2021年理科數(shù)學(xué)一模模擬試卷(二)

一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4=卜|/一》_2>0},集合8=?>1>,則406=()

A.(—oo,0)B.(2,+oo)C.(—oo,—1)D.(0,+8)

2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足i(z+l)=L則復(fù)數(shù)z的共甄復(fù)數(shù)為()

A.1+/B.1—/C.—1—zD.—1+z

3.《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說(shuō)，河圖、洛書是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，

其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背

中，如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為

5的概率為

4.設(shè)，x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x..O時(shí)，/(x)=x—gsin2x.若

/2消,2兀r(?乂,出

a-jtan—,b=cos——，c=fcos—大小關(guān)系為()

75\3J

A.a<b<cB.h<c<aC.h<a<cD.c<b<a

5.已知。、〃為直線,。、方為平面.在下列四個(gè)命題中:

?若Q_La,bYa,則；②若ci"a,blla，則a〃Z>；

③若a_L2,a-LJ3,則a〃￡；④若allb,PHb,則。///?.

正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.3C.2D.0

6.函數(shù)y=l+x+邛的部分圖象大致為()

X

TTIT

7.已知函數(shù)%)=3sin(2x+1),函數(shù)g(x)的圖象由/。)圖象向右平移i個(gè)單位長(zhǎng)

度得到，則下列關(guān)于函數(shù)g(x)的說(shuō)法正確的有()

2

TTTT

A.g(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱B.g(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱

63

IT、冗TTTT

c.g(x)在［-二，二f單調(diào)遞減D.g(x)在［-:,二］單調(diào)遞減

242463

8.設(shè)DABC的內(nèi)角ABC所對(duì)的邊分別為a/,c,且3acosC=4csinA,已知

口A5c的面積等于10,b=4,則。的值為()

9.等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,已知$3=%+10/織=9，則4=

10.執(zhí)行如圖所示程序框圖，輸出的結(jié)果是()

11.已知耳，工為雙曲線「：二—1=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，以巴為

a~b~

圓心，2。為半徑的圓與「在第一象限的交點(diǎn)為A,直線AE與「交于另一點(diǎn)若

口的面積為3/,則「的離心率為()

A.2B.73C.-D.^!L

'45

12.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閧x|x*O},且/⑴=1,/(x-l)的圖象關(guān)于直線x=l

對(duì)稱.若當(dāng)x>0時(shí)，2f(x)<x/'(x),則使得/(x)>/成立的％的取值范圍是()

A.(-1,O)U(O,1)B.(-8,—l)U(l,+8)

C.(-1,O)U(l，+8)D.(-8,-l)U(O,1)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x+2y>2

13.已知實(shí)數(shù)x,），滿足，x-y+2N0,目標(biāo)函數(shù)z=5x-y的最大值為.

4x-y<4

14.如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為.

15.若x>0,y>0,若(x—l)(y—4)=4則x+y的最小值為.

16.已知在銳角A4BC中，角A8,C的對(duì)邊分別為a,4c,若2〃cosC=ccos8,則

—+—^―+—^―的最小值為__________.

tanAtanBtanC

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必

4

考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列&｝的前"項(xiàng)和為S"，S5=25,a,,a2,a5

成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若等差數(shù)列｛log2%｝的首項(xiàng)為1，公差為1，求數(shù)列｛。a｝的前〃項(xiàng)和小

18.（12分）如圖所示，四棱錐S-ABCD中，AB//CD,AD1DC,

CD=2AD=2AB=2SD=4,SO，平面ABCD.

（1）求證:BC_L平面SB。；

（2）若點(diǎn)M是線段SC的中點(diǎn)，求平面M4B與平面S3。所成銳二面角的余弦值.

19.（12分）2020年國(guó)慶節(jié)期間，我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”.

某路橋公司為掌握國(guó)慶節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)站點(diǎn)記錄了3日

上午9:20-10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過(guò)

該收費(fèi)站點(diǎn)，它們通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段

9:20-9:40記作［20,40）、9:40-10:00記作［40,60）,10:00-10:20記作［60,80）,

10:20~10:40記作［80,100）,例如：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.

(1)估計(jì)這600輛車在9:20-10:40時(shí)間內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值(同一組中

的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；

(II)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再?gòu)?/p>

這10輛車隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過(guò)的車輛數(shù)為X,

求X的分布列；

(III)根據(jù)大數(shù)據(jù)分析,車輛在每天通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻7服從正態(tài)分布N~,

其中〃可用3日數(shù)據(jù)中的600輛車在9:20~10:40之間通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值

近似代替，用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表).假

如4日全天共有1000輛車通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)，估計(jì)在9:46~10:40之間通過(guò)的車輛數(shù)(結(jié)

果保留到整數(shù)).

附：若隨機(jī)變量T服從正態(tài)分布N(〃,b2),則P(〃-b<74〃+b)=0.6827,

P(〃—2b<T<〃+2b)=0.9545,P(〃—3b<T?〃+3b)=0.9973.

22

20.(12分)已知橢圓C：，+}=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳(一1,0),F2(1,0),

且橢圓C上的點(diǎn)M滿足網(wǎng)用=(,耳6=120。.

6

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）作直線垂直于x軸，交橢圓C于點(diǎn)Q,R,點(diǎn)尸是橢圓C上異于。，R兩點(diǎn)的任

意一點(diǎn)，直線P。，PR分別與x軸交于S,T兩點(diǎn)，判斷|OSHO7j是否為定值，若是，

求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1,

21.（12分）已知函數(shù)/0）=Y11》-5。0+1）-,awR恰好有兩個(gè)極值點(diǎn)

3,％2（西＜x2）.

（1、

（I）求證：存在實(shí)數(shù)〃-,1,使0＜。＜根；

（2J

（II）求證：---＜/（%））＜---.

4''e

（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答。如果多做，那么按所

做的第一題計(jì)分。

22.（10分）「選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程」

x=2+Zcos2—

4CC

己知直線”。為參數(shù)）