1.掌握常見增長函數(shù)的圖象，并體會其增長快慢.2.比較幾種函數(shù)增長速度的差異.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求體會常見函數(shù)的變化異同，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究1三種常見函數(shù)模型的增長差異

函數(shù)

性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定隨k值而不同形象描述指數(shù)爆炸對數(shù)增長直線上升增長速度y＝ax(a>1)的增長速度最終都會大大超過y＝kx(k>0)的增長速度；總存在一個x0，當(dāng)x>x0時，恒有kx<ax增長結(jié)果存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有ax>kx>logax點睛(1)注意自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，公式中，若Δx＝x2－x1，則Δf＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，則Δf＝f(x1)－f(x2).(2)平均變化率可正可負(fù)，也可為零.但是，若函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率為0，并不能說明該函數(shù)在此區(qū)間上的函數(shù)值都相等.比如，f(x)＝x2在區(qū)間[－2，2]上的平均變化率為0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的圖象先下降后上升，值域是[0，4].

1.思考辨析，判斷正誤 (1)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)中，a越大增長越快.()

提示

在對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)中，a越小增長越快. (2)冪函數(shù)y＝xα(α>0)的增長比一次函數(shù)y＝kx＋b(k>0)要快的多.(

)

提示

冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)的增長比一次函數(shù)要慢，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的增長就比一次函數(shù)要快. (3)不存在一個實數(shù)m，使得當(dāng)x>m時，1.1x>x100.(

)

提示根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)增長速度的比較可知存在一個實數(shù)m，使得當(dāng)x>m時，1.1x>x100.×××2.已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為(

)A.0.40 B.0.41C.0.43 D.0.44解析

Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.故選B.B3.函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝lnx在區(qū)間(0，＋∞)上增長較快的是________.

解析

作出y＝x2與y＝lnx的圖象，通過比較圖象可得.y＝x2-24.函數(shù)y＝－2x＋1的平均變化率為________，也就是說自變量每增加一個單位，函數(shù)值將___________個單位.∴自變量每增加一個單位，函數(shù)值將減小2個單位.減小2課堂互動題型剖析2題型一幾種函數(shù)增長差異【例1】

(1)下列函數(shù)中，增長速度最快的是(

)A.y＝2021x B.y＝x2021C.y＝log2021x D.y＝2021x解析

比較一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快，故選A.A(2)四個自變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：

x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907則關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是________.y2解析

以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化.從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化.在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上.隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y＝xn(n＞0)的增長速度，而y＝logax(a＞1)的增長速度則會越來越慢，總會存在一個x0，若x＞x0，有l(wèi)ogax＜xn＜ax.思維升華【訓(xùn)練1】

當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的應(yīng)該是(

)D題型二根據(jù)圖象判斷函數(shù)的增長速度【例2】

函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函

數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f(6)，g(6)，f(2021)，g(2021)的大小.解

(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)因為f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2，2021>x2，從圖象上可以看出，當(dāng)x1<x<x2時，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6).當(dāng)x>x2時，f(x)>g(x)，所以f(2021)>g(2021).又因為g(2021)>g(6)，所以f(2021)>g(2021)>g(6)>f(6).由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增長，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).思維升華【訓(xùn)練2】

函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示.(1)指出曲線C1，C2分別對應(yīng)哪一個函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較).解(1)由題圖知，C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當(dāng)x∈(0，x1)時，g(x)>f(x)；當(dāng)x∈(x1，x2)時，g(x)<f(x)；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時，g(x)>f(x).1.由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象變化，比較其增長快慢、提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).2.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)中a越大增長越快，而y＝logax(a>1)中a越小增長越快，y＝xα中，α>0時，α越大增長越快.3.當(dāng)冪指數(shù)大于1時，不論一次函數(shù)的一次項系數(shù)和常數(shù)項多么大，只要自變量足夠大冪函數(shù)的增長就比一次函數(shù)快得多.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3一、選擇題1.下列函數(shù)中隨x的增大而增長速度最快的是(

)解析

指數(shù)函數(shù)y＝ax，在a>1時呈爆炸式增長，并且a值越大，增長速度越快，應(yīng)選A.A2.下列函數(shù)中，增長速度最慢的是(

)A.y＝6x B.y＝log6xC.y＝x6 D.y＝6x解析對數(shù)函數(shù)增長的越來越慢，故選B.B3.甲從A地到B地，途中前一半路程的行駛速度是v1，后一半路程的行駛速度是v2(v1＜v2)，則甲從A地到B地走過的路程s與時間t的關(guān)系圖象為(

)B解析∵v1＜v2，∴前半段路程用的時間長.4.據(jù)報道，某淡水湖的湖水在50年內(nèi)減少了10%，若按此規(guī)律，設(shè)2021年的湖水量為m，從2021年起，經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為(

)C解析設(shè)每年湖水量為上一年的q%，5.當(dāng)2<x<4時，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是(

) A.2x>x2>log2x B.x2>2x>log2x C.2x>log2x>x2 D.x2>log2x>2x

解析法一在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y＝log2x，y＝x2，y＝2x的圖象(圖略)，在區(qū)間(2，4)上從上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的圖象，所以x2>2x>log2x.

法二比較三個函數(shù)值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，經(jīng)檢驗易知選B.B二、填空題6.函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(0，＋∞)上增長較快的一個是________.y＝x2解析

當(dāng)x變大時，x比lnx增長要快，∴x2要比xlnx增長的要快.7.三個變量y1，y2，y3隨變量x的變化情況如表：y3x1.003.005.007.009.0011.00y15135625171536456655y2529245218919685177149y35.006.106.616.957.207.40其中關(guān)于x呈對數(shù)函數(shù)型變化的變量是________，呈指數(shù)函數(shù)型變化的變量是________，呈冪函數(shù)型變化的變量是________.y2y1解析根據(jù)三種模型的變化特點，觀察表中數(shù)據(jù)可知，y2隨著x的增大而迅速增加，呈指數(shù)函數(shù)型變化，y3隨著x的增大而增大，但變化緩慢，呈對數(shù)函數(shù)型變化，y1相對于y2的變化要慢一些，呈冪函數(shù)型變化.e6－1三、解答題(1)求出V關(guān)于Q的函數(shù)解析式；(2)計算一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量的單位數(shù).∴一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量為2700個單位.10.有一種樹木栽植五年后可成材.在栽植后五年內(nèi)，年增加20%，如果不砍伐，從第六年到第十年，年增長10%，現(xiàn)有兩種砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.乙方案：栽植