命題、定理、證明

第五章相交線與平行線教學(xué)目標(biāo)了解命題的概念以及命題的構(gòu)成(如果……那么……的形式)．知道如何判斷一個(gè)命題的真假．理解什么是定理和證明．知道什么是真命題和假命題．教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)對(duì)命題結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)．

理解證明要步步有據(jù)．表述推理過程．比較兩組語句的區(qū)別A組1．對(duì)頂角相等；2．兩直線平行，同位角相等；3．玫瑰花是動(dòng)物；4．若a2＝b2，則a＝b．B組1．畫一個(gè)角等于已知角；2．a(chǎn)、b兩條直線平行嗎？3．點(diǎn)P在直線AB外；4．若a2＝4，求a的值．對(duì)事情作了是或不是的判斷對(duì)事情作了描述或表達(dá)疑問命題的概念（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；

像這樣判斷一件事情的語句，叫做命題（proposition）.（4）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式．（3）對(duì)頂角相等；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；例題判斷下列語句是否是命題：1．相等的角是對(duì)頂角；(

)2．畫一條線段等于已知線段；(

)3．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(

)4．如果兩角之和是90°，那么這兩角互余(

)5．點(diǎn)P在直線AB外；(

)6．玫瑰花是動(dòng)物；(

)7．若a3＝8，求a的值；(

)8．若a2＝b2，則a＝±b．(

)是是是是是否否否1、只要對(duì)一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是命題．易錯(cuò)點(diǎn)剖析2、如果一個(gè)句子沒有對(duì)某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題．如：畫線段AB=CD．練習(xí)判斷下列語句是不是命題？（1）兩點(diǎn)之間，直線最短；（

）（2）請(qǐng)畫出兩條互相平行的直線；（

）（3）過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線；（

）（4）如果兩個(gè)角的和是90o，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．（

）命題的結(jié)構(gòu)觀察下列命題，思考命題是由幾部分構(gòu)成的？（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；

（5）兩點(diǎn)之間，線段最短．（4）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式．（3）如果兩個(gè)角的和是90o，那么這兩個(gè)角互余；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；命題由提設(shè)和結(jié)論兩部分組成.命題的結(jié)構(gòu)題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．許多數(shù)學(xué)命題?？梢詫懗?/p>

“如果……，那么……”的形式．“如果”后面連接的部分是題設(shè)，“那么”后面連接的部分就是結(jié)論．例題下列語句是命題嗎？如果是，請(qǐng)將它們改寫成“如果……，那么……”的形式.

（5）對(duì)頂角相等．（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（2）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式；（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；如果兩條直線被第三條直線所截，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ)；如果等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，那么結(jié)果仍是等式；如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)相加得0；如果兩個(gè)角是同旁內(nèi)角，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)；如果兩個(gè)角互為對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等．改寫的注意事項(xiàng)注意：添加“如果”、“那么”后，命題的意義不能改變，改寫的句子要完整，語句要通順，使命題的題設(shè)和結(jié)論更明朗，易于分辨，改寫過程中，要適當(dāng)增加詞語，切不可生搬硬套。練習(xí)指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論：

（1）如果AB⊥CD，垂足為O，那么∠AOC=90°；

（2）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3；

（3）兩直線平行，同位角相等.指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論.

練習(xí)1．如果兩條平行線被第三條直線所截，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ)．2．如果a＞b，b＞c，那么a=c．3．如果等式兩邊加同一個(gè)數(shù)，那么結(jié)果仍是等式．指出下列各命題的題設(shè)和結(jié)論，并改寫成“如果……那么……”的形式．練習(xí)1、對(duì)頂角相等；

6、正數(shù)與負(fù)數(shù)的和為0．5、等角的補(bǔ)角相等；4、平行于同一直線的兩直線平行；3、兩平行線被第三直線所截，同位角相等；2、內(nèi)錯(cuò)角相等；練習(xí)把下列命題寫成“如果…，那么…”的形式：(1)直角都相等．(2)同垂直于一條直線的兩條直線平行．(3)同角的余角相等．思考下列命題中，哪些命題是正確的，哪些命題是錯(cuò)誤的？（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

（5）對(duì)頂角相等．（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（2）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式；命題的真假真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題．假命題：如果題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題．練習(xí)判斷下列命題哪些是真命題？哪些是假命題？（1）在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么也垂直于另一條；

（5）兩點(diǎn)確定一條直線．（4）經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；（3）如果|a|=|b|，那么a=b；（2）如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角；真命題真命題真命題假命題假命題下列句子哪些是命題？是命題的，指出是真命題還是假命題？

練習(xí)1、豬有四只腳；（

）

10、x＞2.（

）9、過點(diǎn)P畫線段MN的垂線；（

）8、同垂直于一直線的兩直線平行；（

）7、對(duì)頂角相等；（

）6、同位角相等，兩直線平行；（

）5、你的作業(yè)做完了嗎？（

）4、四邊形是正方形；（

）3、畫一條直線；（

）2、內(nèi)錯(cuò)角相等；（

）是是是是是是否否否否真命題真命題真命題假命題假命題假命題練習(xí)把下列命題寫成“如果…，那么…”的形式，并指出命題的題設(shè)和結(jié)論：1、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．2、等角的補(bǔ)角相等．3、同位角相等．4、相等的角是對(duì)頂角．以上命題是真命題還是假命題？公理和定理1.

數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理或基本事實(shí)．2．有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理．公理和定理都可作為判斷其他命題真假的依據(jù)．公理舉例1．直線公理：2．線段公理：3．平行公理：4．平行線判定公理：5．平行線性質(zhì)公理：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線．兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．同位角相等，兩直線平行．兩直線平行，同位角相等．1．補(bǔ)角的性質(zhì)：定理舉例同角或等角的補(bǔ)角相等．2．余角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等．3．對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．4．垂線的性質(zhì)：①過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②垂線段最短．5．平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．6．平行線的判定定理：定理舉例內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．7．平行線的性質(zhì)定理：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．證明除公理外，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個(gè)推理的過程叫做證明

.題設(shè)（條件）推理方法以已知、定義、公理、定理為依據(jù)結(jié)論（條件）這個(gè)過程，就是證明思考下面，我們以證明命題“在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條”為例，來說明什么是證明．（1）你能將命題1所敘述的內(nèi)容用圖形語言來表達(dá)嗎？（2）這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么呢？思考下面，我們以證明命題“在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條”為例，來說明什么是證明．題設(shè)：結(jié)論：在同一平面內(nèi)，一條直線垂直于兩條平行線中的一條；這條直線也垂直于兩條平行線中的另一條．定理在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條．思考（4）你能結(jié)合圖形用幾何語言表述命題的題設(shè)和結(jié)論嗎？已知：b∥c，a⊥b．求證：a⊥c．證明：∵a⊥b（已知），∴∠1=90o（垂直的定義）．又∵b∥c（已知），∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）.∴∠2=90o（等量代換）．∴a⊥c（垂直的定義）．證明中的每一步推理都要有理有據(jù)，不能“想當(dāng)然”．證明的注意事項(xiàng)這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是學(xué)過的定義、基本事實(shí)（公理）、定理等．證明一個(gè)命題是假命題，只要舉一個(gè)反例就行．如何證明一個(gè)命題是假命題例如，證明命題“相等的角是對(duì)頂角”是假命題．可以舉出如下反例：如圖，OC是∠AOB的平分線，∠1=∠2，但它們不是對(duì)頂角．練習(xí)1.

在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的根據(jù).

如圖，∠A+∠B=180°，求證∠C+∠D=180°.

證明：∵∠A+∠B=180°，

∴AD∥BC（__________________________）.

∴∠C+∠D=180°（________________________）.練習(xí)2.命題“同位角相等”是真命題嗎？如果是，說出理由：如果不是，請(qǐng)舉出反例.練習(xí)填空:

已知：如圖1，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：EG∥FH．證明：∵∠1=∠2（已知）∠AEF=∠1（

）；∴∠AEF=∠2（

）．∴AB∥CD（

）．∴∠BEF=∠CFE（

）．∵∠3=∠4（已知）；∴∠BEF-∠4=∠CFE-∠3．即∠GEF=∠HFE（

）．∴EG∥FH（

）．對(duì)頂角相等等量代換同位角相等，兩直線平行兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等等式性質(zhì)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)會(huì)了什么？命題形式真假性如果…，那么…題設(shè)結(jié)論真命題假命題公理定理復(fù)習(xí)鞏固1.如圖，一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后，和原來的方向相同.如果第一次的拐角∠A是135°，第二次的拐角∠B是多少度？為什么？復(fù)習(xí)鞏固2.如圖，在四邊形ABCD中，如果AD∥BC，∠A=60°，求∠B的度數(shù)，不用度量的方法，能否求得∠D的度數(shù)？復(fù)習(xí)鞏固3.如圖，平行線AB，CD被直線AE所截.

（1）從∠1=110°可以知道∠2是多少度？為什么？

（2）從∠1=110°可以知道∠3是多少度？為什么？

（3）從∠1=110°可以知道∠4是多少度？為什么？復(fù)習(xí)鞏固4.如圖，a∥b，c，d是截線，∠1=80°，∠5=70°.∠2，∠3，∠4各是多少度？為什么？

復(fù)習(xí)鞏固5.如圖，一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了兩條平行管道，如果公路一側(cè)鋪設(shè)的管道與縱向聯(lián)通管道的角度為120°，那么，為了使管道對(duì)接，另一側(cè)應(yīng)以什么角度鋪設(shè)縱向聯(lián)通管道？為什么？復(fù)習(xí)鞏固6.在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的根據(jù).

如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A=∠B.求證∠C=∠D.

證明：∵∠A=∠B，

∴AC∥BD（____________________________________）.

∴∠C=∠D（____________________________________）.綜合運(yùn)用7.選擇題.

（1）如圖（1），由AB∥CD，可以得到（

）.（B）∠2=∠3（A）∠1=∠2（C）∠1=∠4（D）∠3=∠4（2）如圖（2），如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（

）.

（A）180°

（B）270°

（C）360°

（D）540°綜合運(yùn)用8.光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，∠1=45°，∠2=122°，求圖中其他角的度數(shù).綜合運(yùn)用9.如圖，用式子表示下列句子：

（1）因?yàn)椤?和∠2相等，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，所以AB和EF平行；

（2）因?yàn)镈E和BC平行，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”，所以∠1=∠B，∠3=∠C.綜合運(yùn)用10.如圖，這是一個(gè)國際象棋棋盤的示意圖，它共有8行8列，仿照它做出一張國際象棋的棋盤紙.類似地，你還能做出一張中國象棋的棋盤紙嗎？綜合運(yùn)用11.操場(chǎng)中的相交線與平行線.

（1）舉出操場(chǎng)中一些相交線、垂線、平行線的例子；

（2）如果要你畫出一個(gè)籃球場(chǎng)地，你怎樣做才能保證相應(yīng)的線垂直或平行呢？不妨在紙上試一試.綜合運(yùn)用12.判斷下列命題是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個(gè)反例.

（1）兩個(gè)銳角的和是銳角；

（2）鄰補(bǔ)角是互補(bǔ)的角；

（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ).綜合運(yùn)用13.完成下面的證明.

（1）如圖（1），AB∥CD，CB∥DE.求證∠B+∠D=180°.

證明：∵

AB∥CD.

∴∠B=_________（____________________）.

∵CB∥DE，

∴∠C+∠D=180°（_____________________）.

∴∠B+∠D=180°.綜合運(yùn)用（2）如圖（2），∠ABC=∠A'B'C'，BD，B'D'分別是∠ABC，∠A'B'C'的平分線.求證∠1=∠2.

證明：∵BD，B'D'分別是∠ABC，∠A'B'C'的平分線，又∠ABC=∠A'B'C'，拓廣探索14.如圖，直線DE經(jīng)過點(diǎn)A，DE∥BC，∠B=44°，∠C=57°.

（1）∠DAB等于多少度？為什么？

（2）∠EAC等于多少度？為什么？

（3）∠BAC等于多少度？

（通過這道題，你能說明為什么三角形的內(nèi)角和是180°嗎？）拓廣探索15.如圖，潛望鏡中的兩面鏡子是互相平行放置的，光線經(jīng)過鏡子反射時(shí)，∠1=∠2，∠3=∠4，∠2和∠3有什么關(guān)系？為什么進(jìn)入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行的？（提示：分析這兩條光線被哪條直線所截.）平行線

教學(xué)目標(biāo)理解平行線概念,理解平行公理，了解其推論,會(huì)用三角尺和直尺過直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線.經(jīng)歷動(dòng)手操作、觀察、歸納平行線概念及平行公理的過程，提高觀察歸納、動(dòng)手操作、空間想象及邏輯思維能力.教學(xué)重點(diǎn)平行公理及其推論.教學(xué)難點(diǎn)理解平行公理及推論.思考分別將木條a，b與木條c釘在一起,并把它們想象成在同一平面內(nèi)兩端可以無限延伸的三條直線,順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)a.

（1）直線a與直線b的交點(diǎn)位置將發(fā)生什么變化?（2）在這個(gè)過程中,有沒有直線a與b不相交的位置?平行的概念可以發(fā)現(xiàn)，在木條轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，存在直線a與b不相交的情形，這時(shí)我們說直線a與b互相平行，記作a∥b.

平行的概念同一平面內(nèi)，兩條直線存在哪些位置關(guān)系?相交平行想一想，為什么需要“同一平面內(nèi)”這個(gè)前提？正方體這兩條邊所在的直線，既不相交，也不平行平行的概念其實(shí)實(shí)際生活中大量存在的是平行線段.

生活中的平行線你還能舉出其他一些例子嗎？生活中的平行線筆直的跑道橋梁的鋼索生活中的平行線延伸向遠(yuǎn)方的公路望不到盡頭的鐵軌生活中的平行線給一條直線AB和直線外一點(diǎn)P，怎么過點(diǎn)P畫一條直線與已知直線AB平行呢？平行線的畫法一、放二、貼三、推四、畫思考轉(zhuǎn)動(dòng)木條a的過程中，有幾個(gè)位置使得直線a與b平行？只有一個(gè)思考轉(zhuǎn)動(dòng)木條a的過程中，有幾個(gè)位置使得直線a與b平行？只有一個(gè)過點(diǎn)B畫直線a的平行線，能畫出幾條？思考再過點(diǎn)C畫直線a的平行線，它和前面過點(diǎn)B畫出的直線平行嗎？abcBC一條平行平行公理經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

ab直線上就不行存在且唯一abcBC平行公理的推理如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

也就是說：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.

練習(xí)讀下列語句，并畫出圖形：（1）點(diǎn)P是直線AB外一點(diǎn)，直線CD經(jīng)過點(diǎn)P，且與直線AB平行；（2）直線AB，CD是相交直線，點(diǎn)P是直線AB，CD外的一點(diǎn)，直線EF經(jīng)過點(diǎn)P且與直線AB平行，與直線CD相交于點(diǎn)E．練習(xí)用符號(hào)“∥”表示圖中平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行.AB∥CD，AD∥BC一個(gè)長方體如圖，和AA′平行的棱有多少條？和AB平行的棱有多少條？請(qǐng)用符號(hào)把它們表示出來.

練習(xí)和AA′平行的棱有3條：BB′∥AA′，CC′∥AA′，DD′∥AA′和AB平行的棱有3條：A′B′∥AB，C′D′∥AB，CD∥AB練習(xí)觀察如圖所示的長方體后填空（1）用符號(hào)表示下列兩棱的位置關(guān)系：A1B1____AB，AA1____AB

//

⊥A1D1____C1D1

，AD____BC由此可知，在___________，兩條不相交的直線才能叫平行線。

（2）A1B1與BC所在的直線是兩條不相交的直線，他們____平行線（填“是”或“不是”）.（3）在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線位置關(guān)系只有_____種，即_____________.

⊥//

不是同一平面內(nèi)2相交和平行練習(xí)