第26屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試卷一、填空（問答）題（每題5分，共25分）1．有人設(shè)想了一種靜電場：電場的方向都垂直于紙面并指向紙里，電場強(qiáng)度的大小自左向右逐漸增大，如圖所示。這種分布的靜電場是否可能存在？試述理由。2．海爾-波普彗星軌道是長軸非常大的橢圓，近日點(diǎn)到太陽中心的距離為0.914天文單位（1天文單位等于地日間的平均距離），則其近日點(diǎn)速率的上限與地球公轉(zhuǎn)（軌道可視為圓周）速率之比約為（保留2位有效數(shù)字）。3．用測電筆接觸市電相線，即使赤腳站在地上也不會觸電，原因是；另一方面，即使穿絕緣性能良好的電工鞋操作，測電筆仍會發(fā)亮，原因是。4．在圖示的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，所有電源的電動勢均為E0，所有電阻器的電阻值均為R0，所有電容器的電容均為C0，則圖示電容器A極板上的電荷量為。5．如圖，給靜止在水平粗糙地面上的木塊一初速度，使之開始運(yùn)動。一學(xué)生利用角動量定理來考察此木塊以后的運(yùn)動過程：“把參考點(diǎn)設(shè)于如圖所示的地面上一點(diǎn)O，此時摩擦力f的力矩為0，從而地面木塊的角動量將守恒，這樣木塊將不減速而作勻速運(yùn)動?！闭堉赋錾鲜鐾评淼腻e誤，并給出正確的解釋：。二、（20分）圖示正方形輕質(zhì)剛性水平桌面由四條完全相同的輕質(zhì)細(xì)桌腿1、2、3、4支撐于桌角A、B、C、D處，桌腿豎直立在水平粗糙剛性地面上。已知桌腿受力后將產(chǎn)生彈性微小形變?，F(xiàn)于桌面中心點(diǎn)O至角A的連線OA上某點(diǎn)P施加一豎直向下的力F，令，求桌面對桌腿1的壓力F1。三、（15分）1．一質(zhì)量為m的小球與一勁度系數(shù)為k的彈簧相連組成一體系，置于光滑水平桌面上，彈簧的另一端與固定墻面相連，小球做一維自由振動。試問在一沿此彈簧長度方向以速度u作勻速運(yùn)動的參考系里觀察，此體系的機(jī)械能是否守恒，并說明理由。。2．若不考慮太陽和其他星體的作用，則地球-月球系統(tǒng)可看成孤立系統(tǒng)。若把地球和月球都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，它們的質(zhì)量分別為M和m，月心-地心間的距離為R，萬有引力恒量為G。學(xué)生甲以地心為參考系，利用牛頓第二定律和萬有引力定律，得到月球相對于地心參考系的加速度為；學(xué)生乙以月心為參考系，同樣利用牛頓第二定律和萬有引力定律，得到地球相對于月心參考系的加速度為。這二位學(xué)生求出的地-月間的相對加速度明顯矛盾，請指出其中的錯誤，并分別以地心參考系（以地心速度作平動的參考系）和月心參考系（以月心速度作平動的參考系）求出正確結(jié)果。四、（20分）火箭通過高速噴射燃?xì)猱a(chǎn)生推力。設(shè)溫度T1、壓強(qiáng)p1的熾熱高壓氣體在燃燒室內(nèi)源源不斷生成，并通過管道由狹窄的噴氣口排入氣壓p2的環(huán)境。假設(shè)燃?xì)饪梢暈槔硐霘怏w，其摩爾質(zhì)量為μ，每摩爾燃?xì)獾膬?nèi)能為u=cVT（cV是常量，T為燃?xì)獾慕^對溫度）。在快速流動過程中，對管道內(nèi)任意處的兩個非?？拷臋M截面間的氣體，可以認(rèn)為它與周圍沒有熱交換，但其內(nèi)部則達(dá)到平衡狀態(tài)，且有均勻的壓強(qiáng)p、溫度T和密度ρ，它們的數(shù)值隨著流動而不斷變化，并滿足絕熱方程（恒量），式中R為普適氣體常量，求噴氣口處氣體的溫度與相對火箭的噴射速率。五、（20分）內(nèi)半徑為R的直立圓柱器皿內(nèi)盛水銀，繞圓柱軸線勻速旋轉(zhuǎn)（水銀不溢，皿底不露），穩(wěn)定后的液面為旋轉(zhuǎn)拋物面。若取坐標(biāo)原點(diǎn)在拋物面的最低點(diǎn)，縱坐標(biāo)軸z與圓柱器皿的軸線重合，橫坐標(biāo)軸r與z軸2．答案與評分標(biāo)淮：1.5．（5分）3．答案與評分標(biāo)淮：測電筆內(nèi)阻很大，通過與之串聯(lián)的人體上的電流（或加在人體上的電壓）在安全范圍內(nèi)；（2分）市電為交流電，而電工鞋相當(dāng)于一電容器，串聯(lián)在電路中仍允許交流電通過．（3分）4．答案與評分標(biāo)淮：．（5分）5．答案與評分標(biāo)淮：該學(xué)生未考慮豎直方向木塊所受的支持力和重力的力矩.僅根據(jù)摩擦力的力矩為零便推出木塊的角動量應(yīng)守恒，這樣推理本身就不正確.事實(shí)上，此時支持力合力的作用線在重力作用線的右側(cè)，支持力與重力的合力矩不為0，木塊的角動量不守恒，與木塊作減速運(yùn)動不矛盾．（5分）MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h二、參考解答：設(shè)桌面對四條腿的作用力皆為壓力，分別為、、、．因輕質(zhì)剛性的桌面處在平衡狀態(tài)，可推得．由于對稱性，． 考察對桌面對角線BD的力矩，由力矩平衡條件可得． 根據(jù)題意，，c=0對應(yīng)于力F的作用點(diǎn)在O點(diǎn)，c=1對應(yīng)于F作用點(diǎn)在A點(diǎn).設(shè)桌腿的勁度系數(shù)為,在力F的作用下，腿1的形變?yōu)?，?和4的形變均為，腿3的形變?yōu)椋李}意，桌面上四個角在同一平面上，因此滿足,即 ． 由GOTOBUTTONZEqnNum136704REFZEqnNum136704\!(1)、GOTOBUTTONZEqnNum963969REFZEqnNum963969\!(2)、GOTOBUTTONZEqnNum699191REFZEqnNum699191\!(3)、GOTOBUTTONZEqnNum459300REFZEqnNum459300\!(4)式，可得 ， ， 當(dāng)時，.，表示腿3無形變；，表示腿3受到桌面的作用力為拉力，這是不可能的，故應(yīng)視．此時GOTOBUTTONZEqnNum963969REFZEqnNum963969\!(2)式(3)式仍成立．由GOTOBUTTONZEqnNum699191REFZEqnNum699191\!(3)式，可得 ． (7)綜合以上討論得,.(8)，.(9)評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分.(1)式1分，(2)式1分，(3)式2分，(4)式7分，得到由(8)式表示的結(jié)果得4分，得到由(9)式表示的結(jié)果得5分．MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h三、參考解答：1.否．原因是墻壁對于該體系而言是外界，墻壁對彈簧有作用力，在運(yùn)動參考系里此力的作用點(diǎn)有位移，因而要對體系做功，從而會改變這一體系的機(jī)械能．2.因地球受月球的引力作用，月球受地球的引力作用，它們相對慣性系都有加速度，故它們都不是慣性參考系．相對非慣性參考系，牛頓第二定律不成立．如果要在非慣性參考系中應(yīng)用牛頓第二定律，必須引入相應(yīng)的慣性力；而這兩位學(xué)生又都未引入慣性力，所以他們得到的結(jié)果原則上都是錯誤的．以地心為參考系來求月球的加速度.地心系是非慣性系，設(shè)地球相對慣性系的加速度的大小為，則由萬有引力定律和牛頓第二定律有 ， 加速度的方向指向月球．相對地心參考系，月球受到慣性力作用，其大小 ， 方向指向地球，與月球受到的萬有引力的方向相同．若月球相對地心系的加速度為，則有 ． 由GOTOBUTTONZEqnNum175033REFZEqnNum175033\!(1)、GOTOBUTTONZEqnNum265584REFZEqnNum265584\!(2)、GOTOBUTTONZEqnNum941694REFZEqnNum941694\!(3)三式，得 ， 加速度的方向指向地球．以月心為參考系來求地球的加速度.月心系也是非慣性系，設(shè)月球相對慣性系的加速度的大小為，則由萬有引力定律和牛頓第二定律有 ， 加速度的方向指向地球．相對月心參考系，地球受到慣性力作用，慣性力的大小 ， 方向指向月球，與地球受到的萬有引力的方向相同．若地球相對月心系的加速度為，則有 ． 由(5)、(6)、(7)三式得 ， 加速度的方向指向月球．GOTOBUTTONZEqnNum525140REFZEqnNum525140\!(4)式與GOTOBUTTONZEqnNum556612REFZEqnNum556612\!(8)式表明，地球相對月心系的加速度與月球相對地心系的加速度大小相等(方向相反)，與運(yùn)動的相對性一致．評分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分.第1小問5分.第2小問10分.指出不正確并說明理由，占2分；(1)至(8)式，每式1分．MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h四、參考解答：于火箭燃燒室出口處與噴氣口各取截面與，它們的面積分別為和，由題意，，以其間管道內(nèi)的氣體為研究對象，如圖所示．設(shè)經(jīng)過很短時間，這部分氣體流至截面與之間，間、間的微小體積分別為、，兩處氣體密度為、，流速為、．氣流達(dá)到穩(wěn)恒時，內(nèi)部一切物理量分布只依賴于位置，與時間無關(guān)．由此可知，盡管間氣體更換，但總的質(zhì)量與能量不變．先按絕熱近似求噴氣口的氣體溫度．質(zhì)量守恒給出 ， 即氣體可視為由氣體絕熱移動所得．事實(shí)上，因氣流穩(wěn)恒，氣體流出噴口時將再現(xiàn)氣體狀態(tài)．對質(zhì)量的氣體，利用理想氣體的狀態(tài)方程 和絕熱過程方程 ， 可得 ． 再通過能量守恒求氣體的噴射速率．由GOTOBUTTONZEqnNum987664REFZEqnNum987664\!(1)式及，可得 ， 再利用(1)、GOTOBUTTONZEqnNum872390REFZEqnNum872390\!(3)式，知，因，，故 ． 整個體系經(jīng)時間的總能量（包括宏觀流動機(jī)械能與微觀熱運(yùn)動內(nèi)能）增量為部分與部分的能量差．由于重力勢能變化可忽略，在理想氣體近似下并考慮到GOTOBUTTONZEqnNum857404REFZEqnNum857404\!(6)式，有 ． 體系移動過程中，外界做的總功為 ． 根據(jù)能量守恒定律，絕熱過程滿足 ， 得 ， 其中利用了GOTOBUTTONZEqnNum244406REFZEqnNum244406\!(2)、GOTOBUTTONZEqnNum270171REFZEqnNum270171\!(4)兩式．評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分.(2)式1分，(3)式2分，(4)式3分，(6)式1分，(7)式6分，(8)式4分，(9)式1分，(10)式2分．MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h五、參考解答：旋轉(zhuǎn)拋物面對平行于對稱軸的光線嚴(yán)格聚焦，此拋物凹面鏡的焦距為 ． 由GOTOBUTTONZEqnNum185203REFZEqnNum185203\!(1)式，旋轉(zhuǎn)拋物面方程可表示為 ． 停轉(zhuǎn)后液面水平靜止．由液體不可壓縮性，知液面上升．以下求拋物液面最低點(diǎn)上升的高度．拋物液面最低點(diǎn)以上的水銀，在半徑、高的圓柱形中占據(jù)體積為的部分，即附圖中左圖陰影部分繞軸線旋轉(zhuǎn)所得的回轉(zhuǎn)體；其余體積為的部分無水銀．體在高度處的水平截面為圓環(huán)，利用拋物面方程，得處圓環(huán)面積 ． 將體倒置，得附圖中右圖陰影部分繞軸線旋轉(zhuǎn)所得的回轉(zhuǎn)體，相應(yīng)拋物面方程變?yōu)?， 其高度處的水平截面為圓面，面積為 ． 由此可知 ， 即停轉(zhuǎn)后拋物液面最低點(diǎn)上升 ． 因拋物鏡在其軸線附近的一塊小面積可視為凹球面鏡，拋物鏡的焦點(diǎn)就是球面鏡的焦點(diǎn)，故可用球面鏡的公式來處理問題.兩次觀察所見到的眼睛的像分別經(jīng)凹面鏡與平面鏡反射而成，而先后看到的像的大小、正倒無變化，這就要求兩像對眼睛所張的視角相同．設(shè)眼長為．凹面鏡成像時，物距即所求距離，像距v與像長分別為 ， ． 平面鏡成像時，由于拋物液面最低點(diǎn)上升，物距為 ， 像距與像長分別為 ， ． 兩像視角相同要求 ， 即 ， 此處利用了(8)—(12)諸式．由(14)式可解得所求距離 ． 評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分.(1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10)、(11)、(12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分．MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h六、參考解答：1．先求兩慣性系中光子速度方向的變換關(guān)系．根據(jù)光速不變原理，兩系中光速的大小都是．以和分別表示光子速度方向在和系中與和軸的夾角，則光速的分量為 ， ． 再利用相對論速度變換關(guān)系，得 ． 系中光源各向同性輻射，表明有一半輻射分布于的方向角范圍內(nèi)，系中，此范圍對應(yīng)．由上式求得 ． 可以看出，光源的速度v越大，圓錐的頂角越?。?．系中，質(zhì)點(diǎn)靜止，在時間內(nèi)輻射光子的能量來自質(zhì)點(diǎn)靜能的減少，即 ， 式中為時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)減少的質(zhì)量．系中，質(zhì)點(diǎn)以速度v勻速運(yùn)動，由于輻射，其動質(zhì)量減少，故動量與能量亦減少．轉(zhuǎn)化為光子的總動量為，即 ； 轉(zhuǎn)化為光子的總能量為，即 ． 系中光源靜止，測得的輻射時間為本征時，在系中膨脹為 ， 由以上各式可得在S系中單位時間內(nèi)輻射的全部光子的總動量與總能量分別為 ， ． 評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分.第1小問7分.(3)式4分，(4)式3分.第2小問13分.(5)、(6)、(7)式各2分，(8)式3分，(9)、(10)式各2分．MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h七、參考解答：1．光子與反射鏡碰撞過程中的動量和能量守恒定律表現(xiàn)為 ， ． 其中為碰撞后反射鏡的速度．從上兩式消去，得 ． 當(dāng)時，，可得 ． 2.考察時刻位于垂直于光傳播方向的截面A左側(cè)的長為光在1s時間內(nèi)所傳播的距離c1s、底面積為單位面積柱體內(nèi)的光子，如圖1所示．經(jīng)過1s時間，它們?nèi)客ㄟ^所考察的截面．若單位體積中的光子數(shù)為，根據(jù)光強(qiáng)的定義，入射光的強(qiáng)度（6）若A處固定一反射鏡，則柱體的底面S2處的光子在時刻t到達(dá)位于A處的反射鏡便立即被反射，以光速c向左移動；當(dāng)柱體的底面S1在t+1s到達(dá)A處被反射鏡反射時，這柱體的底面S2已到達(dá)A左邊距離A為c1s處，所有反射光的光子仍分布在長為c1s、截面積為單位面積的柱體內(nèi)，所以反射光的強(qiáng)度與入射光的強(qiáng)度相等．如果反射鏡不固定，而是以恒定的速度V向右移動，則在時刻t+1s柱體的底面S1到達(dá)A處時，反射鏡已移到A右邊距離為V1s的N處，這時底面S2移到A左側(cè)離A的距離為c1s處，如圖2中a所示.設(shè)再經(jīng)過時間，S1與鏡面相遇，但這時鏡面己來到處，因?yàn)樵跁r間內(nèi)，鏡面又移過了一段距離，即在時刻，底面S1才到達(dá)反射鏡被反射．亦即原在S1處的光子須多行進(jìn)cΔt的距離才能被反射．因此得(7)而這時，底面S2又向左移了一段距離．這樣反射光的光子將分布在長為的柱體內(nèi)．因反射不改變光子總數(shù)，設(shè)為反射光單位體積中的光子數(shù)，有故有． (8)根據(jù)光強(qiáng)度的定義，反射光的強(qiáng)度．(9)由(4)、(8)、(9)各式得．