2.4向量的數(shù)量積(1)

物理上力所做的功實(shí)際上是將力分解，只有在位移方向上的力做功．θsF思考1：如圖，一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，且力F與位移s的夾角為θ，那么力F所做的功W是多少？

W=|F|

|s|cos

其中|F|cosθ是F在物體位移方向上的分量的數(shù)量。思考2：功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量所確定，數(shù)學(xué)上，我們把“功”稱為向量F與s“數(shù)量積”.

模仿力做功公式，我們定義向量的數(shù)量積的運(yùn)算.

一般地，對(duì)于非零向量a與b的數(shù)量積是指什么？

W=|F|

|s|cos

向量的夾角范圍：O(一)向量的夾角O請(qǐng)判斷，在下列各圖中AOB是否為給出向量的夾角(1)oAB(4)oAB(3)oAB(2)oAB向量的夾角注意點(diǎn)1.在兩向量的夾角的定義中，兩向量必須是同起點(diǎn)．當(dāng)θ＝０時(shí)，a與b同向當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b反向當(dāng)θ＝π／2時(shí)，a與b垂直，記作ab2.θ∈[０,π]通過(guò)平移變成共起點(diǎn)！如圖，等邊三角形中，求（1）AB與AC的夾角；（2）AB與BC的夾角。

（3）AC與BC的夾角。ABC(二)平面向量的數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為

，我們把數(shù)量

叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

，即規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0．（1）向量數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，其值的符號(hào)由夾角決定：（3）

a·b不能寫(xiě)成a×b

，a×b

表示向量的另一種運(yùn)算．（2）向量數(shù)量積是一種新的運(yùn)算法則，以前所學(xué)的運(yùn)算律、性質(zhì)并不一定成立．當(dāng)θ∈［０,π/2)時(shí),a.b＞０當(dāng)θ∈(π/２,π］時(shí),a.b＜０當(dāng)θ=π/2,a.b=0例題講解例．已知|a|=2,|b|=3分別在下列條件下求a·b.解：（1）a·b=|a||b|cosθ（1）θ＝1350（2）a∥b(3)a⊥b=2×3×cos1350（2）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=2×3=6當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=－2×3=－6（3）a·b=|a||b|cosθ

=2×3×cos900

=01.已知|p

|=8,|q

|=6,向量p和q

的夾角是60°,求p·q.

2.設(shè)|a|=12,|b|=9,a·

b=?54,求

a

與b之間的夾角。3.已知|a|=4,е為單位向量,它們的夾角為1200

，求a·е

學(xué)生練習(xí)例.已知在△ABC中，BC=５，CA=８，∠C=６００，求BC.CA∵∠C=６００∴向量BC與CA所成的角為１２００=5×8x(-1/2)=-20BC.CA=BCCAcos１２００解：ABC學(xué)生練習(xí)討論性質(zhì)：（1）a⊥ba·b=0

(判斷兩非零向量a、b垂直的依據(jù))

（2）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a|·|b|，當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a|·|b|

．特別地（3）（4）a·b≤|a|·|b|交換律：對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律：分配律：（5）運(yùn)算率

辨析題:2）若a≠0,且a·b=a·c,則b=c.5）若|a·b|≥|a|·|b|，則a∥b.例題講解0

·

b=0．若a

·

b=0，則a

·

b中至少有一個(gè)為0．若a

·

b=a

·

c,則b≠c,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)成立．6）對(duì)任意向量a有3）(a·b)c=a(b·c).數(shù)量積不滿足結(jié)合律數(shù)量積不滿足消去律已知|a

|=4,|b

|=6,向量a和b的夾角是60°,求a.

(a+b),(2a-b).

(a+3b)的值已知|a

|=2,|b

|=3,向量a和b的夾角是120°,求|a+b|的值已知|a

|=|b

|=1,|3a-2b|=3，求|3a+b|的值例題講解學(xué)生練習(xí)學(xué)生練習(xí)性質(zhì)：（1）a⊥ba·b=0

(判斷兩非零向量a、b垂直的依據(jù))

（2）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a|·|b|，當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a|·|b|

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