間接證明—反證法綜合法

利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論或所要解決的問題的結(jié)果。條件結(jié)論數(shù)學推理條件定理公理定義PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ…由因?qū)Ч麖土暬仡櫼话愕?，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）成立。這種證明的方法叫做分析法.QP1P1P2P2P3得到一個明顯成立的條件…執(zhí)果索因【分析法】要證：

只要證：

只要證：

而

顯然成立且上述各步均可逆推所以結(jié)論成立格式1.常用的直接證明的方法:(1)比較法:作差比較法;作商比較法;(2)綜合法:(3)分析法:2.一般地，對于“沒有特別要求的證明題”:

用分析法尋找證明思路,用綜合法寫出證明過程.間接證明在證明一個命題時，先假設命題不成立，從這樣的假設出發(fā),經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、公理、定理等矛盾，從而得出假設命題不成立是錯誤的，即所求證的命題正確.這種證明方法叫做反證法.反證法定義:

否定結(jié)論(得到原命題的“非”)

“制造”矛盾

“非”命題不成立

原命題成立

運用正確的推理方法用反證法證明問題的思維模式:“非”例題1.求證在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么和另一條也相交.已知:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1∥l2,

l3與l1相交于點P.求證:l3與l2相交.l1l2l3Pl3與l2不相交l3∥l2l1∥l2

經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行假設____________,

那么______.這與“_____________________________________________”矛盾.證明:因為已知______,所以___________,

即求證的命題正確.所以過直線l2外一點P,

有兩條直線和l2平行,制造矛盾假設不成立原命題成立反證法的步驟一、否定結(jié)論二、推理論證得出矛盾三、肯定結(jié)論以假設為條件，結(jié)合已知條件推理，得出與已知條件或是正確命題相矛盾的結(jié)論.這與“……”矛盾.所以假設不成立，因此原命題成立.假設待證命題不成立，或是命題的反面成立.【即時測試】1.寫出下列各結(jié)論的“非”：（1）a//b；

（2）a≥0；（3）b是正數(shù)；（4）a⊥ba<0b是0或負數(shù)a不垂直于ba∥b2.用反證法證明：在三角形的內(nèi)角中，至少有一個角不小于60°.已知：如圖，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的內(nèi)角，求證：∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一個角不小于600.證明：假設所求證的結(jié)論不成立，即∠Ａ＿＿60°，∠Ｂ＿＿60°，∠Ｃ＿＿60°則∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜1800這于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾所以假設＿＿＿＿，所以，所求證的結(jié)論成立．＜＜＜三角形三個內(nèi)角的和等于180°不成立ＡＢＣ假設l3∥l2，即l3與l2相交，記交點為P3.已知：如圖,直線l1,

l2,

l3在同一平面內(nèi),

且l2∥l1,

l3∥l1，l3∥l2求證：而l1∥l2,l3∥l1這與“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”相矛盾，所以假設不成立，因此，l3∥l2證明：l1l3l2P假設T是正弦函數(shù)的周期則對任意實數(shù)x都有:即令x=0,得從而對任意實數(shù)x都應有這與矛盾.因此,原命題成立.解:例題2.求證:若一個整數(shù)的平方是偶數(shù),則這個數(shù)也是偶數(shù).假設這個數(shù)是奇數(shù),可以設為2k+1,證:則有而不是偶數(shù)，這與原命題條件矛盾.所以，假設是錯誤的，因此，原命題成立.例題3.練習:2.求證:不可能是同一個等差數(shù)列中的三項.3.已知a,b,c∈(0,1)，求證：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不

能都大于1/44.已知：，求證：（2）中至少有一個不小于.（1）；假設(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4,由(1-a)b>1/4且a>0得:同理可得:b<c,c<a.所以:a<b<c<a.這顯然是不可能的,所以原命題成立.3.已知a,b,c∈(0,1)，求證：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a

至少有一個小于1/4.證：用反證法證題時,應注意的事項

:

（1）周密考察原命題結(jié)論的否定事項，