2022年湖南省懷化市實驗中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若（3x﹣）n展開式中各項系數(shù)之和為32，則該展開式中含x3的項的系數(shù)為（）A．﹣5 B．5 C．﹣405 D．405參考答案：C【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】令二項式中的x為1，求出展開式的各項系數(shù)和，求出n；利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數(shù)為3，求出r，將r的值代入通項，求出該展開式中含x3的項的系數(shù)．【解答】解：令x=1得展開式的各項系數(shù)之和為2n∴2n=32解得n=5∴=展開式的通項為Tr+1=（﹣1）r35﹣rC51x5﹣2r令5﹣2r=3得r=1所以該展開式中含x3的項的系數(shù)為﹣34C51=﹣405故選C2.已知三角形中，，，連接并取線段的中點，則的值為（

）A．－5

B．

C.

D．－2參考答案：B3.若關(guān)于x的不等式在(－∞,0)∪(0,+∞)上恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A.

B.C.

D.參考答案：A依題意，或，令，則，所以當時，，當時，，當時，，當時，，所以或，即或，故選A.

4.已知數(shù)列滿足，則“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.即不充分也不必要條件參考答案：A若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以數(shù)列是等差數(shù)列.若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，不能推出數(shù)列是等差數(shù)列.所以數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.5.若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,4}，N＝{2,3}，則集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(?UM)∪(?UN)

D．(?UM)∩(?UN)參考答案：D6.已知函數(shù)（其中），則函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為（

）個A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：B【分析】求導得到得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，計算，得到答案.【詳解】（其中）.故或時，時，即在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.由于，而，所以，又，所以函數(shù)有唯一零點故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，求導得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是解題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第（13）~（21）題為必考題，每個試題考生都必須做答，第（22）~（23）題為選考題，考生根據(jù)要求做答.7.已知f′（x）是奇函數(shù)f（x）的導函數(shù)，f（﹣1）=0，當x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＞0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是(

)A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）參考答案：B【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系．【專題】導數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=，由求導公式和法則求出g′（x），結(jié)合條件判斷出g′（x）的符號，即可得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)f（x）奇函數(shù)判斷出g（x）是偶函數(shù)，由f（﹣1）=0求出g（﹣1）=0，結(jié)合函數(shù)g（x）的單調(diào)性、奇偶性，再轉(zhuǎn)化f（x）＞0，由單調(diào)性求出不等式成立時x的取值范圍．【解答】解：由題意設(shè)g（x）=，則g′（x）=∵當x＞0時，有xf′（x）﹣f（x）＞0，∴當x＞0時，g′（x）＞0，∴函數(shù)g（x）=在（0，+∞）上為增函數(shù)，∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴g（﹣x）====g（x），∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，g（x）在（﹣∞，0）上遞減，由f（﹣1）=0得，g（﹣1）=0，∵不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0，∴或，即或，即有x＞1或﹣a＜x＜0，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故選：B．【點評】本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查構(gòu)造函數(shù)法，轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于綜合題．8.已知集合，，則A．

B．

C． D．參考答案：【知識點】交集及其運算．A1

【答案解析】B

解析：=[﹣1，+∞），=（﹣∞，2]，則[﹣1，2]．故選：B．【思路點撥】求解函數(shù)的值域化簡集合M，N，然后直接取交集得答案．9.在平行四邊形ABCD中，，，連接CE、DF相交于點M，若，則實數(shù)λ與μ的乘積為A．B．C．D．參考答案：B略10.已知全集,集合X={x|x2－x=0},Y={x|x2+x=0},則等于(

)A．

B．{0}

C．｛1｝

D．{－1,0,1}

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1+a11=3a6－4，則則Sn=

。參考答案：44

略12.等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交

于和兩點，，則的實軸長為__________．參考答案：413.函數(shù)的圖像與x軸所圍成的封閉圖形的面積為

.參考答案：14.已知且則的值_________參考答案：略15.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且則．參考答案：16.已知，則不等式的解集是____________．參考答案：略17.函數(shù)的定義域為，若且時，總有，則稱為單函數(shù)。例如，函數(shù)是單函數(shù)。下列命題：①函數(shù)是單函數(shù)；②若為單函數(shù)，且，則；③若為單函數(shù)，則其導函數(shù)無解；④函數(shù)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則一定是單函數(shù)。其中的真命題是________(寫出所有真命題的編號)。參考答案：②。①錯誤，如=1，則，，顯然，因此不是單函數(shù)；②正確，利用原命題與逆否命題等價可得；③錯誤，如，令，得；④錯誤，如在（0，+）具有單調(diào)性，而不是單函數(shù)。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知遞增等比數(shù)列的前n項和為，，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，且的前項和．求證：參考答案：（1）．（2）見解析．試題分析：（1）設(shè)公比為q，由題意：q>1,，根據(jù)建立的方程即可．（2）由（I）得到，利用“分組求和法”，應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式得到利用其在上是單調(diào)遞增即可得證．試題解析：（1）設(shè)公比為q，由題意：q>1,，則，，∵，∴，

2分則解得：或（舍去），∴

4分（2）

6分

8分又∵在上是單調(diào)遞增的∴∴

10分考點：1．數(shù)列的通項；2．“分組求和法”；3．等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式．19.已知，（1）

若，求；（2）

是否存在實數(shù)a使得集合中的元素個數(shù)為4個？若存在，求出所有的實數(shù)a；若不存在，說明理由.參考答案：（1）；（2）20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一點．（Ⅰ）若CD∥平面PBO，試指出點O的位置；（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD．

參考答案：解：因為CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，所以BO∥CD又BC∥AD，所以四邊形BCDO為平行四邊形，則BC=DO，而AD=3BC，故點O的位置滿足AO=2OD．（Ⅱ）證：因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，且AB⊥交線AD，所以AB⊥平面PAD，則AB⊥PD又PA⊥PD，且PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA=A，所以PD⊥平面PAB，PD?平面PCD，所以：平面PAB⊥平面PCD．略21.（本題滿分14分）小明早上從家里出發(fā)到學校上課，如圖所示，有兩條路線可走，且走哪條路線的可能性是相同的，圖中A、B、C、D處都有紅綠燈，小明在每個紅綠燈處遇到紅燈的概率都是，且各個紅綠燈處遇到紅燈的事件是相互獨立的，每次遇到紅燈都需等候10秒．（I）求小明沒有遇到紅燈的概率；（II）記小明等候的總時間為，求的分布列并求數(shù)學期望．

參考答案：（I）記“小明沒有遇到紅燈”為事件A，則

……4分（II）由題可知：0，10，20，30……………6分…………8分

……………10分……………………12分∴的分布列：0102030P∴

…………………14分22.如圖，拋物線E：y2=2px（p＞0）與圓O：x2+y2=8相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為2．過劣弧AB上動點P（x0，y0）作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點，分別以C，D為切點作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點M．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）求動點M的軌跡方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程．【分析】（Ⅰ）由點A的橫坐標為2，可得點A的坐標為（2，2），代入y2=2px，解p．（Ⅱ）設(shè)，，y1≠0，y2≠0．切線l1：，代入y2=2x，求出，得到l1方程為，同理l2方程為，聯(lián)立直線方程組，求出M，利用CD方程為x0x+y0y=8，聯(lián)立方程利用