第46講解析幾何中的四點(diǎn)共圓問題一、單選題1．（2020·全國全國·模擬預(yù)測）已知，分別為雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），若射線是的角平分線，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由，，，四點(diǎn)共圓得到，結(jié)合射線是的角平分線以及雙曲線的性質(zhì)求得，由此求得，結(jié)合雙曲線的定義求得雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，所以．因?yàn)樯渚€是的角平分線，所以，由雙曲線的對(duì)稱性知，所以，，因此，，從而，因此離心率.故選：B2．（2020·河北·張家口市宣化第一中學(xué)高三月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，延長與交于點(diǎn)，若四點(diǎn)共圓，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由四點(diǎn)共圓，可得，即，列等式即可求解.【詳解】如圖，，，，，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，,所以，所以，即，，整理可得，所以，，解得，因?yàn)椋?

故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題3．（2021·山東菏澤·二模）已知，為雙曲線C：x2–=1的左、右焦點(diǎn)，在雙曲線右支上取一點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，直線PF2與y軸交于點(diǎn)Q，連接QF1，△PQF1，的內(nèi)切圓圓心為I，則下列結(jié)論正確的有（）A．F1，F(xiàn)2，P，I四點(diǎn)共圓 B．△PQF1的內(nèi)切圓半徑為1C．I為線段OQ的三等分點(diǎn) D．PF1與其中一條漸近線垂直【答案】ABD【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得，，由雙曲線的對(duì)稱性可判斷A；由雙曲線的定義可判斷B；根據(jù)可判斷C、D.【詳解】解析：由勾股定理及雙曲線的定義可得：，對(duì)于A：易知在軸上，由對(duì)稱性可得，則，可知，，，四點(diǎn)共于以為直徑的圓上；A正確對(duì)于B：，正確對(duì)于C：，故為中點(diǎn)，C錯(cuò)誤．D顯然正確．故選：ABD4．（2021·江蘇海安·模擬預(yù)測）已知雙曲線，為雙曲線上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線為，雙曲線的左右焦點(diǎn)，到直線的距離分別為，，則（）A．B．直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn)為，，則，，，四點(diǎn)共圓C．該雙曲線的共軛雙曲線的方程為D．過的弦長為5的直線有且只有1條【答案】AB【分析】對(duì)于A中，求得切線的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，可判定A正確對(duì)于B中，聯(lián)立方程組，分別求得坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式，可判定B正確，根據(jù)共軛雙曲線的定義，可判定C錯(cuò)誤；結(jié)合實(shí)軸長和通經(jīng)，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】由題意，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，對(duì)于A中，由雙曲線的性質(zhì)，可得切線的方程為，即，則，所以A正確對(duì)于B中，聯(lián)立方程組，可得，又由，可得，，，，，則，∴，，∴，，，四點(diǎn)共圓，B正確.對(duì)于C中，雙曲線的共軛雙曲線為，所以C錯(cuò)誤對(duì)于D中，由雙曲線，可得，則，可得，且通經(jīng)長，所以過的弦長為5的直線有3條，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)，，結(jié)合斜率公式和傾斜角的定義，判定得到四點(diǎn)共面是解答的關(guān)鍵.三、雙空題5．（2021·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上不同的三點(diǎn)，，，滿足，，且O，A，B，C四點(diǎn)共圓，則直線BC的方程是___________；四邊形的面積為___________．【答案】90【分析】結(jié)合，四點(diǎn)共圓，由求得，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，由求得，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo).由的坐標(biāo)求得直線的方程.求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】依題意有，則，得，又有，，所以，解得或（舍），.故可知，，則有直線的方程為，即；易知，，，，所以．故答案為：；四、填空題6．（2021·廣西·模擬預(yù)測（理））過作與雙曲線（，的兩條漸近線平行的直線，分別交兩漸近線于、兩點(diǎn)，若四點(diǎn)共圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為______．【答案】【分析】聯(lián)立直線、與直線，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線、與直線，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察坐標(biāo)可知，四邊形為菱形，其外接圓圓心在、的交點(diǎn)處，再結(jié)合的數(shù)量積為0，即可求解．【詳解】解：由題意可得，∵直線、都平行于漸近線，∴可設(shè)直線的方程為，直線的方程為，∴過點(diǎn)平行與的直線的方程為，過點(diǎn)平行與的直線的方程為，分別聯(lián)立方程，，解得，，即線段與互相垂直平分，則四邊形為菱形，其外接圓圓心在、的交點(diǎn)處，∴，則即，∵，，∴雙曲線的離心率，故答案為：．7．（2021·浙江·高二單元測試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于A點(diǎn)，直線與y軸及直線l分別交于B點(diǎn)，C點(diǎn)，且A，B，C，O四點(diǎn)共圓，則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.【答案】【分析】由題意得為直徑，且直線l與m垂直故，得所以圓心與半徑可求，則圓方程易得.【詳解】由題意A，B，C，O四點(diǎn)共圓且，所以，則直線l與m垂直故，又，此圓的圓心為，半徑為＝，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：五、解答題8．（2021·浙江省東陽市第二高級(jí)中學(xué)高二期中）已知橢圓的焦距為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l的方程為，AB是橢圓上與坐標(biāo)軸不平行的一條弦，M為弦的中點(diǎn)，直線MO交l于點(diǎn)P，過點(diǎn)O與AB平行的直線交/于點(diǎn)Q，直線PF交直線OQ于點(diǎn)R，直線QF交直線MO于點(diǎn)S．①證明：O，S，F(xiàn)，R四點(diǎn)共圓；②記△QRF的面積為，△QSO的面積為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）①證明見解析，②.【分析】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，利用求解即可；（2）①設(shè)，，，直線AB的斜率為k，由點(diǎn)差法可得直線MO的斜率為，然后根據(jù)斜率可證明、，即可得證；②由①可知：，所以，然后可算出，，然后，即可求得答案.（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由題意可知，根據(jù)定義，可求得，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①設(shè)，，，直線AB的斜率為k，則有，作差得：兩邊同除，可得：，即，所以直線MO的斜率為，MO的方程為所以，所以直線PF的斜率為，因?yàn)椋杂煽汕蟮?，所以直線QF的斜率為，因?yàn)椋跃C上，O，S，F(xiàn)，R四點(diǎn)共圓，OF為圓的一條直徑.②由①可知：，所以，由于直線PF的方程為，直線OP的方程為，由垂徑定理可知，，，又因?yàn)椋?，綜上，的取值范圍為.9．（2021·吉林·梅河口市第五中學(xué)高二月考）已知雙曲線：與點(diǎn)．（1）是否存在過點(diǎn)的弦，使得的中點(diǎn)為；（2）如果線段的垂直平分線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，證明：、、、四點(diǎn)共圓．【答案】（1）存在；（2）證明見解析.【分析】（1）利用點(diǎn)差法求解；（2）利用點(diǎn)差法和弦長公式求出相關(guān)線段的長度，再利用距離公式證明線段相等，可求證得四點(diǎn)共圓.【詳解】解：（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，．設(shè)存在過點(diǎn)的弦，使得的中點(diǎn)為，設(shè)，，，兩式相減得，即得：，．存在這樣的弦．這時(shí)直線的方程為．（2）設(shè)直線方程為，則點(diǎn)在直線上．則，直線的方程為，設(shè)，，的中點(diǎn)為，，兩式相減得，則，則又因?yàn)樵谥本€上有，解得，，解得，，，整理得，則則由距離公式得所以、、、四點(diǎn)共圓．10．（2021·福建福州·模擬預(yù)測）已知斜率為的直線交橢圓于A，兩點(diǎn)，的垂直平分線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．（1）若，求直線的方程以及的取值范圍；（2）不管怎么變化，都有A，，，四點(diǎn)共圓，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）；【分析】（1）當(dāng)時(shí)，寫出直線AB方程，聯(lián)立韋達(dá)定理，根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出直線AB的斜率，進(jìn)而寫出直線方程，根據(jù)判別式求出的取值范圍；（2）若A，，，四點(diǎn)共圓，則有成立，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式表示出來，因?yàn)椴还茉趺醋兓?，式子恒成立，所以可以求得，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)，所以直線AB方程為：，聯(lián)立橢圓方程得到：，設(shè)點(diǎn)，,由韋達(dá)定理可知：，解得，所以直線AB方程為：即，將代入方程，得到，則，解得，所以的取值范圍為.（2）設(shè)直線AB方程，聯(lián)立橢圓方程得到：，由韋達(dá)定理可知：，即，，則，所以，CD中點(diǎn)P坐標(biāo)等于，點(diǎn)P到AB距離等于，因?yàn)锳，，，四點(diǎn)共圓等價(jià)于,即整理得，即不管怎么變化，都有上式成立，則，解得，代入方程，使得，解得，滿足題意所以的取值范圍為：.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．11．（2021·重慶·高二期末）設(shè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，不過原點(diǎn)且斜率為的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與曲線交于,D兩點(diǎn)，證明：，，，四點(diǎn)共圓.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)系式并整理化簡即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，分別求解，最后證明兩者相等即可.【詳解】解：（1）設(shè)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是，所以，整理化簡得.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)直線的方程為，，，由方程組得，①方程①的判別式為，由，即，解得.由①得，.所以點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程為，由方程組得，.所以.又.所以.所以，，，四點(diǎn)共圓.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．12．（2021·北京·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為、，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)滿足，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，求證：、、、四點(diǎn)共圓.【答案】（1）橢圓的方程為，離心率為；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求出的值，結(jié)合已知條件可得的值，進(jìn)而可求得的值，可得出橢圓的方程及其離心率；（2）計(jì)算得出，可設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系得出，由此可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）由橢圓的定義可得，，則，所以，橢圓的方程為，該橢圓的離心率為；（2）設(shè)點(diǎn)，則，則，，所以，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，，而，所以，，則，易知，所以，、、、四點(diǎn)共圓.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查四點(diǎn)共圓的證明，一般轉(zhuǎn)化為證明四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，本題中注意到13．（2021·上海黃浦·三模）已知直線交拋物線于兩點(diǎn).（1）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且關(guān)于直線對(duì)稱，求證：四點(diǎn)共圓：（3）記為拋物線的焦點(diǎn)，過拋物線上的點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，若的面積是的面積的兩倍，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）或.【分析】(1)聯(lián)立直線與拋物線，韋達(dá)定理得到，再利用化簡得到，從而求出，最后帶回韋達(dá)定理求出實(shí)數(shù)的值；(2)通過證明得到，同理，于是點(diǎn)在以為直徑的圓上，即四點(diǎn)共圓；(3)根據(jù)的面積是的面積的兩倍求得直線與軸的交點(diǎn)為或，再根據(jù)直接法求出線段中點(diǎn)的軌跡方程，中間注意舍去不滿足題意的點(diǎn).【詳解】解：（1）由得.設(shè)，則因?yàn)橹本€與相交，所以，得由，得，所以，解得，從而，因?yàn)?，所以，?（2）設(shè)，因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，故.又于是，即.由點(diǎn)在拋物線上，有.因?yàn)?，所以，于是因此，同理，于是點(diǎn)在以為直徑的圓上，即四點(diǎn)共圓.（3）易知設(shè)，則設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則由題設(shè)，可得，所以或.設(shè)線段的中點(diǎn)為，有當(dāng)時(shí)，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得，即而，所以.同理，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合.符合綜上，線段的中點(diǎn)的軌跡方程或.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的中點(diǎn)或中點(diǎn)弦問題，一般就是點(diǎn)差法，斜率公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解問題；(3)驗(yàn)證四點(diǎn)共圓是要找直徑，問題可轉(zhuǎn)化成邊與邊垂直，不管用向量還是用斜率都可以解決.14．（2021·四川瀘州·三模（理））從拋物線上各點(diǎn)向軸作垂線段，記垂線段中點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線；（2）過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)、，線段的垂直平分線交曲線于兩點(diǎn)、，探究是否存在直線使、、、四點(diǎn)共圓？若能，請(qǐng)求出圓的方程；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）曲線的方程為，曲線是焦點(diǎn)為的拋物線；（2）存在；圓的方程為或．【分析】（1）設(shè)拋物線上的任意點(diǎn)為，垂線段的中點(diǎn)為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出，代入等式化簡可得出曲線的方程，進(jìn)而可得出曲線的形狀；（2）設(shè)直線的方程為，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出，求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出線段的中垂線的方程，求出，根據(jù)四點(diǎn)共圓結(jié)合垂徑定理可得出關(guān)于的等式，求出的值，進(jìn)一步可求得圓的方程，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)拋物線上的任意點(diǎn)為，垂線段的中點(diǎn)為，故，則，代入得，得曲線的方程為，所以曲線是焦點(diǎn)為的拋物線；（2）若直線與軸重合，則直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意知，設(shè)、，聯(lián)立，得，，則，，則，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，所以線段中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€為線段的垂直平分線，可設(shè)直線的方程為，則，故，聯(lián)立，得，設(shè)、，則，，故，線段中點(diǎn)為，假設(shè)、、、四點(diǎn)共圓，則弦的中垂線與弦中垂線的交點(diǎn)必為圓心，因?yàn)闉榫€段的中垂線，則可知弦的中點(diǎn)必為圓心，則，在中，，所以，則，故，即，解得，即，所以存在直線，使、、、四點(diǎn)共圓，且圓心為弦的中點(diǎn)，圓的方程為或．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.15．（2021·四川瀘州·三模（文））已知拋物線：（）上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為1．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求直線：交拋物線于兩點(diǎn)、，線段的垂直平分線交拋物線于兩點(diǎn)、，求證：、、、四點(diǎn)共圓．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，即可求出，從而得到拋物線方程，再計(jì)算出參數(shù)的值；（Ⅱ）設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)橹本€為線段的垂直平分線，直線的方程為，設(shè)，，求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理計(jì)算可得；【詳解】解：（Ⅰ）的準(zhǔn)線為，因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，所以，故，即，又在上，所以；（Ⅱ）設(shè)，，聯(lián)立，得，則，，且，即，則，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，所以線段中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€為線段的垂直平分線，直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，故，線段中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，同理點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以、、、四點(diǎn)共圓．【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．16．（2021·江蘇·高二單元測試）已知直線交拋物線于兩點(diǎn)．（1）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為．若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且關(guān)于直線對(duì)稱，求證：四點(diǎn)共圓．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）設(shè)，直線方程代入拋物線方程后由判別式得的范圍，由韋達(dá)定理得，再由向量的數(shù)乘可得＝0，結(jié)合韋達(dá)定理可得值；（2）設(shè)，由對(duì)稱性得，．再由在拋物線上，代入變形得與的關(guān)系，然后計(jì)算，得，同理，得證四點(diǎn)共圓．【詳解】解：由得．設(shè)，則．因?yàn)橹本€與相交，所以得．（1）由，得，所以，解得從而，因?yàn)樗越獾茫?）設(shè)，因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則解得．又于是解得．又點(diǎn)在拋物線上，于是．因?yàn)樗?，于是因此，同理于是點(diǎn)在以為直徑的圓上，即四點(diǎn)共圓．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線相交問題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法，如設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理可得，再利用向量的線性運(yùn)算求得關(guān)系，從而可求得值．17．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F的直線m與拋物線E交于兩點(diǎn)，過F且與直線m垂直的直線n與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M．（1）若直線m的斜率為，求的值；（2）設(shè)的中點(diǎn)為N，若四點(diǎn)共圓，求直線m的方程．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）由拋物線的定義建立方程即可.（2）設(shè)直線m的方程為，用表示坐標(biāo)，再結(jié)合條件得到，建立關(guān)于的方程即可獲解.【詳解】（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，直線m的斜率為直線m的傾斜角為，由拋物線的定義，有，，解得：，若時(shí)，同理可得：，或．（2）設(shè)直線m的方程為，代入，得．設(shè)，則．由，得，所以．因?yàn)橹本€m的斜率為，所以直線n的斜率為，則直線n的方程為．由解得．若四點(diǎn)共圓，再結(jié)合，得，則，解得，所以直線m的方程為．【點(diǎn)睛】（1）有些題目可以利用拋物線的定義結(jié)合幾何關(guān)系建立方程獲解；（2）直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.18．（2020·浙江麗水·高三月考）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓交x軸于M，N，且當(dāng)軸時(shí)，．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線AN，AM分別交拋物線C于G，H（不同于A），直線AB交GH于點(diǎn)P，且直線AB的斜率大于0，證明：存在唯一這樣的直線AB使得B，H，P，M四點(diǎn)共圓．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）當(dāng)軸時(shí)得，點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程，即可得答案；（2）設(shè)點(diǎn)，，，，直線與拋物線方程聯(lián)立、，和，圓的方程并令，得，，即B，H，P，M四點(diǎn)共圓等價(jià)于，再證明存在唯一直線AB滿足可得答案.【詳解】（1）當(dāng)軸時(shí)，，故圓的方程為，即，得，故拋物線C的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)，，，，直線，聯(lián)立得：，，，，所以，∴，故圓心，半徑，即圓的方程為，令，則，化簡得：，，，若B，H，P，M四點(diǎn)共圓，則，即B，H，P，M四點(diǎn)共圓等價(jià)于，下證：存在唯一直線AB滿足，設(shè)，，直線和直線，聯(lián)立，得：，所以，，同理，，∴，又∵，，∴，又，得，所以，即，，設(shè)，，，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又∵，，且，故存在唯一滿足，即存在唯一，滿足，綜上結(jié)論得證．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線、圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是證明B，H，P，M四點(diǎn)共圓和證明存在唯一直線AB滿足，考查了學(xué)生分析問題、解決問題及推理能力.19．（2020·廣西師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考）已知橢圓C：的左?右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，P是C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：直線AP，BP的斜率之積為定值，并求出該定值.（2）設(shè)，直線AP，BP分別交直線l：x=3于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得O，M，N，T四點(diǎn)共圓？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析，定值；（2）存在，定點(diǎn).【分析】（1）由題意知，設(shè)P(x0，y0)，y0≠0，則，然后利用斜率公式求化簡可得結(jié)果；（2）由題意先求出橢圓C的方程為，設(shè)直線AP的方程為，則直線BP的方程為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立可求出，，假設(shè)△MNO的外接圓恒過定點(diǎn)T(t，0)，t≠0，然后求出線段MN的垂直平分線所在直線的方程和線段OT的垂直平分線所在直線的方程，從而可求出圓心，再由|OE|=|ME|，可求出的值，進(jìn)而得O，M，N，T四點(diǎn)共圓【詳解】（1）由題意知，設(shè)P(x0，y0)，y0≠0，則，所以直線AP與BP的斜率之積，即直線AP，BP的斜率之積為定值.（2）存在.理由如下：由題意知，得.因?yàn)?，所以，所以b2=1，所以橢圓C的方程為.設(shè)直線AP的方程為，則直線BP的方程為.聯(lián)立可得，同理可得.假設(shè)△MNO的外接圓恒過定點(diǎn)T(t，0)，t≠0，因?yàn)榫€段MN的垂直平分線所在直線的方程為，線段OT的垂直平分線所在直線的方程為，所以圓心.又|OE|=|ME|，所以，解得.所以存在定點(diǎn)，使得O，M，N，T四點(diǎn)共圓.【點(diǎn)睛】此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定點(diǎn)問題，考查計(jì)算能力，屬于中檔題20．（2020·甘肅·天水市第一中學(xué)二模（文））在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是拋物線上上一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線垂直的直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，若、、四點(diǎn)共圓，求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可求出，從而得到拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入，得.設(shè)，，列出韋達(dá)定理，表示出中點(diǎn)的坐標(biāo)，若、、、四點(diǎn)共圓，再結(jié)合，得，則即可求出參數(shù)，從而得解；【詳解】解：（1）由拋物線定義，得，解得，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，代入，得.設(shè)，，則，.由，，得，所以.因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率為，則直線的方程為.由解得.若、、、四點(diǎn)共圓，再結(jié)合，得，則，解得，所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線綜合問題，屬于中檔題.21．（2020·江西師大附中三模（理））已知橢圓上三點(diǎn)、、與原點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．（1）若點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若、、、四點(diǎn)共圓，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由已知可得，由，且，設(shè)，代入橢圓方程解方程即可得解；（2）因?yàn)?、、、四點(diǎn)共圓，則平行四邊形是矩形且，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理代入，化簡計(jì)算求解即可.【詳解】解析：（1）如圖所示：因?yàn)?，四邊形為平行四邊形，所以，且．設(shè)點(diǎn)，則因?yàn)辄c(diǎn)M、A在橢圓C上，所以，解得，所以．（2）因?yàn)橹本€的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，，．由消去y得，則有，．因?yàn)槠叫兴倪呅?，所以．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程化得．①因?yàn)锳、M、B、O四點(diǎn)共圓，所以平行四邊形是矩形，且，所以．因?yàn)?，所以，化得．②由①②解得，，此時(shí)，因此．所以所求直線的斜率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了聯(lián)立直線與橢圓的方程利用韋達(dá)定理列式表達(dá)斜率以及垂直的方法進(jìn)而代入求解的問題，考查計(jì)算能力和邏輯推理能力，屬于難題.22．（2020·江蘇南京·三模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C：(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(﹣2,0)和,橢圓C上三點(diǎn)A,M,B與原點(diǎn)O構(gòu)成一個(gè)平行四邊形AMBO.（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)B是橢圓C左頂點(diǎn),求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若A,M,B,O四點(diǎn)共圓,求直線AB的斜率.【答案】（1）＋y2＝1；（2）M(－1,±)；（3）±【分析】(1)將點(diǎn)和代入橢圓＋＝1求解即可.(2)根據(jù)平行四邊形AMBO可知AM∥BO,且AM＝BO＝2.再設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),則A(x0＋2,y0),代入橢圓C求解即可.(3)因?yàn)锳,M,B,O四點(diǎn)共圓,所以平行四邊形AMBO是矩形,且OA⊥OB,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理代入·＝x1x2＋y1y2＝0求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓＋＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)和,所以a＝2,＋＝1,解得b2＝1,所以橢圓C的方程為＋y2＝1.（2）因?yàn)锽為左頂點(diǎn),所以B(－2,0).因?yàn)樗倪呅蜛MBO為平行四邊形,所以AM∥BO,且AM＝BO＝2.設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),則A(x0＋2,y0).因?yàn)辄c(diǎn)M,A在橢圓C上,所以解得所以M(－1,±).（3）因?yàn)橹本€AB的斜率存在,所以設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m,A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,則有x1＋x2＝,x1x2＝.因?yàn)槠叫兴倪呅蜛MBO,所以＝＋＝(x1＋x2,y1＋y2).因?yàn)閤1＋x2＝,所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝k·＋2m＝,所以M(,).因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上,所以將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程,化得4m2＝4k2＋1.①因?yàn)锳,M,B,O四點(diǎn)共圓,所以平行四邊形AMBO是矩形,且OA⊥OB,所以·＝x1x2＋y1y2＝0.因?yàn)閥1y2＝(kx1＋m)(kx1＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝,所以x1x2＋y1y2＝＋＝0,化得5m2＝4k2＋4.②由①②解得k2＝,m2＝3,此時(shí)△＞0,因此k＝±.所以所求直線AB的斜率為±.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程的基本求法,同時(shí)也考查了聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理列式表達(dá)斜率以及垂直的方法,進(jìn)而代入求解的問題.屬于難題.23．（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)．點(diǎn)在橢圓上，且．（1）若橢圓的離心率為，短軸長為．求橢圓的方程；（2）若在軸上方存在兩點(diǎn)，使四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意，可得，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，，，可得的外接圓即為以為直徑的圓，可得，根據(jù)點(diǎn)，均在軸上方，可得，解得即可；【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意，可得，解得，，橢圓的方程為，（2）設(shè)，，，，，則的外接圓即為以為直徑的圓，由題意，焦點(diǎn)，原點(diǎn)均在該圓上，，消去可得，，點(diǎn)，均在軸上方，，即，，，，故的范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線的圓錐曲線的位置關(guān)系，考查圓的方程及點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，屬于中檔題．24．（2020·全國·一模（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線E上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，.（1）求拋物線E的方程；（2）過點(diǎn)F的直線m與拋物線E交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)F且與直線m垂直的直線n與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M，設(shè)AB的中點(diǎn)為N，若O、M、N、F四點(diǎn)共圓，求直線m的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）首先根據(jù)拋物線的定義和題中條件求出拋物線的焦準(zhǔn)距，即可得到拋物線的方程；（2）首先設(shè)直線m的方程，然后與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)N坐標(biāo)，然后設(shè)直線n的方程求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，最后利用O、M、N、F四點(diǎn)共圓即可求出直線m的方程.【詳解】（1）由拋物線定義，得，解得，所以拋物線F的方程為；（2）設(shè)直線m的方程為，代入，得，設(shè)，，則，，由，，得，所以，因?yàn)橹本€m的斜率為，所以直線n的斜率為，則直線n的方程為，由解得，若O、M、N、F四點(diǎn)共圓，再結(jié)合，得，則，解得，所以直線m的方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定理，直線與拋物線的交點(diǎn)問題，屬于一般題.25．（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））已知直線與軸，軸分別交于，，線段的中垂線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、．（1）求的取值范圍；（2）是否存在，使得，，，四點(diǎn)共圓，若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在，【分析】（1）求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，得出其中垂線方程為，與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)即可得結(jié)果；（2）設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，將（1）和韋達(dá)定理可得，，結(jié)合四點(diǎn)共圓