4.3.2空間中的距離問題學(xué)習(xí)目標(biāo)能利用投影向量得到點到直線、點到平面的距離公式,結(jié)合一些具體的距離公式問題,歸納用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟,提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究問題:設(shè)點P是平面α外一點,點A是平面α內(nèi)的已知點,n0是平面α的單位法向量,如何求平面α外一點P到平面α的距離?1.點到平面的距離(1)給定空間中一個平面α及α外一點A,過A可以作平面α的一條垂線段,

稱為點A到平面α的距離.垂線段的長(2)當(dāng)平面與平面平行時,一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離稱為這兩個平行平面之間的距離.(3)如果平面α與平面β平行,n是平面β的一個法向量,A和B分別是平面α和平面β內(nèi)的點,則平面α和平面β之間的距離為

.3.點到直線的距離(1)給定空間中一條直線l及l(fā)外一點A,因為l與A能確定一個平面,所以過A可以作直線l的一條垂線段,

稱為點A到直線l的距離.垂線段的長(2)若點P是直線l外一點,l0是直線l的單位方向向量,點A是直線l上任意一點,則點P到直線l的距離為d=

.師生互動·合作探究探究點一點到平面的距離[例1](1)(2021·河北晉州期中)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E是棱AB的中點,則點E到平面ACD1的距離為(

)(2)在三棱錐B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱長AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求點D到平面ABC的距離.方法總結(jié)求點到平面的距離的四步驟[針對訓(xùn)練](2021·北京房山高二期中)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為A1D1的中點,Q為A1B1上任意一點,E,F為CD上兩個動點,且EF的長為定值,則點Q到平面PEF的距離(

)探究點二直線到平面、平面到平面的距離方法總結(jié)直線與平面平行、平面與平面平行時,直線到平面的距離和平面到平面的距離可轉(zhuǎn)化為直線上一點到平面的距離,然后利用點到平面的距離公式求解即可.(1)求證:BD1∥平面C1DM;(1)證明:連接D1C交C1D于點N,連接MN,因為四邊形DCC1D1為正方形,所以N是D1C的中點,又因為M是BC的中點,所以MN∥BD1.又因為MN?平面C1DM,BD1?平面C1DM,所以BD1∥平面C1DM.(2)求直線BD1到平面C1DM的距離.探究點三點到直線的距離(1)點C1到平面PQR的距離d1;(2)點C1到交線l的距離d2.方法總結(jié)利用向量計算點到直線的距離可以運(yùn)用下列公式:[針對訓(xùn)練](2021·福建廈門期中)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段A1B1的中點,F為線段AB的中點.(1)求點B到直線AC1的距離;[針對訓(xùn)練](2021·福建廈門期中)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段A1B1的中點,F為線段AB的中點.(2)求直線FC到平面AEC1的距離.學(xué)海拾貝異面直線間的距離設(shè)直線a,b異面,向量a,b分別為它們的一個方向向量,如何求出這兩條異面直線間的距離呢?可以考慮用定義求解,即兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.還有沒有其他解法呢?圖(1)如何求這兩個平行平面的法向量呢?設(shè)n是平行平面α,β的一個法向量,顯然有n⊥a,n⊥b.因為向量a,b不共線,所以滿足這個條件的所有向量都平行.也就是說,只需找到與向量a,b均垂直的向量即可.圖(2)當(dāng)堂檢測BB3.(2021·四川宜賓期中)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=3,AA1=4,P是側(cè)面BCC1B1上的動點,且AP⊥BD1,記點P到平面ABCD的距離為d,則d的最大值為(

)D4.如圖所示的多面體是底面為ABCD的長方體被平面AEC1F所截而得的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求點C到平面AEC1F的距離;4.如圖所示的多面體是底面為ABCD的長方體被平面AEC1F所截而得的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(2)設(shè)過點B平行于平面AEC1F的平面為α,求