2020學年第二學期嘉興八校聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學試卷（2021年4月）考生須知：全卷分試卷和答卷.試卷共6頁，有4大題，22小題，滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題Ⅰ：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)定義計算即可.

【詳解】復數(shù)為純虛數(shù),.故選:A.2.化簡（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量加法運算律即可求解.

【詳解】.故選：B.3.正方形繞對角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體為（）A.由兩個圓臺組成 B.由一個圓錐和一個圓臺組成C.由兩個圓錐組成 D.由兩個棱臺組成【答案】C【解析】【分析】將正方形繞對角線所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，將正方形繞對角線所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義，可知得到的組合體是兩個同底的圓錐.故選:C.4.在中，若，，，則（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】由余弦定理直接求解.【詳解】中，若，，，由余弦定理，，則.故選：C5.已知正四棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為5，則此棱錐的側(cè)面積為（）A.6 B.12 C.24 D.48【答案】D【解析】【分析】首先由勾股定理求出斜高，即可求出側(cè)面積；【詳解】解：正四棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為5，則其斜高，所以正四棱錐的側(cè)面積故選：D6.如圖所示，某數(shù)學興趣小組為了測量嘉興某地“智標塔”高度，在地面上點處測得塔頂點的仰角為，塔底點的仰角為.已知山嶺高為米，則塔高為（）A米 B.米C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】中求出，再在中求得，從而可得．【詳解】在中，，在中，，所以．故選：B．7.已知向量與的夾角為，，，則向量在方向上的投影向量的模長為（）A.3 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由已知求出，根據(jù)投影向量的公式求解.【詳解】向量與的夾角為，，，，則向量在方向上的投影向量的模長為.故選：D8.在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點，若AP∥平面BDEF，則線段AP長度的取值范圍是（）A.[，] B.[，] C.[，] D.[，]【答案】A【解析】【分析】分別取棱A1B1、A1D1的中點M、N，連接MN，可證平面AMN∥平面BDEF，得P點在線段MN上．由此可判斷當P在MN的中點時，AP最小；當P與M或N重合時，AP最大．然后求解直角三角形得答案．【詳解】如圖所示，分別取棱A1B1、A1D1的中點M、N，連接MN，連接B1D1，∵M、N、E、F為所在棱的中點，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，∴MN∥EF，又MN?平面BDEF，EF?平面BDEF，∴MN∥平面BDEF；連接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，可得NF∥AB，NF＝AB，則四邊形ANFB平行四邊形，則AN∥FB，而AN?平面BDEF，F(xiàn)B?平面BDEF，則AN∥平面BDEF．又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF．又P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點，且AP∥平面BDEF，∴P點在線段MN上．在Rt△AA1M中，AM，同理，在Rt△AA1N中，求得AN，則△AMN為等腰三角形．當P在MN的中點時，AP最小為，當P與M或N重合時，AP最大為．∴線段AP長度的取值范圍是．故選：A．【點睛】本題主要考查了空間中點、線、面間的距離問題，其中解答中通過構(gòu)造平行平面尋找得到點的位置是解答的關(guān)鍵，意在考查空間想象能力與運算能力，屬于中檔試題.二、選擇題Ⅱ：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.復數(shù)實部為 B.復數(shù)的虛部為C.復數(shù)的共軛復數(shù)為 D.復數(shù)的模為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的概念、共軛復數(shù)的概念及模的運算判斷各項正誤.【詳解】由題設(shè)的實部為，虛部為4，共軛復數(shù)為，模為.故選：BD10.下列說法正確的有（）A.在中，B.在中，若，則C.若，則一定是鈍角三角形D.若，，，則符合條件的有兩個【答案】AC【解析】【分析】對于A，利用正弦定理邊角化即可求解；對于B,根據(jù)誘導公式及三角形的性質(zhì)即可求解；對于C，利用余弦定理的推理即可求解；對于D，利用余弦定理即可求解.【詳解】對于A，由正弦定理，得,所以，故A正確；對于B，在中，若，而則或，所以或，故或，故B錯誤；對于C，若，則，而,所以為鈍角，即為鈍角三角形，故C正確；對于D，由余弦定理得,有唯一解,故D錯誤.故選：AC11.已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個半圓，設(shè)圓錐的頂點為，，是底面圓周上的兩個不同的動點，給出下列四個結(jié)論，其中成立的是（）A.圓錐的側(cè)面積為B.母線與圓錐的高所成角的大小為C.可能為等腰直角三角形D.面積的最大值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線長，再逐項分析判斷作答.【詳解】由圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個半圓，得，則，對于A，圓錐側(cè)面積為，A錯誤；對于B，圓錐底面圓直徑為2，即圓錐軸截面三角形為等邊三角形，則母線與圓錐的高所成角的大小為，B正確；對于C，由選項B知，等腰的頂角滿足：，則不可能為等腰直角三角形，C錯誤；對于D，面積，D正確.故選：BD12.設(shè)向量滿足，，，則的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】運用平面向量減法的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義、四點共圓的性質(zhì)、余弦定理、正弦定理進行求解判斷即可.【詳解】設(shè)，因為，，所以，因為，所以設(shè)，因為，，所以，因為，所以四點共圓，如下圖所示：點在優(yōu)弧上不包括兩點，顯然當是直徑時，最大，由余弦定理可知：，該圓的直徑為，所以，故選：ABC【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量減法的幾何意義和平面向量數(shù)量積的定義得到四點共圓.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)__________．【答案】##【解析】【分析】利用復數(shù)除法法則即可求解.【詳解】.故答案為：.14.已知是單位向量，在四邊形ABCD中，，，則四邊形ABCD的形狀為_________．（矩形、正方形、菱形、梯形）.【答案】菱形；【解析】【分析】利用向量得到四邊形對邊和鄰邊的位置關(guān)系，判斷四邊形的形狀.【詳解】是單位向量，在四邊形ABCD中，，，則，在四邊形ABCD中，，，可知四邊形ABCD是平行四邊形，又，，所以四邊形ABCD是菱形.故答案為：菱形.15.如圖，在直三棱柱中，，若，當三棱柱體積最大時，三棱柱外接球的體積是____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三棱柱體積最大時，求出外接球的半徑即可得出球的體積.【詳解】設(shè)由，可得，即，因為三棱柱體積，所以，當且僅當時等號成立，即時，三棱柱體積最大，如圖，連接，交于點，設(shè)E，F(xiàn)分別是的中點，連接，因為四邊形是正方形，所以，且，從而平面，由知是的外心，所以是三棱柱外接球的球心，設(shè)三棱柱外接球的半徑為.在正方形中，，所以三棱柱外接球的體積.故答案為：16.如圖在直角梯形中，，，，．點E，F(xiàn)為線段BC上兩點，滿足，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)梯形的幾何性質(zhì)，建立平面直角坐標系，表示出向量的坐標，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算，求得其表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得答案.【詳解】由題意，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標系，梯形ABCD中，，，，，作于G,則,設(shè)，則，即，則，故，所以，由，此時為增函數(shù)，故，即，故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.給定平面內(nèi)的三個向量（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應用向量線性運算的坐標表示求，根據(jù)向量平行的坐標表示求參數(shù)；（2）根據(jù)向量垂直的坐標表示求參數(shù).【小問1詳解】，又，所以，可得.小問2詳解】由，則，所以.18.如圖，在中，，E是AD的中點，設(shè)，.（1）試用，表示；（2）若，與的夾角為，求【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用向量加法減法的三角形法則及數(shù)乘運算即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用向量的模公式和向量的數(shù)量積公式即可求解.【小問1詳解】因為，所以.所以.因為E是AD的中點，所以.小問2詳解】由（1）知，，所以，所以19.如圖，在四棱錐中，已知底面為平行四邊形，點為棱的中點．（1）求證：平面；（2）設(shè)平面平面，點在上，求證：為的中點．【答案】（1）證明過程見詳解；（2）證明過程見詳解.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，直接證明，即可得出結(jié)果.（2）先由線面平行的性質(zhì)定理，得到，進而可得結(jié)論成立.【詳解】（1）因為底面為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，平面，又因為平面平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得，，因為，所以，又點為棱的中點，點在上，所以為的一條中位線，因此為的中點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查證明線面平行，考查由線面平行判斷線線平行，解題的關(guān)鍵在于熟記線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，將第二問要證明的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為證明即可，屬于基礎(chǔ)題.20.如圖所示,在四棱錐中,四邊形是正方形,點分別是線段的中點.（1）求證：;（2）線段上是否存在一點,使得面面,若存在，請找出點并證明;若不存在,請說明理由.【答案】（1）見證明；(2)見解析【解析】【分析】（1）由四邊形為正方形可知，連接必與相交于中點，證得，利用線面平行的判定定理，即可得到面；（2）由點分別為中點，得，由線面平行的判定定理，證得面，由面面平行的判定定理，即可得到證明.【詳解】（1）證明：由四邊形為正方形可知，連接必與相交于中點故∵面∴面（2）線段上存在一點滿足題意，且點是中點理由如下：由點分別為中點可得：∵面∴面由（1）可知，面且故面面【點睛】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，著重考查了推理與論證能力．21.在①，②，且，③，這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并給出解答．在中，角，，所對應的邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，求周長的最大值.【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）選①，解法一，利用余弦定理的推理及特殊值的三角函數(shù)即可求解；解法二，利用正弦定理邊角化及三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合兩角和的正弦公式及特殊值的三角函數(shù)即可求解；選②，利用向量垂直的條件及正弦定理的角化邊，結(jié)合余弦定理的推理及特殊值的三角函數(shù)即可求解；選③，利用兩角和的正弦公式及輔助角公式，結(jié)合特殊值的三角函數(shù)即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及余弦定理，利用基本不等式及三角形的周長公式即可求解.【小問1詳解】選①，解法一：由及余弦定理的推論，得，化簡得，所以，因為,所以.解法二：由正弦定理及得又又,.選②，，且，化簡得，由余弦定理的推理得，,.選③由得即，【小問2詳解】由（1）知，，由余弦定理得又當且僅當時等號成立，解得當且僅當時等號成立，得周長得最大值為22.如圖所示，，，，四邊形BEFM為正方形，，N為BM的中點.（1）若D是BC中點，求；（2）若點P滿足，①求的取值范圍；②點是以B為圓心，BM為半徑的圓上一動點.且在正方形BEFM的內(nèi)部（包括邊界），若，求的最小值.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）解法一：通過余弦定理和勾股定理直接計算求解；解法二：根據(jù)向量平方的轉(zhuǎn)化進行計算求解；（2）①由題意得到的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)，，根據(jù)向量坐標公式以及輔助角公式計算即可；②設(shè)，直線與直線相交與點，根據(jù)平面向量基本定理相關(guān)知識進行轉(zhuǎn)化，得到當越大時，越小，進而得到.【小問1詳解】解法一：由余弦定理：，所以，即，所以