第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第2課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用必備知識·回顧教材重“四基”01一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且f′(x0)＝0在點x＝x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0在點x＝x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0圖象極值f(x0)為_______f(x0)為______極值點x0為_________x0為_________極大值極小值極大值點極小值點1．對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件．2．函數(shù)的極大值不一定大于極小值，函數(shù)的極小值也不一定小于極大值．2．函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)一般地，如果在閉區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則_______為函數(shù)的最小值，_______為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則_______為函數(shù)的最大值，_______為函數(shù)的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)函數(shù)的極值是“局部”概念，函數(shù)的最值是“整體”概念，閉區(qū)間上函數(shù)的最值一定是極值或區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值．二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)函數(shù)的極大值不一定比極小值大． (

)(2)對可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0點為極值點的充要條件． (

)(3)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值． (

)(4)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值． (

)34512√××√

34512

34512

34512

34512關(guān)鍵能力·研析考點強“四翼”考點1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值——綜合性02考點2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值——綜合性考點3極值與最值的綜合應(yīng)用——綜合性考向1根據(jù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的極值例1

(1)若函數(shù)f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象分別如圖(1)、圖(2)所示，則f(x)與g(x)極值點的個數(shù)分別為(

)考點1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值——綜合性A．4，1 B．2，2C．4，2 D．2，1A

解析：對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的極值點滿足兩個條件：一個是該點的導(dǎo)數(shù)為0，另一個是該點左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號．由圖象可知f(x)的導(dǎo)函數(shù)有4個零點，且4個零點的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號，故f(x)有4個極值點；由圖象可知g(x)的導(dǎo)函數(shù)有兩個零點，但只有一個零點的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號，故g(x)有1個極值點．(2)(2022·西安模擬)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)且函數(shù)y＝(1－x)·f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論一定成立的是(

)A．函數(shù)f(x)的極大值是

f(2)，極小值是f(1)B．函數(shù)f(x)的極大值是

f(－2)，極小值是

f(1)C．函數(shù)f(x)的極大值是

f(2)，極小值是

f(－2)D．函數(shù)f(x)的極大值是f(－2)，極小值是

f(2)D

解析：由函數(shù)的圖象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且當(dāng)x＜－2時，f′(x)＞0，當(dāng)－2＜x＜1時，f′(x)＜0，故函數(shù)f(x)有極大值f(－2)．又當(dāng)1＜x＜2時，f′(x)＜0，當(dāng)x＞2時，f′(x)＞0，故函數(shù)f(x)有極小值f(2)．由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值的兩個關(guān)注點(1)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點．(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，進而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．

求函數(shù)f(x)極值的一般解題步驟(1)確定函數(shù)的定義域．(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)．(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根．(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號．(5)求出極值．

(2)(2021·全國乙卷)設(shè)a≠0，若x＝a為函數(shù)f(x)＝a(x－a)2(x－b)的極大值點，則(

)A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)b<a2 D．a(chǎn)b>a2D

解析：若a＝b，則f(x)＝a(x－a)3為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故a≠b.依題意，x＝a為函數(shù)f(x)＝a(x－a)2(x－b)的極大值點，當(dāng)a<0時，由x>b時，f(x)≤0，畫出f(x)的圖象如圖所示：由圖可知b<a，a<0，故ab>a2.當(dāng)a>0時，由x>b時，f(x)>0，畫出f(x)的圖象如圖所示：由圖可知b>a，a>0，故ab>a2.綜上所述，ab>a2成立．根據(jù)函數(shù)極值情況求參數(shù)的2個要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)驗證：求解后驗證根的合理性．

2．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1處有極值10，則(

)A．a(chǎn)＝－4，b＝11B．a(chǎn)＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11C．a(chǎn)＝－1，b＝5D．以上都不正確

考點2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值——綜合性

求最值的3種情況(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，f(a)與f(b)中有一個為最大值，另一個為最小值．(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，要先求出[a，b]上的極值，與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或最小)值點．

列表如下：x(－∞，－1)－1(－1，4)4(4，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

例5

(1)(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x＋1，則(

)A．f(x)有兩個極值點B．f(x)有三個零點C．點(0，1)是曲線y＝f(x)的對稱中心D．直線y＝2x是曲線y＝f(x)的切線考點3極值與最值的綜合應(yīng)用——綜合性

令h(x)＝x3－x，該函數(shù)的定義域為R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(huán)(x)，則h(x)是奇函數(shù)，(0，0)是h(x)的對稱中心，將h(x)的圖象向上移動一個單位得到f(x)的圖象，所以點(0，1)是曲線y＝f(x)的對稱中心，故C正確；令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，當(dāng)切點為(1，1)時，切線方程為y＝2x－1，當(dāng)切點為(－1，1)時，切線方程為y＝2x＋3，故D錯誤．故選AC.

求極值、最值時，要求步驟規(guī)范、表格齊全．函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點值進行比較才能確定最值，不能想當(dāng)然地認為極值點就是最值點．含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大?。?．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1，1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是(

)A．－13 B．－15C．10 D．15A

解析：對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函數(shù)f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，所以a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.易知f(x)在[－1，0)上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)m∈[－1，1]