八年級(jí)數(shù)學(xué)·上新課標(biāo)[人]第十二章全等三角形

學(xué)習(xí)新知檢測(cè)反饋12.3角的平分線的性質(zhì)

工人師傅常常用一種簡(jiǎn)易平分角的儀器(如圖所示),其中AB=AD,BC=DC,將點(diǎn)A

放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC

畫(huà)一條射線AE,AE

就是∠DAB

的平分線.你能說(shuō)明它的道理嗎?學(xué)習(xí)新知問(wèn)題思考AＢＯＭＮＣ畫(huà)法：１．以Ｏ為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于

ＭＮ的長(zhǎng)為半徑作?。畠苫≡凇希粒希碌膬?nèi)部交于Ｃ．３．作射線ＯＣ．射線ＯＣ即為所求．一、角平分線的畫(huà)法你能說(shuō)明oc為什么是∠AOB的平分線嗎?∵OM=ON,∴△OCM≌△OCN(SSS).證明:連接CM、CNOC=OCCM=CN∴∠COM=∠CON即OC為∠AOB的平分線ＯAＢＭＮＣＣ

如圖所示,任意作一個(gè)角∠AOB,作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P畫(huà)出OA,OB的垂線,分別記垂足為D,E,測(cè)量PD,PE并作比較,你能得到什么結(jié)論?在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.你能證明這個(gè)結(jié)論嗎?二、角平分線的性質(zhì)和判定證明∴∠PDO=∠PEO=90°,∴△PDO≌△PEO(AAS),證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,求證:PD=PE.

∵OC是∠AOB的平分線,∴∠AOC=∠BOC.已知:如圖所示,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.∴PD=PE.你能總結(jié)這個(gè)結(jié)論嗎?角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.知識(shí)拓展

利用角的平分線的性質(zhì)可直接推導(dǎo)出與角的平分線有關(guān)的兩條線段相等,但在推導(dǎo)過(guò)程中不要漏掉垂直關(guān)系的書(shū)寫(xiě)。

以后涉及角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的垂線段時(shí),可直接得到其相等,不必再證兩個(gè)三角形全等而走彎路.證明由題意易得∠PDO=∠PEO=90°.∴∠DOP=∠EOP,即∠AOC=∠BOC,證明:經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作射線OC,如圖所示.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL),已知:如圖所示,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E,PD=PE.∴OC是∠AOB的平分線.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.例題示范因?yàn)橐阎?、求證中都沒(méi)有具體說(shuō)明哪些線段的長(zhǎng)度表示距離,而證明它們相等必須標(biāo)出它們,所以這一段話要在證明中寫(xiě)出,同輔助線一樣處理.如果已知中寫(xiě)明點(diǎn)P到三邊的距離是哪些線段的長(zhǎng),那么圖中畫(huà)實(shí)線,在證明中就可以不寫(xiě).解析1.如圖所示,△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,求證點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等.∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,同理PE=PF.證明:過(guò)點(diǎn)P作PD,PE,PF分別垂直于

AB,BC,CA,垂足分別為D,E,F.∴PD=PE=PF.證明過(guò)程∴PD=PE,即點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等.

在幾何里,如果證明的過(guò)程完全一樣,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略詳細(xì)證明過(guò)程.說(shuō)明A

1.如圖所示,AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC長(zhǎng)是 (

)

A.3 B.4 C.6 D.5檢測(cè)反饋解析:∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,∴PA=PB,∴△OPA≌△OPB,∴∠APO=∠BPO,OA=OB,∴選項(xiàng)A,B,C均正確,設(shè)PO與AB相交于E,如圖所示,∵OA=OB,∠AOP=∠BOP,OE=OE,∴△AOE≌△BOE,∴∠AEO=∠BEO=90°,∴OP垂直AB,而不能得到AB平分OP,故D不成立.故選D.D2．如圖所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分別為A,B,連接AB.下列結(jié)論中不一定成立的是 (

)A.PA=PB B.PO平分∠APBC.OA=OB D.AB平分OP解析:∵角平分線AD,BE相交于O點(diǎn),∴CO平分∠ACB.故選C.C3.如圖所示,在△ABC中,角平分線AD,BE相交于O點(diǎn),連接CO,則下列成立的是 (

)A.△CEO≌△CDO B.OE=ODC.CO平分∠ACB D.OC=OD解析:過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于D,先求出CM的長(zhǎng),再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可求得DM的長(zhǎng).4.如圖所示,△ABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,BC=16cm,CM∶MB=3∶5,求點(diǎn)M到AB的距離.D解：如圖所示,過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于D,∵BC=16cm,CM∶MB=3∶5,∴CM=3/(3+5)×16=6(cm)