專(zhuān)題35投影與視圖【考查題型】【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一投影一般地，用光線(xiàn)照射物體，在某個(gè)平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影。照射光線(xiàn)叫做投影線(xiàn)，投影所在的平面叫做投影面。平行投影的概念：由平行光線(xiàn)形成的投影叫做平行投影。（例如：太陽(yáng)光）平行投影的特征：1）等高的物體垂直地面放置時(shí)（圖1），在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng)。

2）等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)（圖2），它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度?！拘〖记伞?）圖1中，兩個(gè)物體及它們各自的影子及光線(xiàn)構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例。2）已知物體影子可以確定光線(xiàn)，過(guò)已知物體頂端及影子頂端作直線(xiàn)，過(guò)其他物體頂端作此線(xiàn)的平行線(xiàn)，便可求出同一時(shí)刻其他物體的影子。（理由：同一時(shí)刻光線(xiàn)是平行的光線(xiàn)下行成的）3）在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例，即：，利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如：旗桿/樹(shù)/樓房的高度等。

4）在不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影子長(zhǎng)度由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng)。中心投影的概念：由一點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)形成的投影叫做中心投影。（例如：手電筒、路燈、臺(tái)燈等）

中心投影的特征：1）等高的物體垂直地面放置時(shí)（圖3），在燈光下離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng)。2）等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)（圖4），一般情況下離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短。

【小技巧】1）點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置。2）如果一個(gè)平面圖形所在的平面與投射面平行，那么中心投影后得到的圖形與原圖形也是平行的，并且中心投影后得到的圖形與原圖形相似。正投影的概念：當(dāng)平行光線(xiàn)垂直投影面時(shí)叫正投影。如圖所示，圖(1)中的投影線(xiàn)集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線(xiàn)互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線(xiàn)斜著照射投影面，圖(3)中投影線(xiàn)垂直照射投影面(即投影線(xiàn)正對(duì)著投影面)，正投影的分類(lèi)：1）線(xiàn)段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線(xiàn)段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線(xiàn)段A1B1，與線(xiàn)段AB的長(zhǎng)相等；、②線(xiàn)段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線(xiàn)段A2B2，長(zhǎng)小于線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；③線(xiàn)段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是一個(gè)點(diǎn)。2）平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí)，它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個(gè)平面圖形全等；②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí)，平面圖形的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會(huì)縮小，是類(lèi)似圖形但不一定相似。

③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí)，它的正投影是直線(xiàn)。3）立體圖形的正投影物體的正投影的形狀、大小與物體相對(duì)于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過(guò)立體圖形的最大截面全等。知識(shí)點(diǎn)二三視圖三視圖的概念：一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀(guān)察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀(guān)察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀(guān)察物體的視圖，叫做左視圖。主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖。

三視圖之間的關(guān)系：1）位置關(guān)系：三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在其右邊，2）大小關(guān)系：三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則

畫(huà)幾何體三視圖的基本方法：畫(huà)一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀(guān)察幾何體

1）確定主視圖的位置，畫(huà)出主視圖；

2）在主視圖的正下方畫(huà)出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；

3）在主視圖的正右方畫(huà)出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”。

【注意】幾何體上被其他部分遮擋而看不見(jiàn)的部分的輪廓線(xiàn)應(yīng)畫(huà)成虛線(xiàn)。由三視圖想象幾何體的形狀：由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來(lái)考慮整體圖形。

利用三視圖計(jì)算幾何體面積的方法：利用三視圖先想象出實(shí)物形狀，再進(jìn)一步畫(huà)出展開(kāi)圖，然后計(jì)算面積。考查題型一理解投影典例1（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形紙板的一條對(duì)角線(xiàn)垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個(gè)點(diǎn)）與這條對(duì)角線(xiàn)所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（

）A． B． C． D．變式1-1（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖是某風(fēng)車(chē)示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線(xiàn)恰好垂直照射葉片，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)成線(xiàn)段，測(cè)得，垂直于地面的木棒與影子的比為2∶3，則點(diǎn)O，M之間的距離等于___________米．轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，葉片外端離地面的最大高度等于___________米．變式1-2（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）小明和小華利用陽(yáng)光下的影子來(lái)測(cè)量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時(shí)刻，他們?cè)陉?yáng)光下，分別測(cè)得該建筑物OB的影長(zhǎng)OC為16米，OA的影長(zhǎng)OD為20米，小明的影長(zhǎng)FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，A、B、O三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AB．變式1-3（2020·四川攀枝花·中考真題）實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開(kāi)展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測(cè)量活動(dòng)．有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線(xiàn)的距離皆為．王詩(shī)嬑觀(guān)測(cè)到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線(xiàn)互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）若王詩(shī)嬑的身高為，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長(zhǎng)為多少？（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)．請(qǐng)直接回答這個(gè)猜想是否正確？（3）若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為，則高圓柱的高度為多少？考查題型二判斷簡(jiǎn)單幾何體的三視圖典例2（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的圓柱，其俯視圖是（

）A．B．C． D．變式2-1（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)由長(zhǎng)方體截去一部分后得到的幾何體如圖水平放置，其俯視圖是（

）A．B．C． D．變式2-2（2022·廣西·中考真題）下列幾何體中，主視圖為矩形的是（

）A．B． C．D．變式2-3（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一個(gè)放在水平桌面上的半球體，該幾何體的三視圖中完全相同的是（

）A．主視圖和左視圖 B．主視圖和俯視圖C．左視圖和俯視圖 D．三個(gè)視圖均相同變式2-4（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖①．用一個(gè)平面截長(zhǎng)方體，得到如圖②的幾何體，它在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中被稱(chēng)為“塹堵”．圖②“塹堵”的俯視圖是（

）A．B．C．D．考查題型三判斷簡(jiǎn)單組合體的三視圖典例3（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖是四個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（

）A．B．C．D．變式3-1（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，幾何體的左視圖是（）A．B．C．D．變式3-2（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）左下圖是一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖．這個(gè)幾何體只能是（）A． B． C． D．變式3-3（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖是由4個(gè)相同的小正方體構(gòu)成的一個(gè)組合體，該組合體的三視圖中完全相同的是（

）A．主視圖和左視圖 B．主視圖和俯視圖C．左視圖和俯視圖 D．三個(gè)視圖均相同變式3-4（2021·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）圖中幾何體的三視圖是（）A．B．C． D．變式3-5（2020·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)幾何體由大小相同的小立方塊搭成，它的俯視圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置小立方塊的個(gè)數(shù)，則該幾何體的主視圖為（

）A． B． C． D．變式3-6（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）幾個(gè)大小相同，且棱長(zhǎng)為1的小正方體所搭成幾何體的俯視圖如圖所示，圖中小正方形中的數(shù)字表示在該位置小正方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的左視圖的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．9考查題型四由三視圖還原幾何體典例4（2022·云南·中考真題）下列圖形是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱(chēng)正視圖，左視圖也稱(chēng)側(cè)視圖），則這個(gè)幾何體是（

）A．三棱柱 B．三棱錐 C．四棱柱 D．圓柱變式3-7（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（

）A． B． C． D．變式3-8（2021·廣西來(lái)賓·統(tǒng)考中考真題）如圖是一個(gè)幾何體的主視圖，則該幾何體是（

）A． B． C． D．變式3-9（2021·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（

）A．正方體 B．圓錐 C．圓柱 D．球變式3-10（2021·山東日照·統(tǒng)考中考真題）一張水平放置的桌子上擺放著若干個(gè)碟子，其三視圖如圖所示，則這張桌子上共有碟子的個(gè)數(shù)為（）A．10 B．12 C．14 D．18考查題型五三視圖的相關(guān)計(jì)算典例5（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）由若干個(gè)相同的小立方體搭成的幾何體的三視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小立方體的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6變式5-1（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖是由若干個(gè)相同的小正方體搭成的一個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個(gè)數(shù)最多是（

）A．7 B．8 C．9 D．10變式5-2（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖都是如圖所示的“田”字形，則搭成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)變式5-3．（2021·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐的左視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則此圓錐的高是（

）A．2 B．3 C． D．變式5-4．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖是一個(gè)幾體何的三視圖（圖中尺寸單位：cm），則這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（）A．48πcm2