第四章總體均數(shù)的估計和t檢驗

2

從總體中隨機抽取部分觀察單位形成樣本的過程稱為抽樣。

利用樣本信息推斷總體特征的研究稱為抽樣研究

抽樣的目的是樣本信息推斷總體特征總體樣本

參數(shù)(、)統(tǒng)計量3樣本1樣本2樣本3樣本k抽樣研究…………………45抽樣誤差（samplingerror)

指由于抽樣本身的隨機性而導致的樣本統(tǒng)計量與總體指標之間的差異。

由于生物間的個體差異是客觀存在的，因此在抽樣研究中抽樣誤差無法避免。數(shù)理統(tǒng)計研究表明,抽樣誤差遵循一定的規(guī)律并可以控制。6第一節(jié)總體均數(shù)的估計一、標準誤1.均數(shù)的抽樣誤差：

從同一總體中隨機抽取樣本含量相等的若干個樣本，得到若干個樣本均數(shù)，這些樣本均數(shù)不完全相等，并且與總體均數(shù)也存在差異。由于抽樣而產(chǎn)生的樣本均數(shù)和總體均數(shù)間的差異稱為均數(shù)的抽樣誤差7標準誤（standarderror，SE）：樣本統(tǒng)計量的標準差。標準誤小，表示抽樣誤差小，統(tǒng)計量較穩(wěn)定，與所估計的參數(shù)較接近。

均數(shù)的標準誤（standarderrorofmean）：樣本均數(shù)的標準差，它反映來自同一總體的樣本均數(shù)的離散程度,即均數(shù)的抽樣誤差大小。8均數(shù)標準誤的計算：均數(shù)標準誤的用途

衡量樣本均數(shù)的可靠性；

估計總體均數(shù)的可信區(qū)間；

用于均數(shù)的假設(shè)檢驗。（估計值）通過增加樣本例數(shù)來減少標準誤，降低抽樣誤差9標準差：描述某總體或樣本內(nèi)部個體值的變異標準誤：描述樣本統(tǒng)計量的變異標準誤與標準差除了均數(shù)的標準誤外，還有率的標準誤，回歸系數(shù)的標準誤等。通常用“均數(shù)±標準差”：表示一組數(shù)據(jù)的平均水平和離散程度。有時用“均數(shù)±標準誤”：表達樣本均數(shù)及其離散程度。

——必須注明以免誤解。區(qū)別意義描述原始數(shù)據(jù)的離散程度，衡量均數(shù)對原始數(shù)據(jù)的代表性

反映抽樣誤差的大小，衡量樣本均數(shù)估計總體均數(shù)的可靠性

計算直接法、加權(quán)法

與均數(shù)的關(guān)系s越小，對樣本數(shù)據(jù)的代表性好

越小，估計

的可靠性大

與n的關(guān)系n→∞，s→

n→∞，→0應(yīng)用表示觀察值波動的大小

表示抽樣誤差的大小

用于計算變異系數(shù)

用于均數(shù)的假設(shè)檢驗

計算標準誤

結(jié)合樣本均數(shù)和正態(tài)分布的規(guī)律，估計參考值范圍結(jié)合樣本均數(shù)和正態(tài)分布的規(guī)律，估計參數(shù)的可信區(qū)間區(qū)別11總體均數(shù)μ的估計包括點估計和區(qū)間估計:點估計：用樣本均數(shù)來估計總體均數(shù)。區(qū)間估計：按一定的概率估計總體均數(shù)在哪個范圍內(nèi)，這個范圍稱為可信區(qū)間（或置信區(qū)間）這個概率稱為可信度（或置信度），用1-α表示，常取95%或99%。

二、總體均數(shù)的估計1-aa/2a/2Pa/2P1-a/212正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-1.96

+1.96

2.5%2.5%95%13中心極限定理當樣本容量足夠大時(n>30)，樣本均數(shù)的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布中心極限定理：設(shè)從均數(shù)為

，方差為

2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當n充分大時，樣本均數(shù)的抽樣分布近似服從均數(shù)為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個任意分布的總體X14落在總體均值某一區(qū)間內(nèi)的樣本X95%的樣本

-1.96

x

+1.96

xX=

1.96

x2.5%2.5%

=X

1.96

x15總體均值的置信區(qū)間

(

２已知)1.假定條件

總體服從正態(tài)分布,且總體方差（

２）已知如果不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來近似(n>30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量u3.總體均值

在95%置信水平下的置信區(qū)間為16總體均值的置信區(qū)間

(

２未知)1.假定條件

總體方差（

２）未知總體必須服從正態(tài)分布2.使用t分布統(tǒng)計量3.總體均值

在95%置信水平下的置信區(qū)間為)1(~--=ntnsxtm)1(~--=ntnsxtm17m均數(shù)抽樣分布呈一般正態(tài)分布

=1u標準正態(tài)分布

t不同自由度的t分布標準正態(tài)分布(df=∞)t(df=13)t(df=5)u18

095%19總體均數(shù)的95%可信區(qū)間為：

例4.2隨機抽樣調(diào)查了某市120名4歲男童的身高(cm)，得到這120名4歲男童的平均身高為104.89cm，標準差為3.54cm，求該地區(qū)4歲男童身高總體均數(shù)的95%可信區(qū)間。n=120，=104.89，s=3.54，==0.32自由度ν=n-1=119，查t界值表得20可信區(qū)間的兩個要素可信區(qū)間的準確度：表現(xiàn)為可信度（1-

）的大小，即區(qū)間包含總體均數(shù)的概率大小，可信區(qū)間的精度：表現(xiàn)為區(qū)間的長度正確理解可信區(qū)間的涵義

可信區(qū)間一旦形成，它要么包含總體參數(shù)，要么不包含總體參數(shù)，二者必居其一，無概率可言。所謂95％的可信度是針對可信區(qū)間的構(gòu)建方法而言的。

以均數(shù)的可信區(qū)間為例，其涵義是：如果重復100次抽樣，每次樣本含量均為n，每個樣本均按構(gòu)建可信區(qū)間，則在此100個可信區(qū)間內(nèi)，理論上有95個包含總體均數(shù)，而有5個不包含總體均數(shù)。

圖4.1100個來自N(0,1)的樣本所估計的可信區(qū)間示意

95％可信區(qū)間99％可信區(qū)間

公式區(qū)間范圍

窄寬

估計錯誤的概率大（0.05）?。?.01）例題程序ch4_1procmeansdata=shgnmeanstdclm;varx;run;Procmeansdata=shgnmeanstdclmalpha=0.01;varx;run;選擇項clm表示要計算總體均數(shù)的可信區(qū)間可信區(qū)間的可信水平α可用選擇項alpha=α規(guī)定

第二節(jié)t檢驗?zāi)康模和茢鄻颖舅淼奈粗傮w均數(shù)與已知總體均數(shù)是否相等。假設(shè)：檢驗統(tǒng)計量：一.樣本均數(shù)和總體均數(shù)比較的t檢驗26求得t值后，據(jù)ν查t臨界值表得t0.05/2，進行比較:樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較的t檢驗

如果，t＜t0.05/2,ν

，則P＞0.05，不拒絕H0。樣本均數(shù)和μ0的差別無統(tǒng)計學意義。 如果，

t≥t0.05/2,ν

，則P≤

0.05，在α=0.05水平上拒絕H0，樣本均數(shù)和μ0的差別有統(tǒng)計學意義。認為該樣本并非來自均數(shù)為μ0的總體。27

例4.3據(jù)大量調(diào)查，健康成年男子脈搏的均數(shù)為72次/分，某醫(yī)生在某山區(qū)隨機調(diào)查了25名健康成年男子，得其脈搏均數(shù)為74.2次/分，標準差為6.5次/分，能否據(jù)此認為該山區(qū)成年男子的脈搏均數(shù)高于一般人群？總體均數(shù)

=72次/分

樣本均數(shù)由于抽樣誤差所致？由于環(huán)境條件的影響？28建立假設(shè)

(在假設(shè)的前提下有規(guī)律可循)

零假設(shè)(nullhypothesis)，記為H0

H0：

＝72備擇假設(shè)(alternativehypothesis)，記為H1H1：

>72根據(jù)專業(yè)知識,山區(qū)成年男子的脈搏數(shù)一般不會低于正常人29其中H0假設(shè)比較單純、明確，在H0下若能弄清抽樣誤差的分布規(guī)律，便有規(guī)律可循。而H1假設(shè)包含的情況比較復雜。因此，我們著重考察樣本信息是否支持H0假設(shè)（因為單憑一份樣本資料不可能去證明哪個假設(shè)是正確的，哪一個不正確）。

30選定檢驗方法計算檢驗統(tǒng)計量

(計算樣本與總體的偏離)統(tǒng)計量t表示，在標準誤的尺度下，樣本均數(shù)與總體均數(shù)

0的偏離。這種偏離稱為標準t離差。31根據(jù)抽樣誤差理論，在H0假設(shè)前提下，統(tǒng)計量t服從自由度為n-1的t分布，即t值在0的附近的可能性大，遠離0的可能性小，離0越遠可能性越小。t值越小，越利于H0假設(shè)

t值越大，越不利于H0假設(shè)自由度：25-1=2432計算概率P(與統(tǒng)計量t值對應(yīng)的概率)

在H0成立的前提下，獲得現(xiàn)有這么大的標準t離差以及更大離差的可能性。P=P(t≥1.692)

33單側(cè)t0.05,24=1.71101.7115%

=24P=P(t>1.692)>0.05本研究樣本得到的t（1.692）34確定檢驗水準

(確定最大允許誤差)

設(shè)定檢驗水準的目的就是確定拒絕假設(shè)H0時的最大允許誤差。醫(yī)學研究中一般取

=0.05。檢驗水準實際上確定了小概率事件的判斷標準。35

結(jié)論(根據(jù)小概率原理作出推斷)

在H0成立的前提下出現(xiàn)現(xiàn)有差別或更大差別的可能性是否小于檢驗水準，如小于，則是小概率事件，即現(xiàn)有樣本信息不支持H0。抉擇的標準為：當P≤

時，拒絕H0，接受H1

當P＞

時，不拒絕H0

本例P＞0.05，按

=0.05的水準，不能拒絕H0，差別無統(tǒng)計學意義。36假設(shè)檢驗的意義從樣本得到關(guān)于總體的結(jié)論如本例假設(shè)檢驗的意義在于分辨手頭樣本所代表的未知總體和已知總體是否為同一總體，換句話說，即分辨手頭樣本是否為已知總體的一個隨機樣本。37假設(shè)檢驗的基本思想“反證法”的思想先根據(jù)研究目的建立假設(shè)，從H0假設(shè)出發(fā)，先假設(shè)它是正確的，再分析樣本提供的信息是否與H0有較大矛盾，即是否支持H0，若樣本信息不支持H0，便拒絕之并接受H1,否則不拒絕H0

。38假設(shè)檢驗的基本步驟

建立假設(shè)確定檢驗水準計算檢驗統(tǒng)計量計算概率P

結(jié)論

當P≤

時，拒絕H0，接受H1，差別有統(tǒng)計學意義。當P＞

時，不拒絕H0，差別尚無統(tǒng)計學意義。不論拒絕H0，還是不拒絕H0都可能犯錯誤。39解：H0:μ=72H1:μ>72

ν=25-1=24現(xiàn)t=1.692＜單側(cè)t0.05，24=1.711，故P＞0.05。所以按=0.05水準不拒絕H0，差異無統(tǒng)計學意義，根據(jù)現(xiàn)有樣本的信息，尚不能認為該山區(qū)健康成年男子的脈搏均數(shù)高于一般健康成年男子的脈搏均數(shù)。

=0.05(單側(cè))40二.配對t檢驗(PairedtTest)醫(yī)學科研中配對資料的三種主要類型：按性質(zhì)相近配對，配對的兩個受試對象分別給予兩種處理；同源配對，同一受試對象或同一樣品的兩個部分分別給予兩種處理，推斷兩種處理的效果有無差別；自身配對，同一受試對象治療前后某些生理、生化指標的比較，推斷該處理有無作用。配對實驗設(shè)計得到的資料稱為配對資料。

41表4.1不同飼料組大白鼠肝中維生素A含量（IU/g）按性質(zhì)相近配對(大白鼠對號⑴正常飼料組⑵維生素E缺乏組⑶差值d⑷=⑵-⑶d2⑸13550245011001210000220002400-4001600003300018001200144000043950320075056250053800325055030250063750270010501102500734502500950902500830501750130016900009335021001250156250010365025501100121000088501014250042表4.2兩種方法測定14份血清樣品Mg2+（mmol/L）結(jié)果血清樣品號⑴葡萄糖激酶兩點法⑵甲基百里酚藍法⑶10.850.8421.021.0131.131.1341.081.0650.920.9261.171.1671.221.2381.061.0791.141.14100.980.98111.251.24121.111.11131.231.23141.101.10同源配對43表4.3康復療法治療前后的癌癥患者生命質(zhì)量得分患者號⑴治療后⑵治療前⑶170.5564.29288.6064.07368.4445.88461.6445.23564.7350.40674.6861.59769.1551.85860.5160.13965.5964.291069.0451.93自身配對44假設(shè)：檢驗統(tǒng)計量：45

例4.5

某單位研究飲食中缺乏維生素E與肝中維生素A含量的關(guān)系，將同種屬的大白鼠按性別相同、年齡、體重相近者配成10對后，將每對中的兩只大白鼠隨機分到正常飼料組和維生素E缺乏組，過一定時期將大白鼠殺死，測其肝中維生素A的含量，結(jié)果見表4.1第⑴～⑶欄。問兩組大白鼠肝中維生素A的含量有無差別？46解：H0:μd=0,即兩組大白鼠肝中維生素A含量相同

H1:μd≠0,即兩組大白鼠肝中維生素A含量不同

α=0.05

=8850/10=885,=506.65

查t界值表,df=9時,t0.05/2,9=2.262

現(xiàn)t>t0.05/2,9,故P＜0.05,所以按=0.05水準拒絕H0，差異有統(tǒng)計學意義，可認為兩組大白鼠肝中維生素A的含量不同，即維生素E缺乏對大白鼠肝中維生素A的含量有影響。47三.成組設(shè)計的兩樣本均數(shù)比較的t檢驗

也稱為團體t檢驗（GroupedtTest）按完全隨機化設(shè)計的兩個樣本均數(shù)比較比較的目的是它們各自所代表的總體是

否具有相同的均數(shù)其假設(shè)檢驗為H0:μ1=μ2，H1:μ1≠μ2

48兩個獨立樣本之差的抽樣分布m1s1總體1s2

m2總體2抽取簡單隨機樣樣本容量n1計算X1抽取簡單隨機樣樣本容量n2計算X2計算每一對樣本的X1-X2所有可能樣本的X1-X2m1-m2抽樣分布第四節(jié)團體t檢驗

H0:μ1-μ2=0492.大樣本時，用各自方差估計法：t檢驗公式:(自由度:df=n1+n2-2)分母：兩樣本之差的標準誤1.小樣本時，用合并方差估計法：50例4.8

為研究某種治療兒童貧血新藥的療效，以常規(guī)藥作為對照，將30名貧血的兒童隨機分到新藥組和常規(guī)藥組，每組15名，分別接受兩種藥物治療，過一定時期測量他們血紅蛋白的增加量（g/L），結(jié)果見表4.4。

問兩組貧血兒童的血紅蛋白的增加量是否相同？

新藥組常規(guī)藥組血紅蛋白增加量

x1血紅蛋白增加量

x2266762144132102423529256251832422484245762040023529287841936124576162561936122484298412040017289256253411562352921441172892040015225235292667627729224843679315314672851H0：

1=2，即新藥組與常規(guī)藥組兒童的血紅蛋白增加量均數(shù)相同H1：1

2，即新藥組與常規(guī)藥組兒童的血紅蛋白增加量均數(shù)不同

=0.05水準拒絕H0，差異有統(tǒng)計學意義，可認為新藥組與常規(guī)藥組兒童的血紅蛋白增加量均數(shù)不同，新藥的療效比常規(guī)藥的療效好。521.樣本均數(shù)和總體均數(shù)比較的t檢驗：樣本來自正態(tài)分布的總體。2.配對t檢驗：差值的總體為正態(tài)分布。3.團體t檢驗：

1）兩個樣本都來自正態(tài)分布的總體。

2）兩個總體方差相等。t檢驗的條件53t檢驗條件不滿足時的對策1.進行變量變換，如對數(shù)變換，變換成正態(tài)分布后再進行t檢驗。2.用非參數(shù)檢驗的方法。3.兩樣本比較的t檢驗時，如正態(tài)分布但方差不齊，可用t’檢驗。54

變量變換

服從對數(shù)正態(tài)分布的資料可用對數(shù)變換

y=log(x)服從泊松分布的資料可用平方根變換

y=

表達成百分數(shù)的資料可用平方根反正弦變換

y=

55

第三節(jié)方差齊性檢驗和t’檢驗

方差齊性檢驗(TestforHomogeneityofVariance)

兩個均數(shù)比較的t檢驗，其中重要前提是兩個樣本所代表的總體具有相同的方差56兩個方差齊性檢驗

H0：，即兩總體的方差相等

H1：，即兩總體的方差不等

F檢驗：

s12：為較大樣本方差，

1為其自由度

s22：為較小樣本方差，

2為其自由度

方差齊性檢驗(TestforHomogeneityofVariance)

第三節(jié)方差齊性檢驗和t’檢驗57自由度值有2個，分別為分子的自由度與分母的自由度。據(jù)分子，分母的自由度查方差齊性檢驗專用的F界值（附表四，P428）得：F0.05

，F(xiàn)0.01值

如果F＜F0.05，則P＞0.05，不拒絕H0；如果F≥F0.05

，則P≤0.05，在α=0.05水平上，拒絕H0；58t’檢驗檢驗統(tǒng)計量：界值結(jié)論59第四節(jié)正態(tài)性檢驗（normalitytest）統(tǒng)計指標：偏度系數(shù)、峰度系數(shù)；檢驗法:W檢驗(3<n<50)、D檢驗(50<n<1000)、矩法（對偏度系數(shù)和峰度系數(shù)進行U檢驗）等統(tǒng)計圖：P-P圖、Q-Q圖、直方圖、莖葉圖、箱圖等

60假設(shè)檢驗應(yīng)注意的問題

1.

要有嚴密的研究設(shè)計，組間要具有可比性要保證樣本是從同質(zhì)總體中隨機抽取。除了對比的因素外，其它影響結(jié)果的因素應(yīng)一致。

2．選用的假設(shè)檢驗方法應(yīng)符合其應(yīng)用條件要了解變量的類型是計量的還是計數(shù)的，設(shè)計類型是配對設(shè)計還是成組設(shè)計，是大樣本還是小樣本。613.正確理解差別有無統(tǒng)計意義差別有統(tǒng)計意義，指我們有很大的把握認為原假設(shè)不正確，并非是說它們有較大的差別。差別無統(tǒng)計意義，我們只是認為以很大的把握拒絕原假設(shè)的理由還不夠充分，并不意味著我們很相信它。4.結(jié)論不能絕對化

結(jié)論具有概率性，并受抽樣誤差大小、檢驗水平高低、單/雙側(cè)檢驗的影響。5.統(tǒng)計學意義和顯著性的意義不同例題程序ch4_2datamb;inputx@@;d=x-72;cards;747368757582806972748372717476796773817067707869707267748066;procmeansdata=mbmeanstdstderrtprt;varxd;run;例題程序ch4_3datava;inputzhchquefa@@;d=zhch-quefa;cards;35502450200024003000