?波分析的應用領域十分廣泛，它包括小波分析的應用領域十分廣泛，它包括在醫(yī)學成像方面的減少B超、CT有了傅立葉變換，我們可以很容易地將時域信號f(t)轉換到頻200年里，傅立葉分析在科學與工程領域發(fā)揮了巨大的作用，有了傅立葉變換，我們可以很容易地將時域信號f(t)轉換到頻號的前面幾項，這種能量集中性有利于進一步的處理。在過去200年里，傅立葉分析在科學與工程領域發(fā)揮了巨大的作用，歌聲是一種聲音震蕩的波函數(shù)，其傅立葉變換就是將這個歌聲是一種聲音震蕩的波函數(shù)，其傅立葉變換就是將這個波函數(shù)轉化成某種樂譜。但遺憾地是，傅立葉變換無法反映信號在哪一時刻有高音，在哪一時刻有低音，因此結果是所有的

fte f(t)=

fte

f(t)

X(W)

x[n]e-jW

p2p-pX()

n

x[n]

x[n]

1

X

jndX[k]

-j2pN

= ,

=0,1,...,N-

1N-

1N-x[n]=X[k]eN

XkW X[k]

N

j2nk

N ,N

0,1,...,N1x[n]

1NX[k]e

1N1 Xk

nk,

N

F(t)fiF2pf(-w)f(t-a)fiFF(w)e-F(t)2ff

a)

F()e

Ff(t)*f(t)fiF(w)F(w)F f f

FfiF(w)*F(w) 2p f(t)*f(t)F

f(t)f(t) 1F()

+￥f(t)f*(t)dt

F(w)F*(w-￥ 2p-￥ tt

f(t)2dt=1

2 2

F(

)2 2p- f(t)f*(t)dt F()F*()d 2

f1t

f2t

1f(t)2dt1

F()2d

F(

)2元，是在能量有限空間L2(R上滿足允許條件的函數(shù)，這樣認識小波需要L2(R空間的基礎知識，特別是內積空間中空f

2 元，是在能量有限空間L2(R上滿足允許條件的函數(shù)，這樣認識小波需要L2(R空間的基礎知識，特別是內積空間中空一個信號從數(shù)學的角度來看，它是一個自變量為時間tf(t)

2

y0￡f(x,y)￡圖像是二維信號，同樣是能量有限的。實際上任何一幅數(shù)字圖像都是從真實的場景中經(jīng)過采樣和量化處理后得到的。從y0f(x,y)

xx傅里葉（Fourier)分析

f

(x)

f(x)

dxxx1

nk nx 2x kk x

maxk1kk

,gL2f,

f(x)g*(x)dx

Rn

,g

f(

fn),

(g1,g2,...gnnf,g

...

fn

fiL2(R)={f

+￥f(x)

dx<￥} x1=k 2x2= k

X ae(t),t,aR,kZ X{ek(tX

￥ =max￥

ak的取值是惟一的。此時k(t)}Xx

，則稱x,yxy

L2"f<f,

f(x)g*(x)dx例2：在nRn，"f,g? f=(f1,f2,...,fn),g=(g1,g2,...gnn<f,g>=f1g1+...+fn =

fi若內積空間

e,

(mn)

0,m

m則稱{en}為

x

x

x,

2x22

x, 設{ek(t)}X ae(t),t,a?R,k? 線性組合構成的集合，則稱X為 X=span{ekF()

f(t)

jtdt

f(t),ejtfn

f,

{ek(t)}線性無關，則g?X，式中ak的取值是惟一的。此時k(t)}就稱為空間X的一組基底。積<x,y>=0 為x^y。ftfa

aF 若內積空間 <e,e>=d(m-n)=0,m? 則稱{en}為

故"x? x=

x, >x2 （傅里葉→小波

x, Fg(,w)

f(t)g(t

)eF(w)

f(t)e-jwtdt=<f(t),ejwtf=n

f, f

ta

aF(aw)時域-￥￥

f(t)g(t-t)e-性能的時域和頻域的二維聯(lián)合(t,)維聯(lián)合分析。信號從一維時域f(t)F(t,)

f

g(t)

g(t

ff0g(t)fg(t)f(t)0t性能的時域和頻域的二維聯(lián)合(t,w)表示，或者說必須F

{G(在特定頻率段（頻帶）f(t)1946年，Gabor提出了窗口傅里葉:

g(t)0。Gabor在最初的處理中采用的時Gauss2)2

1e函數(shù)

b)}的窗函數(shù)g(t) 與原信號f(t) 局部化的函數(shù)。先選定一個基本窗函數(shù)g(t)，然后將g(t)沿時間軸平移得到一組窗函數(shù)，{g(t-b)}b?其中b為時間位移。平移后的窗函數(shù)分別與原信設g(tL2

0

g(t)

g(t)

Gf(,b)

f(t)g(t

b)e

g(t)

t

t

ff0 00f

t

tb此

t

Gf(,b)

f(t)g(t

b)e

t

t

g(tL2(R) g(t)

下 tg(t) t0 g(t) 2 2

(tt0

g(t)

dt

g(t)2

g(t)

g(t)2dt2t0

g(t) t

(tt

1g(t)2 號F(w) 2.將g(t

p(t)

g(t)那么

和

tttt0

E(t)

g(t)22

2

t0)

t0

g(t)

dt

tt

t2

,

t

2某個小區(qū)間內衰減很小，而在區(qū)間外迅速衰減為0。-) 函數(shù){g(t-b)}。 2在以t0為中心、左右各為 2內的頻率特性。窗口寬度為t

tt

設g(t)?L2 ，即0<-

2

<+￥且g(t) 為實對稱函數(shù)，則信號f(t)的窗口傅Gf(w,b)

f

-b)e-其中，g(t) t=0附近，在遠離t=0 定義1[1]函數(shù)(t)L2(R稱為基本小波，如果它滿足以下的“允

dt

如果

0

(t)dt

f(t)g(t)t0附近的信息g(tb)是將窗函數(shù)平移到tb，因此f(t)g(tbtb附近的信號Gf(w,b)

f

-b)e-tb

b a,b(t)

,b

f(t),a,b(t)

將a,ba

2

k，j,k

在窗函數(shù)滿足g(t?L2(R)0

2

tg(t)

22

f)(j,k)j

f

j,k

(t)

j,k

(t)

22(2j

kjk

總結：小波即小區(qū)域的波，是一種特殊的長度有限、平均小波分析優(yōu)于傅立葉分析的地方是，它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質。而且由于對高頻成分采用逐漸精細的時域或頻域取樣步長，從而可以聚焦到對象的任何細節(jié)，所以被稱為“數(shù)學顯微鏡”。小波分析廣泛應用與信號處理、圖像處理、語音識別等領1 (t-t)2 dt

g(t)

2

g(t)=

g(t)2dt=12t0=-￥

s=+￥(t-t

g(t)2

1t tb相當于使鏡頭相對于目標平行移動，a的所用相當于將g(t2p(t)g(t那么

和s2tttt0=E(t)

tg(t)2s2 -

1

)]=

2dt

f

ff

sin(2t);a12sin(4t);a14

-

2,

+st 2f

(t);aff

(2t);a12(4t);a14此，t0可以理解為信號的平均時間或中心 在以t0為中心、左右各為s tt從物理意義上講，t0 重心，s2 t定義1[1]函數(shù)y(t)?L2(R稱為基本小波，如果它滿足以下的“允

如果)

y(t)dt= t-b ya,b(t)=a2y

,b? y) a=2-j，b=2-jk，j,k? (DWyf)(j,k)j

f(t),yj,k(t) yj,k(t)=22y(2jt-kjk? 總結：?波即小區(qū)域的波，是一種特殊的長度有限、平均小波分析優(yōu)于傅立葉分析的地方是，它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質。而且由于對高頻成分采用逐漸精細的時域或頻域取樣步長，從而可以聚焦到對象的任何細節(jié)，所以被稱為“數(shù)學顯微鏡”。小波分析廣泛應用與信號處理、圖像處理、語音識別等領1、多分辨分析1、多分辨分析(MRA)的概念j

(t)

2(2j

k)，j,kZ，t

如何構造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer現(xiàn)構造一個具有特定性質的層層嵌套的閉子空間序列{Vj}jZ，在V0子空間找一個函數(shù)g(t)，其平移{g(t-k)}kZ構成V0子空間的Rieszb相當于使鏡頭相對于目標平行移動，a的所用相當于Riesz

j(t)

jZ

H,即

Hn

總存在j

l2

f(t)

cjj

j(t)

A

l2 c j

j

cjg

2 c2j

A和B分別稱為Riesz基的上下界，Rieszff

=sin(2t);a1214=sin(4t);a1214定義1空間L2(R)中的多分辨分析是指L2(Rjj

單調性:

逼近性

Vj

L2(R);伸縮性

f(t)Vj

f(2t)Vj平移不變性

f(t)Vj

f

k)Vj

Z;f(t)=y(t);a=ff

=y(2t);a1214=y(4t);a1214j2數(shù)(t)V0，使得{(t-k)}kZ構成V0空間的規(guī)范正交基。由伸縮j2j,k

(2j

k)，j,

Z，t

f(tL2R)，則f(t)在每個VjVf V

f

j,k

j,k(t)

(t)并不是L2(R)空間的小波函數(shù)，而是與其緊密相關的尺度函數(shù)，{j,k(t)}j,kZ稱為尺度基，多分辨空間序列{Vj}jZ稱為尺度空間，在MRA意義下，可由尺度基導出小波基。由MRA的單調性可以看出：Vj是Vj+1的嚴格子空間，設Wj是Vj

Vj

Wj即滿足:Vj

VjWjV

Wj顯然Vj

j

Wj

于是Vj

l

顯然L2R

limjjj

l

由于W

Vj，而V

Vj

Wj1，所以W

Wj

從圖像處理的角度，多分辨空間的分解可以理解為圖像的分解，假設有一幅256級量化的圖像，不妨將它看成量化空間Vj中的

Vj1

在Vj-1空間中，還有一部分放在Wj-1空間，如圖所示j2與尺度函數(shù)的產(chǎn)生一樣，若存在(t)W0，使得{(t-k)}kZ構j2j,k(t)

(2j

k)

構成L2(R

j,k 小尺度afi壓縮的小波fi快速變換的細節(jié)fi大尺度afi拉伸的小波fi緩慢變換的粗部fi

jyj,k(t)=22y(2jt-k)，j,k?Z，t? 現(xiàn)構造一個具有特定性質的層層嵌套的閉子空間序列{Vj}j?Z，在V0子空間找一個函數(shù)g(t)，其平移{g(t- ?Z構成V0子空間MRA非常抽象，但是它給出了構造小波的一般框架。在實踐中很難通過小波空間直接構造小波，但通過MRA可推導出一個非2(t)V0(t)W0(t)(t)

hk(2tk)kgk(2tk)k

方程(3.9)和(3.10)稱為雙尺度方程。由(thk

(t),(2t

k)

，k

gk

(t),

k)

，k

2

2

2

2

spangn

>總存在cj}?l2f(

cjj=-n

gj(t)< "c

j=-￥

￡

cjg

￡Bc

其中

h2kk2k

g()

gk12k12

從信號處理的角度，h是與(t)對應的低通濾波器，g是與(t)對應的高同濾波器，{h，g}既可以表示為時域上的離散序列形式若k<0和k>N時，hk=0，這樣的濾波器稱為有限脈沖響應濾波器(FIR)，F(xiàn)IR濾波器具有好的局部化特性。此時，(t)只在有限區(qū)(t)

hk(2tNkN

k)

定義1空間L2(R)中的多分辨分析是指L2(R)中的滿足單調性 逼近性

=

伸縮性:f(t)?Vj f(2t)?Vj平移不變性:f(t?Vjf(tk?Vj,k?由(3.13)

h h

2 2

24

4

2

4

8

8h2

2n

j

h2j

j (3.15)就可以計算出2周期函數(shù)h()，再由公式(3.19)就可以計尺度函數(shù)就可以計算出小波函數(shù)(t)。數(shù)(t)，并最終構造出小波函數(shù)(t)，但有兩個問題必須解決：問題2：雙尺度方程(3.9)的解是否滿足關于問題1，I.Daubechies和Lagarias[7]在1991年給出了證

= j(2jt-k)，j,k?Z，t? f(t?L2R)，則f(t)在每個VjfV =

解決問題2卻是一件非常困難的事情。這里牽涉到尺度函數(shù)(t)如果有一個L2(R)空間的尺度函數(shù)(t)程(3.9)，從而找到一組滿足(3.9)的濾波器反過來，如果有一組濾波器{hk}kZ滿足某個雙尺度方程，由此求解得到的函數(shù)卻不一定是滿足MRA的尺度函數(shù)，這樣無法保證雙尺度方程解的平移構成L2(R)Riesz基若(t)是正交的，則相應的濾波器h定理1[3]若(t)是正交的，則相應的濾波器{hk}h()2

)2

h(0)

但是，如果{hk}僅僅滿足(3.20)和(3.21)，并不能保證由雙尺度j(t)并不是L2(R)空間的小波函數(shù)，而是與其緊密相關的尺度函數(shù)，{jj,k(t)}j,k?Z稱為尺度基，多分辨空間序列{Vj}j?Z稱為尺度空間，在MRA意義下，可由尺度基導出小波基。由MRA的單調性可以看出：Vj是Vj+1的嚴格子空間，設Wj是VjVj+1= ˉWj即滿足:Vj+1=VjWj，且V ^Wj

j

=Vj1ˉWj-1ˉVˉj

ˉ

=外，還應滿足其他條件。S.Mallat[4]，WLawton[6]等都在這方定理[x2]設h()是FIRh()2h()2h(0)

j

hkhj2ik，k

1

jN1于是Vj+1ˉ

算法：步驟1尋找滿足雙尺度方程(3.9)和(3.10)的濾波器{hk,gk}k0,1,…,N步驟2利用公式(3.15)計算2周期函數(shù)h()；步驟3驗證h()h()2步驟4

)

1和h(0)1

h2jj 通過傅立葉反變換求出步驟5驗證矩陣A的特征值1步驟6{(t-k)}kZ(3.10)顯然L2RlimVjfi

=ˉ

{j由于Wj^Vj，而VjVj-1ˉWj-1，所以Wj^W{j故 3、小波與共軛鏡像濾波器我們知道尺度函數(shù)和小波函數(shù){(t),(t)}tR是在時域刻畫信質。實際上，{(t),(t)}tR大量的性質都可以由對應的{h(),g()}R定義若尺度函數(shù)(t)是正交的，則它所對應的濾波器h()稱為h()2

)2h(0)h()假設有一幅256級量化的圖像，不妨將它看成量化空間Vj中的圖像，則Vj =Vj-1ˉWj-1 與尺度函數(shù)的產(chǎn)生一樣，若存在y(t)?W0，使得{y(t-k)}k?Z構yj,k(t)= y(2jt- 構成L2(R)空間的一個規(guī)范正交基。

j,k }}濾波器{hk}kZ稱為低通濾波器。所謂低通是指：當信號f(t)g()2

)21

范正交基，而V0W0(tk),(t)由此可導出h()g()

1)

S.Mallat[4]同時給出了這樣的結論：若高通濾波器g()(3.22)和(3.23)

2

2

gk

因此當找到低通共軛鏡像濾波器{hk}kZ后，利用公式(3.25)馬上總結：在一個MRA下的正交尺度函數(shù)和小波函數(shù)產(chǎn)生一組共軛鏡像濾波器{h,g}h()2

)2g()2

)2

h()g()

)MRA非常抽象，但是它給出了構造小波的一般框架。在實踐中很難通過小波空間直接構造小波，但通過MRA可推導出一個非 kj(t)=hkj(2t-k)ky(t)=gkj(2t-設{h,g}是由正交尺度函數(shù)和小波函數(shù)產(chǎn)生的共軛鏡像濾波hjhj2k

gjgj2khjgj2k

k

則

利用共軛鏡像濾波器實現(xiàn)快速正交小波變換)小波空間{Wj}jZ。{j,k}j,kZ和{j,k}j,kZ分別是兩個空間的規(guī)范正交基，信號f(t)L2(R)在兩個空間上都可以做正交投影：V V ffW W

ff

j,kj,k

(t)(t)

j,kj,k

(t)(t)

)hk=j(t),j(2t-k)，k? =y(t),j(2t-k)，k? 2

2 2

2

Wf(t)fW

f

j,k(t)

j,k

jZ但實踐中不可能進行無窮次逼近，不妨設f(t)VJ

J

WJ

行了(J-j)VJ

WJ

WJ

Vj

Wj

Wj

WJ

(jJf

f(t),j,k

j,k(t)

f

j,k(t)

j,k

jjJ其中 he-

22kkk

從信號處理的角度，h是與j(t)對應的低通濾波器，g是與y(t)對應的高同濾波器，{h，g}{hk，gk}k?Z，也可以表示為頻域上的2p周期函數(shù){h(w)，g(w)}。實際計算時，可以一次一次地進行小波分解，然后遞推實現(xiàn)(J-j)cj,k

ff

j,k j,k

j,k由于V

n

j,k,j

若k<0和k>N時，hk=0，這樣的濾波器稱為有限脈沖響應濾波器(FIR)，F(xiàn)IR濾波器具有好的局部化特性。此時，j(t)只在有限區(qū)Nj(t)=

而j,k

22j1,n2

(2j

k)(2

21 (t)(2t2

n)dt(令t

2j

k)hk

k)

k)dt故

j,k

j

(t)

22代入(3.32) ?w

ww?w = 2 2 24 4www ww

8= h2jj?2n

w2 2j w j

j,k

hn2k21n21

j1,n

2121

j

2k

n2k)cj,k

f

j,k

hn21n21

f

j1,n2k2 2

hncn

jcj,k

122

j

(3.15)就可以計算出2p周期函數(shù)h(w)，再由公式(3.19)就可以計尺度函數(shù)就可以計算出小波函數(shù)y(t)。數(shù)j(t)，并最終構造出小波函數(shù)y(t)，但有兩個問題必須解決：關于問題 Daubechies和Lagarias[7]在1991年給出了由于WjVj1，則j,k可由Vj

j1,n

而

n

j,k222

j

j

j,k

j1,n

k)(2

21 (t)(2t2

n)dt(令t

2j

k)解決問題2卻是一件非常困難的事情。這里牽涉到尺度函數(shù)j(t)與濾波器系數(shù){hk}k?Z之間的關系問題：程(3.9，從而找到一組滿足(3.9)的濾波器{hk}k?反過來，如果有一組濾波器{hk}k?Z滿足某個雙尺度方程，由此求解得到的函數(shù)卻不一定是滿足MRA的尺度函數(shù)，這樣無法保證雙尺度方程解的平移構成L2(R)Riesz基定理1[3若j(t)是正交的，則相應的濾波器{hk}h(w)2+h(w+p)2=1 h(0)=1 但是，如果{hk}僅僅滿足(3.20)和(3.21)，并不能保證由雙尺度gk

k)

j,k

j

(t)

12gn2k2j,k

12n2

n2k

j21 g2

j1,n2k(令n

n2k)dj,k

f

j,k

1 2nn2n

f

j1,n2k2 2

gnc

jdj,k

122

gnc

j

外，還應滿足其他條件。S.Mallat[4]，W.Lawton[6]等都在這方定理[x2設h(w)是FIRh(w)2+h(w+p)2=1h(0)=

22N

(w)= j

k

+1￡i,j￡N-通過公式(3.33)和(3.35)，可以很快計算出尺度系數(shù)和小波系數(shù)Vj(j<J)的所有尺度系數(shù)和小波系數(shù)。公式(3.33)和(3.35)稱為離散Vj+1=VjWjVjWj，因此Vj上的標準正交基與Wj上的標準

j1,n,j,k

j1,n,

j,k

j,k

j,kj,k

22122

gn2k故j1,n

122

j,k

22

gn2k

1j,k1步驟3驗證h(w)h(w)2步驟4

2=1和h(0)j?(w)j

w2j通過傅立葉反變換求出cj1,n

f

j1,n2 2

hn2k

f

j,k

22

gn2k

f

1j,k12 2

hn2k

j,k

22

gn2k

1j,k1這就是Mallat3、?波與共軛鏡像濾波器我們知道尺度函數(shù)和小波函數(shù){j(t),y(t)}t?R是在時域刻畫信號的性質，對應的濾波器{h(w),g(w)}w?R從頻域上刻畫信號的性質。實際上，{j(t),y(t)}t?R大量的性質都可以由對應的定義若尺度函數(shù)j(t)是正交的，則它所對應的濾波器h(w)h(w)2+h(w+p)2=1h(0)=小波的應用濾波器{hk}k?Z稱為低通濾波器。所謂低通是指：當信號f(t)g(w)2+g(w+p)2 j(t-k),y(t)= S.Mallat[4]同時給出了這樣的結論：若高通濾波器g(w)

w?wg 2

2產(chǎn)生的小波基{y(t-k)}k?Z構成W0空間的規(guī)范正交基。因此當尺g(w)=e-iwh(w+p gk=(-1)1-kh1- 二 二因此當找到低通共軛鏡像濾波器{hk}k?Z后，利用公式(3.25)馬上可得高通共軛鏡像濾波器{gk}k?Z?？偨Y：在一個MRA下的正交尺度函數(shù)和小波函數(shù){j(t),y(t)}t?h(w)2+h(w+p)2=1g(w)2+g(w+p)2=1 合 合hjhj+2kj?Zgjgj+2kj?Zhjgj+2kj?Z

m(w)

小波圖像去噪因為噪聲信號多包含在具有較高頻率的細節(jié)中，所以小波去噪首先對圖像信號進行小波分解，可利用門限閾值對所分解的小波系數(shù)進行處理，然后對圖像信號進行小波重構，抑制圖像信號中的無用部分，恢圖像信號的小波分解：選擇合適的小波及恰當?shù)姆謱Ψ纸夂蟮母哳l系數(shù)進行閾值量化：對于分解的每一層，選擇恰當?shù)拈撝?，對該層高頻系數(shù)進行閾值量重構圖像：根據(jù)小波分解后的第N層近似的低頻系數(shù) +p)(+p 8)則m(w)mT(w)=1，"w? 利用共軛鏡像濾波器實現(xiàn)快速正交?波變換L2(R)空間的一個MRA產(chǎn)生了兩個子空間：尺度空間{Vj}j?Z和小波空間{Wj}j?Z。{jj,k}j,k?Z和{yj,k}j,k?Zy分別是兩個空間的規(guī)范正交基，信號f(t)?L2(R)在兩個空間上都可以做正交投影：V fW

=

ff

唐遠炎,王玲.小波分析與文本文字識別,科學出版社I.Daubechies,TenLecturesonWavelets.Philadelphia:SIAM,S.Mallat.Awavelettourofsignalprocessing.AcademicUSA,S.Mallat,“Atheoryformultiresolutionsignaldecomposition:Thewaveletrepresentation,”IEEETrans.PatternAnal.MachineIntell.,vol.11,pp.674–693,1989.W.Lawton.Tightframesofcompactlysupportedwavelets,J.Phys.,31:1898~1901,f(t)= j? j?Zk?

ˉWJ-

=VJ-2ˉWJ-2ˉWJ-

Wj ˉWj+1ˉˉWJ- (j<Jj,kj,kk? j<JI.Daubechies,J.C.Lagarias.Two-scaledifferenceoperationsI:existenceandglogalregularityofsolutions,SIAMJ.Math.Anal.,22:1388~1410,1991.D.Donoho,“De-noisingbysoft-thresholding,”IEEETrans.Inform.Theory,vol.41,pp.613–627,1995.B.JAWERTH,etc.“anoverviewofwaveletbasedmultiresolutionanalyses,”SIAMREVIEW,vol.36,No.33,pp.377-實際計算時，可以一次一次地進行小波分解，然后遞推實現(xiàn)(J-j)d,k d

ff

j,k > 由于V Vj+1，則jj,k可由Vj+1的一組基jj+1,nj =<jj,k,jj+1,n>jj n而

j2j+1,n>=2

j(2jt-k)j(2j+1t- (t)j(2t+

2jt-hk=<j(t),j(2t-k)

j(t)j(2t-故jj,k(t),jj+1,n(t)>=1hn-j=

hn-

h

c

j2>=2

j1,n+2kf j,k=

n

j,k nj

j cj,k

33)j,n?由于 Vj+1，則yj,k可由Vj+1的一組基jj+1,nj,n?

=n

j,k

j

2<yj,k,jj+1,n

y(2jt-k)j(2j+1t- (t)j(2t+

=<y(t),j(2t-k)>=+￥y(t)j(2t-故<yj,k(t),jj+1,n(t)

gn-

=1