3.3垂徑定理

情景導入1等腰三角形是軸對稱圖形嗎？2如果將一等腰三角形沿底邊上的高對折，可以發(fā)現(xiàn)什么結論？3如果以這個等腰三角形的頂角頂點為圓心，腰長為半徑畫圓，得到的圖形是否是軸對稱圖形呢？新知講解小貼士1400多年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋（如圖）的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4m，拱高（弧的中點到弦的距離，也叫弓形高）為7.2m，求橋拱的半徑（精確到0.1m）.新知講解問題：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為P.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，點A與點B重合，AP與BP重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒OABDPC·想一想·OABDCP已知：在☉O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD，垂足為P.求證：AP=BP，AC=BC,⌒⌒⌒⌒AD=BD.證明：連接OA、OB、CA、CB，則OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP，⌒⌒AC=BC.∴AD=BD，⌒⌒∠AOC=∠BOC.從而∠AOD=∠BOD.能不能用所學過的知識證明你的結論？結論垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧.CD為⊙O的直徑CD⊥AB

題設CDABMO結論AM=BM

新知講解溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉化,形成整體,才能運用自如.·OABCDP∵CD是直徑，CD⊥AB，(條件)∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.(結論)推導格式：練一練下列圖形，符合垂徑定理的條件嗎？EOABDCOBAEDEOCDABEABCDOEABDCOEOABC×××√√√想一想如圖，AB是⊙O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點M（1）圖是軸對稱圖形嗎?如果是其對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系？說一說你的理由.CDABMO動手探究連接OA、OB，易證OM⊥AB，∠AOC=∠BOC∴AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒即直徑CD⊥AB，直徑CD平分AB所對的劣弧AB和優(yōu)弧ADB⌒⌒CDABMO總結MCD垂徑定理推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。符號語言：在⊙O中，∵CD是直徑，AM=BM，且AB不是直徑，∴CD⊥AB，AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒歸納總結根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所對的優(yōu)??；（5）平分弦所對的劣弧.上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論.探究新知

我們現(xiàn)在解答本課開始的問題典例精析

例、如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點,且OE⊥CD，垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.●

OCDEF┗典例精析解:連接OC.設這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.根據(jù)勾股定理，得解得R=545.∴這段彎路的半徑約為545m.●

OCDEF┗典例精析

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm方法點撥在圓中有關弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題，常常通過連半徑或作弦心距構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關系：弓形中重要數(shù)量關系ABCDOhrdd+h=r

OABC·課堂練習如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結論不一定成立的是（）CM=DMB.C.∠ACD=∠ADCD.OM=MDD

B

課堂練習3.已知☉O的半徑為10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為

.4.如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8,P為AB上的一個動點，那么OP長的取值范圍

.14cm或2cm3cm≤OP≤5cm課堂練習

課堂練習

∵OA=r,AE=5，∴OE=AE-OA=5-r.在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理，得

OD2=OE2+DE2,

F課堂練習(2)由(1)知，OE=5-r=2.

作業(yè)布置1.課本第76頁習題3.3第1、2題2.若⊙O中弦AB∥CD.那么嗎？為什么？

課堂小結垂徑定理內容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其他三個結論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧兩條輔助線：連半徑;作弦心距構造Rt△利用勾股定理計算或建立方程.基本圖形及變式圖形2.1二次函數(shù)九年級下冊

學習目標12經歷探索和表示二次函數(shù)關系的過程,獲得用二次函數(shù)表示變量之間關系的體驗.能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關系.3能夠利用嘗試求值的方法解決實際問題.自主學習檢測1.下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是（）2.函數(shù)是二次函數(shù)的條件是（）A．m、n為常數(shù)，且m≠0 B．m、n為常數(shù)，且m≠nC．m、n為常數(shù)，且n≠0 D．m、n可以為任何常數(shù)CB自主學習檢測3.如果函數(shù)y=+kx+1是二次函數(shù),則k的值是______4.如果函數(shù)y=(k-3)+kx+1是二次函數(shù),則k的值是______0或30什么是函數(shù)？什么叫做一次函數(shù)？什么叫做反比例函數(shù)？函數(shù)有哪些表示方法？在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果對于x

的每一個可取的值，都有唯一一個y

值與它對應，那么y稱為x的函數(shù)。形如y=kx+b(k、b為常數(shù)，k≠0)

解析法列表法圖象法情景引入二次函數(shù)某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.(1)問題中有那些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？(2)假設果園增種x棵橙子樹,那么果園共有多少棵橙子樹？這時平均每棵樹結多少個橙子？(3)如果果園橙子的總產量為y個,那么請你寫出y與x之間的關系式.課堂探究（1）自變量：橙子樹的棵樹或增加的棵樹，橙子樹間的距離、橙子樹接受陽光的多少等。因變量：橙子的個數(shù)，橙子的質量等。（2）假設果園增種x棵橙子樹,那么果園共有（100+x）棵橙子樹，這時平均每棵樹結（600-5x）個橙子？(3)如果果園橙子的總產量為y個，那么y

=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000.課堂探究銀行的儲蓄利率是隨時間的變化而變化的,也就是說，利率是一個變量.在我國,利率的調整是由中國人民銀行根據(jù)國民經濟發(fā)展的情況而決定的.設人民幣一年定期儲蓄的年利率是x,一年到期后,銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉存.如果存款額是100元,那么請你寫出兩年后的本息和y(元)的表達式(不考慮利息稅).y=100(x+1)2=100x2+200x+100.課堂探究例1已知矩形的周長為40cm，它的面積可能是100cm2嗎？可能是75cm2嗎？還可能是多少？你能表示這個矩形的面積與邊長的關系嗎？解:設其中一邊長為xcm,面積為y，

則y=-x2+20x

當y=100時,即-x2+20x=100

解得

x1=x2=10.

同理當y=-x2+20x=75時,

解得x1=5,x2=15.

這個矩形的面積y與其一邊長x的關系為y=-x2+20x.

兩邊長和為20cm的都可以作為該矩形的長和寬,所以其面積還可以為96,91,84,….典例精析例2兩數(shù)的和是20，設其中一個數(shù)為x，你能寫出這兩個數(shù)的積的表達式嗎？解:設其中一數(shù)為x,積為y，

則另一個數(shù)為（20-x）

y=x（20-x）=-x2+20x這兩個數(shù)的積y與其中一個數(shù)x的關系為y=-x2+20x.典例精析二次函數(shù)例如y是x的二次函數(shù)y=-5x2+100x+60000,y=100x2+200x+100，y=-x2+20x。s是r的二次函數(shù)：S=πr2h是t的二次函數(shù):h=?gt2定義：一般地,若兩個變量x、y之間的對應關系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的形式，則稱y是x的二次函數(shù).提示:(1)關于x的代數(shù)式一定是整式,a,b,c為常數(shù),且a≠0.(2)等式的右邊最高次數(shù)為2,可以沒有一次項和常數(shù)項,但不能沒有二次項.結論歸納已知函數(shù)y=（m2-1）x2+（m-1）x+3，（1）當m為何值時，此函數(shù)是二次函數(shù)？（2）當m為何值時，此函數(shù)是一次函數(shù)？解：（1）當m2-1≠0，即m≠±1時，此函數(shù)是二次函數(shù)。（2）當m2-1=0時，且m-1≠0，即m=-1時，此函數(shù)是一次函數(shù)。教材延伸

2、在一定條件下，若物體運動的路程s(m)與時間t(s)之間的函數(shù)關系式為s=5t2+2t,則當t=4s時，該物體所經過的路程為（）A.28mB.48mC.68mD.88m3、已知二次函數(shù)y=1-3x+5x2,則其二次項的系數(shù)a，一次項的系數(shù)b和常數(shù)項c是（

）A.a=1,b=-3,c=5B.a=1,b=3,=1,c=5C.a=5,b=3,c=1D.a=5,b=-3,c=1CDD隨堂檢測4、某廠今年一月份新產品的研發(fā)資金為a元，以后每月新產品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年三月新產品的研發(fā)資金y(元）與x之間的函數(shù)關系式為___________5、若函數(shù)y=（m-3)xm-1是x的二次函數(shù)，則m=_____6、（1）二次函數(shù)y=x2-2x-4,當x=3時，函數(shù)y的值為（

）；當x=（

）時，函數(shù)y的值-1；（2)二次函數(shù)y=ax2+3x,當x=2時，y=14,當x=-2時，y=(