A、倍數(shù)B、次數(shù)C、約數(shù)D、指數(shù)二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，則e稱為環(huán)R的單位元。3、環(huán)的乘法一般不交換。如果環(huán)R的乘法交換，則稱R是一個交換環(huán)。4、偶數(shù)環(huán)是整數(shù)環(huán)的子環(huán)。5、一個集合A的若干個變換的乘法作成的群叫做A的一個變換群。6、每一個有限群都有與一個置換群同構(gòu)。7、全體不等于0的有理數(shù)對于普通乘法來說作成一個群，則這個群的單位元是1，元a的逆元是。8、設(shè)和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么---------。9、一個除環(huán)的中心是一個-域-----。三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)1、設(shè)置換和分別為：，，判斷和的奇偶性，并把和寫成對換的乘積。為奇置換，為偶置換3、設(shè)集合，定義中運算“”為a+b=(a+b)(modm),則(，)是不是群，為什么？答：(，)不是群，因為中有兩個不同的單位元素0和m。四、證明題(本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分)1、設(shè)是群。證明：如果對任意的，有，則是交換群。2、假定R是一個有兩個以上的元的環(huán)，F(xiàn)是一個包含R的域，那么F包含R的一個商域。證明：在F里有意義，作F的子集顯然是R的一個商域證畢。近世代數(shù)模擬試題二一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、設(shè)G有6個元素的循環(huán)群，a是生成元，則G的子集(C)是子群。A、B、C、D、2、下面的代數(shù)系統(tǒng)(G，*)中，(D)不是群A、G為整數(shù)集合，*為加法B、G為偶數(shù)集合，*為加法C、G為有理數(shù)集合，*為加法D、G為有理數(shù)集合，*為乘法3、在自然數(shù)集N上，下列哪種運算是可結(jié)合的？(B)A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、設(shè)、、是三個置換，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，=(1324)，則=(B)A、B、C、D、二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、凱萊定理說：任一個子群都同一個---變換群-------同構(gòu)。2、一個有單位元的無零因子---交換環(huán)--稱為整環(huán)。3、已知群中的元素的階等于50，則的階等于---25---。4、a的階若是一個有限整數(shù)n，那么G與---Zn模n剩余類加群----同構(gòu)。7、叫做域的一個代數(shù)元，如果存在的—不都等于零的元---使得。8、是代數(shù)系統(tǒng)的元素，對任何均成立，則稱為----右單位元-----。9、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結(jié)合律成立、----兩個消去律成立-----。10、一個環(huán)R對于加法來作成一個循環(huán)群，則P是----交換環(huán)------。三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)1、設(shè)集合A={1,2,3}G是A上的置換群，H是G的子群，H={I,(12)}，寫出H的所有陪集。解：H的3個右陪集為：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}H的3個左陪集為：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、設(shè)E是所有偶數(shù)做成的集合，“”是數(shù)的乘法，則“”是E中的運算，(E，)是一個代數(shù)系統(tǒng)，問(E，)是不是群，為什么？答：(E，)不是群，因為(E，)中無單位元3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.近世代數(shù)模擬試題三一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是(C)。A、2階B、3階C、4階D、6階2、設(shè)G是群，G有(C)個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個B、5個C、6個D、7個5、設(shè)S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有(A)A、(1)，(123)，(132)逆元B、(12)，(13)，(23)

C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。3、區(qū)間[1，2]上的運算的單位元是---2----。4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=————24——————。5、環(huán)Z8的零因子有---------------------。6、一個子群H的右、左陪集的個數(shù)—相等--------。7、從同構(gòu)的觀點，每個群只能同構(gòu)于他/它自己的----商群-----。8、無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為R的----特征-------。三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？8種2、S1，S2是A的子環(huán)，則S1∩S2也是子環(huán)。S1+S2也是子環(huán)嗎？因為S1，S2是A的子環(huán)，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：3、設(shè)有置換，。1．求和；2．確定置換和的奇偶性。偶置換四、證明題(本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分)1、一個除環(huán)R只有兩個理想就是零理想和單位理想。證明：假定是R的一個理想而不是零理想，那么a，由理想的定義，因而R的任意元這就是說=R，證畢。近世代數(shù)模擬試題四一、單項選擇題4.設(shè)Z15是以15為模的剩余類加群，那么，Z15的子群共有(B)個。A.2 B.4C.6 D.85.下列集合關(guān)于所給的運算不作成環(huán)的是(D)A.整系數(shù)多項式全體Z［x］關(guān)于多項式的加法與乘法B.有理數(shù)域Q上的n級矩陣全體Mn(Q)關(guān)于矩陣的加法與乘法C.整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝0D.整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝1二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。6.設(shè)“～”是集合A的一個關(guān)系，如果“～”滿足反身性、對稱性、傳遞性，則稱“～”是A的一個等價關(guān)系。9.如果G是一個含有15個元素的群，那么，根據(jù)Lagrange定理知，對于a∈G，則元素a的階只可能是____5,15,1,3,_______。10.在3次對稱群S3中，設(shè)H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一個不變子群，則商群G/H中的元素(12)H＝____{(12),(23),(14)}_______。12.設(shè)R是一個無零因子的環(huán)，其特征n是一個有限數(shù)，那么，n是___素數(shù)____13.設(shè)Z［x］是整系數(shù)多項式環(huán)，(x)是由多項式x生成的主理想，則(x)＝_____________。15.有理數(shù)域Q上的代數(shù)元+在Q上的極小多項式是。三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)16.設(shè)Z為整數(shù)加群，Zm為以m為模的剩余類加群，是Z到Zm的一個映射，其中 ：k→［k］，k∈Z，驗證：是Z到Zm的一個同態(tài)滿射，并求的同態(tài)核Ker。17.求以6為模的剩余類環(huán)Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子環(huán)，并說明這些子環(huán)都是Z6的理想。18.試說明唯一分解環(huán)、主理想環(huán)、歐氏環(huán)三者之間的關(guān)系，并舉例說明唯一分解環(huán)未必是主理想環(huán)。每一個歐幾里得環(huán)都是主理想整環(huán)，每一個主理想整環(huán)都是唯一分解環(huán)。整環(huán)是主理想整環(huán)，但是不是唯一分解環(huán)。四、證明題20.設(shè)已知R關(guān)于矩陣的加法和乘法作成一個環(huán)。證明：I是R的一個子環(huán)，但不是理想。近世代數(shù)試卷一、判斷題(下列命題你認為正確的在題后括號內(nèi)打“√”，錯的打“×”；每小題1分，共10分)2、設(shè)、、都是非空集合，則到的每個映射都叫作二元運算。(F)3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。(T)4、如果循環(huán)群中生成元的階是無限的，則與整數(shù)加群同構(gòu)。(T)5、如果群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。(F)6、群的子群是不變子群的充要條件為。(T)7、如果環(huán)的階，那么的單位元。(T)8、若環(huán)滿足左消去律，那么必定沒有右零因子。(T)9、中滿足條件的多項式叫做元在域上的極小多項式。(F)10、若域的特征是無限大，那么含有一個與同構(gòu)的子域，這里是整數(shù)環(huán)，是由素數(shù)生成的主理想。(F)定理：若域F的特征是p，則F包含一個與模p剩余類環(huán)Zp同構(gòu)的子域；若域F的特征是0，則F包含一個與有理數(shù)域同構(gòu)的子域。二、單項選擇題(從下列各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其號碼寫在題干后面的括號內(nèi)。答案選錯或未作選擇者，該題無分。每小題1分，共10分)1、設(shè)和都是非空集合，而是到的一個映射，那么(2)①集合中兩兩都不相同；②的次序不能調(diào)換；③中不同的元對應的象必不相同；④一個元的象可以不唯一。2、指出下列那些運算是二元運算(4)①在整數(shù)集上，；②在有理數(shù)集上，；③在正實數(shù)集上，；④在集合上，。3、設(shè)是整數(shù)集上的二元運算，其中(即取與中的最大者)，那么在中(3)①不適合交換律；②不適合結(jié)合律；③存在單位元；④每個元都有逆元。4、設(shè)為群，其中是實數(shù)集，而乘法，這里為中固定的常數(shù)。那么群中的單位元和元的逆元分別是(4)①0和；②1和0；③和；④和。5、設(shè)和都是群中的元素且，那么(2)1①；②；③；④。7、設(shè)是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是(4)①的同態(tài)核是的不變子群；②的不變子群的逆象是的不變子群；③的子群的象是的子群；④的不變子群的象是的不變子群。群的子群是不變子群的充要條件為。(8、設(shè)是環(huán)同態(tài)滿射，，那么下列錯誤的結(jié)論為(4)3①若是零元，則是零元；②若是單位元，則是單位元；③若不是零因子，則不是零因子；④若是不交換的，則不交換。知識點：同態(tài)一定會將零元映成零元，但單位元不一定映成單位元；若是滿同態(tài)映射，單位元會映成單位元；若是無零因子環(huán)，單位元會映成單位元；9、下列正確的命題是(4)①歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；②主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；③唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；④唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。三、填空題(將正確的內(nèi)容填在各題干預備的橫線上，內(nèi)容填錯或未填者，該空無分。每空1分，共10分)5、凱萊定理說：任一個子群都與一個變換群同構(gòu)。7、若是有單位元的環(huán)的由生成的主理想，那么中的元素可以表達為。8、若是一個有單位元的交換環(huán)，是的一個理想，那么是一個域當且僅當是一個最大理想。若是一個有單位元的交換環(huán)，是的一個理想，那么是一個整環(huán)當且僅當是一個素理想。9、整環(huán)的一個元叫做一個素元，如果p既不是零元，也不是單位，且p只有平凡因子。10、若域的一個擴域叫做的一個代數(shù)擴域，如果E的每一個元都是F上的一個代數(shù)元。四、改錯題(請在下列命題中你認為錯誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫在預備的橫線上面。指出錯誤1分，更正錯誤2分。每小題3分，共15分)1、如果一個集合的代數(shù)運算同時適合消去律和分配律（結(jié)合律與交換律），那么在里，元的次序可以掉換。2、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律（消去律）成立。3、設(shè)和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么。（S=I或S=R）4、唯一分解環(huán)的兩個元和不一定會有最大公因子（一定有最大公因子），若和都是和的最大公因子，那么必有（d和d′只能差一個單位因子）；5、叫做域的一個代數(shù)元，如果存在的都不等于零（不都等于零的元）的元使得。六、證明題(每小題10分，共40分)1、設(shè)和是一個群的兩個元且，又設(shè)的階，的階，并且，證明：的階。2、設(shè)為實數(shù)集，，令，將的所有這樣的變換構(gòu)成一個集合，試證明：對于變換普通的乘法，作成一個群。4、設(shè)是有限可交換的環(huán)且含有單位元1，證明：中的非零元不是可逆元就是零因子?；A(chǔ)測驗題填空題(42分)1、設(shè)集合與分別有代數(shù)運算與，且，則當滿足結(jié)合律時，也滿足結(jié)合律；當滿足交換律時，也滿足交換律。4、設(shè)是任意一個循環(huán)群，若，則與整數(shù)加群同構(gòu)；若，則與模n剩余類加群同構(gòu)；5、設(shè)G=為6階循環(huán)群，則G的生成元有；子群有；6、n次對稱群的階是n!;置換的階是4；8、設(shè)，則；9、設(shè)H是有限群G的一個子群，則|G|=|