2021年7月中學生標準學術(shù)能力診斷性測試THUSSAT暨

2022屆高三7月診斷性檢測

數(shù)學試題

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(含答案)

本試卷共150分,考試時間120分鐘。

一'單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)zi=1—2i,貝?丘的共拆復數(shù)z的虛部為

A.-iB.1C.iD.-1

2.已知集合A={xGR|log2X<2},集合B={xGR|GT<0},則ADB=

A.(-oo,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.[1,3)

3.武漢封城期間，某醫(yī)院抽調(diào)5名醫(yī)生，分赴三所“方艙醫(yī)院”支援抗疫，要求每名醫(yī)生只去

一所“方艙醫(yī)院”，每所“方艙醫(yī)院”至少安排一名醫(yī)生，由于工作需要，醫(yī)生甲和乙必須安

排在同一所“方艙醫(yī)院”，則所有不同的安排方案有

A.18種B.24種C.36種D.48種

4.設a=InO.2,b=sin3,c=e°則a,b,c的大小關(guān)系為

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

5.已知函數(shù)fnx+Lg=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù))，若f(x)的零點為a,極小值為

xe\x<0

B,貝I]a+B=

A.-1B.1C.0D.2

6.已知四棱錐V-ABCD的所有棱都相等，點M,N分別為VB,VD中點，則異面直線MN與VA所

成角的大小為

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.設拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點為F,已知B(一“，3p),(一巳，y。)且y°>0,且y°>0,拋物線

22

E上一點A滿足AB±BC,若線段AC的垂直平分線/過點F,則直線/的斜率為

A在B.上垣C."D.G

333

8.如圖，在棱長為a的正方體ABCD-ABC。中，點P在側(cè)面BBGC(包含邊界)內(nèi)運動，則下列

結(jié)論正確的有

①直線BD」平面AGD

②二面角B,-CD-B的大小為工

2

③過三點P、A-D的正方體的截面面積的最大值為血/

④三棱錐Bi—AGD的外接球半徑為百a

A.①③B.①②C.①③④D.①②③④

二'多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。

9.下列命題中不正確的是

A.隨機變量X?N(3,22),若X=2T]+3,則D(T])=1

B.已知隨機變量4服從正態(tài)分布N(2,62),P(4<4)=0.84,則P(2<自〈4)=0.16

,o2,0

C.設(2x—1)=ao+a1x+a2x++a10x,x￡R,則a()=—1

D.以模型y=cek”去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設z=lny,將其變換后得到線性方

程z=0.3x+4,則c,k的值分別是1和0.3

10.已知函數(shù)f(x)=1—2sir^x+Z百sinxcosx,xWR,貝

A.f(x)在區(qū)間(0,n)上只有一個零點B.f(x)最小正周期為n

C.(p0)為f(x)的一個對稱中心D.f(x)的值域為[-2,2]

11.已知a,B是兩個不同的平面，m,n是兩條不同的直線，且m、n(xa,m、n(zP,給出

下列四個論斷：①a〃B；②必/心③m〃a；④”/B。以其中三個論斷為條件，剩余論斷為

結(jié)論組成四個命題。其中正確的命題是

A.①②③n④B.①③④n②C.①②④n③D.②③④n①

22

12.畫法幾何創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓C：0+5=相

ab"

切的兩條垂直切線的交點軌跡為E：x2+y2=，+b2,這個軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們

通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓。下列結(jié)論正確的是

A.已知橢圓C的長軸長為4,離心率為e=-則橢圓C的“蒙日圓”E的方程為：x2+y2=7

2o

22/T

B.已知橢圓C：5+2=1(。＞。＞0)的離心率為J,A、B為橢圓C上的兩個動點，直線/：

a2b22

bx+ay—a2—b2=0上任一點P,有PAPEJ＞0

2

C.已知橢圓5+^=1,現(xiàn)將質(zhì)點P隨機投入橢圓C所對應的蒙日圓內(nèi)，則質(zhì)點落在橢圓外部

歷22

的概率為1—半(橢圓的面積公式為S=abn)

22/y

D.已知橢圓C：%+/=l(a＞b＞0)的離心率為半，F(xiàn)為橢圓的右焦點，A為橢圓上的一個動

點，直線/：bx+ay-a2-b2=0,記點A到直線/距離為d,貝I]d—|AF|的最小值為半人-2a

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量Z+B=(1,1),￡一坂=(一3,1),2=(1,1),向量￡與2的夾角9=o

14.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,fx(+l)為偶函數(shù)，f(0)=1,貝"儀2)=o

15.記＜x＞表示與實數(shù)x最接近的整數(shù)，數(shù)列瓜｝通項公式為a,=占(nGN*),其前n項和為

Sn,貝lj$33=o

尤2,

16.已知函數(shù)f(x)=sinx+——ln(1+x),則f(x)的最小值是。

2

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)在①sin(B——)=cos2B,②2c—a=2bcosA,③m=(a+b,c—a),n=(a—b,c),且

2

這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并給出解答。在aABC中，角A,B,C

的對邊分別為a,b,c,且o（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計

分。）

⑴求角B；

⑵若D是BC邊的中點，且a=2,AD=V7,求AABC的面積。

18.（12分）十九大以來，國家深入推進精準脫貧，加大資金投入，強化社會幫扶，為了更好的

服務于人民，派調(diào)查組到某農(nóng)村去考察和指導工作。某學校為了研究學生對時事了解的情況，

在網(wǎng)上隨機抽取120名學生對精準脫貧政策的了解情況進行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比

為11：13,其中男生30人對于精準脫貧政策了解，女生中有25人表示對精準脫貧政策不了

解。

⑴完成2X2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認為對“精準脫貧政策了解與性別有關(guān)”；

了解不了解總計

男生

女生

合計120

⑵從對精準脫貧政策了解的學生中，利用分層抽樣抽取7名學生，再在7名學生中抽取3名

學生，作精準脫貧政策了解的政策講解，其中抽取女生的個數(shù)為自,求七的分布列及期望值。

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.（12分）已知數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,a,=1,Sn+l=Sn+2an+1,nGN*0

（1）求證：數(shù)列E+1｝是等比數(shù)列；

一2"'

⑵數(shù)列二一卜的前n項和為L,nGN*,求證：T<1。

.an,an+l,

20.(12分)如圖,AEJ■平面ABCD,CF//AE,AD//BC,AD±AB,AB=AD=1,AE=BC=2。

E

F

B

⑴求證：BF〃平面ADE；

⑵若二面角E-BD-F的余弦值為g,求三棱錐C-BDF的體積。

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=e'T—aInx+aIna0

(1)當a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當a＞0時,證明:f(x)2a。

22

22.(12分)已知橢圓C：二+與=1(。＞。＞0),四點A(2,1),B(2,-1),C(1,1),D(0,百)

arIr

中恰有三點在橢圓c上。

(1)求C的方程；

⑵點M、N在C上，且AMLAN,AD±MN,D為垂足，求D點的軌跡方程。

2021年7月中學生標準學術(shù)能力診斷性測試THUSSAT暨2022屆高三7月診斷性檢測數(shù)學試題

中學生標準學術(shù)能力診斷性測試2021年7月測試

數(shù)學參考答案

項符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9101112

BCBDACACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.-（或90。）

2

14.1

15.10.5

16.0

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

解析:

（1）①由sin=cos25得一cos5=2cos2B-\,

即cos3=）,或cos5=-l,又,.,BE（0,兀），

因此8=：.....................................................................5分

2._242

②根據(jù)余弦定理，由2c-0=2bcos4,得2c-a=2bh”一。,

2bc

日nJ）一口a2+c2-b21

即Zr=〃~+c--4c?cosB=-------------=一,

lac2

又???3w（0,勸，.二匹7..........................................................5分

③根據(jù)記_L輸，得b2=a2+c2-ac>cos5=+C———=—>

lac2

又?.?8€（0,兀），.”二1..........................................................5分

(2)在△A8Z>中，由余弦定理得ZD?=4爐+8。2_24小8。-8$8，

又?：AD=-P，BD=\<:.AB2-AB-6=0^解得A3=3,

所以△dBC的面積S=LaB.8asin8=Lx3x2x@=亞......................10分

2222

18.(12分)

解析：

(1)男生人數(shù)為：120x」一=55,所以女生人數(shù)為120-55=65,

11+13

于是可完成2x2列聯(lián)表，如下：

了解不了解總計

力生302555

女生402565

合計7050120

.....................................3分

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到二的觀測值：

k1=120*(30*25-25x4。)。=您=°§99<2.706,

55x65x50x701001

所以沒有90%的把握認為“精準脫貧政策了解與性別有關(guān)”.................6分

(2)根據(jù)分層抽樣比例關(guān)系可知男生抽7x三=3人，女生抽4人..................7分

依題可知J的可能取值為0,1,2,3,并且J服從超幾何分布,

P(D=胃一(斤=0,123),

C：C：1C\C；12

BPP(^0)=-^=-,尸(*])==*,

P?=2)=^ifi=—,p《=3)=笛^色...................

35-，C；3510分

可得分布列為

g0123

112184

P

35353535

-rz-—、cl,12,18,412

可.子導E(&)=0xF1x—+2x1-3x—二—12分

353535357

19.(12分)

解析：

(1)=S“+2%+l,

???S“T-S”=2q,+1，

4+1

又?”=1,;.q+l=2,

.??{q+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列

(2)由(1)知%+1=2-2"1=2",

2"_2”__J______1

??“=(2"_4(2"'—1)=仃-2"J1'

.111111

"2'-122-122-123-12"-12"+1-1

成立12分

20.(12分)

解析：

由題意，可以建立以/為原點，分別以赤，①，旅的方向為X軸，

y軸，二軸正方向的空間直角坐標系(如圖)，\

可得40,0,0),￡(1,0,0),C(l,2,0),0(0,1,0),￡(0,0.2),<

設C產(chǎn)=力(力>0),

則尸(1,2,占)

(1)證明：依題意，方=(1.0.0)是平面，血的法向量,

又而=(02h),可得而.萬=0，

又因為直線平面4DE,〃平面4DE

(2)依題意，BD=(-1,1.0),5F=(0,2,/)),

設記=(x,,y,r)為平面BDF的法向量,

in-BD=0-X+y=0

則_____即

mBF=02y+〃二=0

不妨令y=i,可得帚=（u,-司,

￡5=(1.0,-2),￡D=(0,l,-2)

設E=（玉,八,二J為平面EBD的法向量,

EB-/L=0,x,-2z.=0_/

則由，--，得:*g=o'取"=(221)，

ED?叫=0

10分

■CF=ix-x2xlx-=8

??^C-BDF~^F-BDC=§^ABDC12分

32721

21.(12分)

解析:

(1)當a=l時，/(x)=e^-lnx,定義域為上卜>0},

r(x)=e--A

2分

x

令Mx)=/'(x)=e*T-J

x

1八

:.h\x)=X-1+—>0,

.V

??Mx）在（0,內(nèi)）上單調(diào)遞增,

X/?(l)=e°-l=0..................................................................................................................4分

,xe(O,l),Zr(x)<0,廣(x)<0,/(x)為減函數(shù),

x€(l,+oo),A(x)>0,/<x)>0,/(x)為增函數(shù),

??./(x)增區(qū)間為(L+OO),減區(qū)間為(0,1).

(2)當0>0時，/(x)=e、T_gJj,

XX

令g(x)=xe'T,則g[x)=(x+l)ei>0,

.?.g(x)=xe、T在(0,+oo)單增，且g(x)￡(0,+8).

因此，存在唯一的%>0滿足."e"=

且當Ovxvx。時，xe'T-avO,即/(*)<0,

當x>x。時，.ve'T—〃>0,即/'(x)>0.

因此/(與)為/(x)在(O,+00)上的極小值，也是最小值..........................9分

下證：〃%岸。，即證e"-〃ln.%Na-alna,

x-1Xal

?/.roe°=a,:.e'=—9x0-1=hi?-Inx0,

%

于是e"T-rtlnx0=--<7(ln<7-.r0+1)=—+^0-a-a\n.a

%X。

>2^-ax0-a-a\na=a-a\na,不等式得證..........................12分

22.(12分)

解析：

(1)根據(jù)橢圓對稱性，必過點4,B,

又C縱坐標為1,橢圓必不過。，所以過Z,B,O三點，

5=1,

將o(o.G),4(2.1)代入橢圓方程得:

./+記=1'

解得：〃~=6,b~=3.......................................................3分

?52

所以。的方程為二+匕=1..................................................4分

63

(2)設M(和%),N(%V2)，

若直線MN與x軸不垂直，設直線MN的方程為y=h+〃i,

22.

代入二+21=1得(1+2標卜2+4船比+2小2-6=0,

由A>0得6a2—"/+3>0,

~r*_曰4A7〃2"廣—6zr