專題勾股定理在動態(tài)幾何中的應用一.勾股定理與對稱變換〔一〕動點證明題1.如圖，在△ABC中，AB=AC，〔1〕假設P為邊BC上的中點，連結AP，求證：BP×CP=AB2-AP2；〔2〕假設P是BC邊上任意一點，上面的結論還成立嗎？假設成立請證明，假設不成立請說明理由；AABPC〔3〕假設P是BC邊延長線上一點，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關系？請證明你的結論.〔二〕最值問題2.如圖，E為正方形ABCD的邊AB上一點，AE=3，BE=1，P為AC上的動點，則PB+PE的最小值是3.如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD〔不含B點〕上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.〔1〕求證：△AMB≌△ENB；EEADBCCNM〔2〕①當M點在何處時，AM＋CM的值最?。籈ADBCCEADBCCNM〔3〕當AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長.EEADBCCNM4.問題：如圖①，在△ABC中，D是BC邊上的一點，假設∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的長．小明同學的解題思路是：利用軸對稱，把△ADC進展翻折，再經(jīng)過推理、計算使問題得到解決．〔1〕請你答復：圖中BD的長為；〔2〕參考小明的思路，探究并解答問題：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的一點，假設∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的長．圖①圖②二.勾股定理與旋轉5.閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC〔其中∠BAC是一個可以變化的角〕中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值。小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點B為旋轉中心將△ABP逆時針旋轉60°得到△A’BC,連接,當點A落在上時,此題可解〔如圖2〕．請你答復：AP的最大值是．參考小偉同學思考問題的方法，解決以下問題：如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4,P為△ABC部一點，則AP+BP+CP的最小值是.〔結果可以不化簡〕6.如圖，P是等邊三角形ABC一點，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度數(shù).變式1：?ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，點P是?ABC一點，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC的度數(shù)CCBAP變式2：問題：如圖1，P為正方形ABCD一點，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度數(shù)．小娜同學的想法是：不妨設PA=1，PB=2，PC=3，設法把PA、PB、PC相對集中，于是他將△BCP繞點B順時針旋轉90°得到△BAE〔如圖2〕，然后連結PE，問題得以解決．請你答復：圖2中∠APB的度數(shù)為．請你參考小娜同學的思路，解決以下問題：如圖3，P是等邊三角形ABC一點，∠APB=115°，∠BPC=125°．〔1〕在圖3中畫出并指明以PA、PB、PC的長度為三邊長的一個三角形〔保存畫圖痕跡〕；〔2〕求出以PA、PB、PC的長度為三邊長的三角形的各角的度數(shù)分別等于．圖1圖2圖37.Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個圓心角為，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉，且直線CE，CF分別與直線AB交于點M，N．〔1〕當扇形CEF繞點C在∠ACE的部旋轉時，如圖①，求證：；CCABEFMN圖①〔2〕當扇形CEF繞點C旋轉至圖②的位置時，關系式是否仍然成立？假設成立，請證明；假設不成立，請說明理由．CCABEFMN圖②變式1：如圖，在中,且,,則=變式2：如圖，在Rt△ABC中，，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△繞點順時針旋轉90后，得到△，連接，以下結論：BCDEFABCDEFA②△≌△；③；④其中正確的選項是〔〕 A．②④；B．①④；C．②③；D．①③〔三〕其它應用7.在中，、、三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．小寶同學在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格〔每個小正方形的邊長為1〕，再在網(wǎng)格中畫出格點〔即三個頂點都在小正方形的頂點處〕，如圖1所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．〔1〕請你將的面積直接填寫在橫線上__________________；思維拓展：〔2〕我們把上述求面積的方法叫做構圖法．假設三邊的長分別為、、〔〕，請利用圖2的正方形網(wǎng)格〔每個小正方形的邊長為〕畫出相應的，并求出它的面積填寫在橫線上__________________；探索創(chuàng)新：〔3〕假設中有兩邊的長分別為、〔〕，且的面積為，試運用構圖法在圖3的正方形網(wǎng)格〔每個小正方形的邊長為〕中畫出所有符合題意的(全等的三角形視為同一種情況)，并求出它的第三條邊長填寫在橫線上__________________．8.∠ABC=90°，點P為射線BC上任意一點〔點P與點B不重合〕，分別以AB、AP為邊在∠ABC的部作等邊△ABE和△APQ,連結QE并延長交BP于點F.〔1〕如圖1，假設AB=，點A、E、P