2021年遼寧省沈陽市第五高級中學高二數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知點P為所在平面上的一點，且，其中為實數(shù)，若點P落在的內(nèi)部，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.已知a、b、c分別為雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距，且方程無實根，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D3.觀察下列算式：，，,,,,,,……用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得的末位數(shù)字是()A.2 B.4 C.6 D.8參考答案：D【分析】通過觀察可知，末尾數(shù)字周期為4，據(jù)此確定的末位數(shù)字即可.【詳解】通過觀察可知，末尾數(shù)字周期為，，故的末位數(shù)字與末尾數(shù)字相同，都是8．故選D．【點睛】歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．

4.在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三極品60個，用分層抽樣法從中抽取容量為20的樣本，則應抽取三極品的個數(shù)為A．2

B．4

C．6

D．10參考答案：D5.設向量，．若，則t=（

）A.8 B.－8 C.2 D.－2參考答案：D【分析】根據(jù)向量，得到關于的方程，進而可得出結果.【詳解】因為向量，，若，則，解得.故選D【點睛】本題主要考查由向量共線求參數(shù)，熟記向量共線的坐標表示即可，屬于常考題型.6.函數(shù)的圖象一部分如右圖所示，則、的值分別是（

）（A）1,

（B）1，

（C）2,

（D）2,參考答案：C7.有6根細木棒，長度分別為1，2，3，4，5，6(cm)，從中任取三根首尾相接，能搭成三角形的概率是（

）A.

B. C. D.參考答案：D略8.經(jīng)過空間任意三點作平面

A．只有一個

B．可作二個

C．可作無數(shù)多個

D．只有一個或有無數(shù)多個參考答案：D略9.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A. B. C. D.參考答案：B【分析】求得基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動，基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為，故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中合理應用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù)，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.10.雙曲線的漸近線方程是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，角所對的邊分別是，已知點是邊的中點，且，則角_________。參考答案：12.若曲線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程的標準形式為____

____．參考答案：略13.若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調(diào)減區(qū)間為[－1,3]，則b＝___，c＝___

參考答案：14.已知直線與圓沒有交點，則的取值范圍是

.參考答案：15.函數(shù)的最小值是

▲

．參考答案：所以最小值為.故答案為：．

16.如圖，是一座鐵塔，線段和塔底在同一水平地面上，在兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為和，又測得則此鐵塔的高度為

.參考答案：1217.為了調(diào)查城市PM2.5的值,按地域把36個城市分成甲、乙、丙三組,對應的城市數(shù)分別為6,12,18.若用分層抽樣的方法抽取12個城市,則乙組中應抽取的城市數(shù)為

．參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，函數(shù)在上有三個零點．（1）求的值；（2）若1是其中一個零點，求的取值范圍；參考答案：∵在上是增函數(shù)，且函數(shù)在上有三個零點，∴，即．∴．故的取值范圍為．13分

略19.(本小題滿分14分)已知函數(shù)，且任意的（1）求、、的值；（2）試猜想的解析式，并用數(shù)學歸納法給出證明.參考答案：

用數(shù)學歸納法證明如下：

①當n=1時，

∴猜想正確；……………7分

②假設當

那么當所以，當時，猜想正確

由①②知，對，正確.……14分

略20.設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，.（1）證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求an；（2）設，求數(shù)列的前n項和Tn.參考答案：（1）見證明，；（2）【分析】（1）當時，求得，再利用等差數(shù)列的定義可得結論；（2）先由可得，由此可得，利用裂項相消法可得結果.【詳解】（1）當時，，當時，，也滿足，故.∵，∴數(shù)列是首項為7公差為4的等差數(shù)列.（2）∵，∴，∴.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義與通項公式，以及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）等差數(shù)列，；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.

21.（12分）電視臺與某企業(yè)簽訂了播放兩套連續(xù)劇的合作合同．約定每集電視連續(xù)劇播出后，另外播出2分鐘廣告．已知連續(xù)劇甲每集播放80分鐘，收視觀眾為60萬，連續(xù)劇乙每集播放40分鐘，收視觀眾為20萬，根據(jù)合同，要求電視臺每周至少播放12分鐘廣告，而電視劇播放時間每周不多于320分鐘，設每周播放甲乙兩套電視劇分別為x集、y集．（Ⅰ）用x，y列出滿足條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；（Ⅱ）電視臺每周應播映兩套連續(xù)劇各多少集，才能使收視觀眾最多，最高收視觀眾有多少萬人？參考答案：【考點】函數(shù)模型的選擇與應用．【分析】（I）根據(jù)廣告和連續(xù)劇的播放時間列不等式組即可；（II）利用簡單線性規(guī)劃知識求出觀眾人數(shù)的最值．【解答】解：（I）x，y列出滿足條件的數(shù)學關系式為：，即．相應的平面區(qū)域為：（II）設每周收視觀眾為z萬人，則z=60x+20y，∴y=﹣3x+，∴直線y=﹣3x+經(jīng)過點A時，截距最大，解方程組，得A（2，4），∴z的最大值為60×2+20×4=200．∴每周播放連續(xù)劇甲2集，連續(xù)劇乙4集收視觀眾最多，最高收視觀眾為200萬人．22.（本小題滿分12分）某工廠欲加工一件藝術品，需要用到三棱錐形狀的坯材，工人將如圖所示的長方體ABCD-EFGH材料切割成三棱錐H-ACF.(1)若點M，N，K分別是棱HA，HC，HF的中點，點G是NK上的任意一點，求證：MG∥平面ACF；(2)已知原長方體材料中，AB＝2m，AD＝3m，DH＝1m，根據(jù)藝術品加工需要，工程師必須求出該三棱錐的高．工程師設計了一個求三棱錐的高度的程序，其框圖如圖所示，則運行該程序時乙工程師應輸入的t的值是多少？參考答案：(1)證明：∵HM＝MA，HN＝NC，HK＝KF，∴MK∥AF，MN∥AC.∵MK平面ACF，AF平面ACF，∴MK∥平面