周長橢圓是個(gè)不怎么完美的圖形，因?yàn)樗拿娣e有確切公式可以計(jì)算，但其周長卻不能“精確”的計(jì)算出來，經(jīng)過數(shù)學(xué)家的計(jì)算與證明，最終得出橢圓周長沒有精確的初等公式，但可以用橢圓積分的級(jí)數(shù)形式表示。下面對(duì)橢圓周長進(jìn)行的計(jì)算，原理很簡單，但計(jì)算過程可能很復(fù)雜。在平面坐標(biāo)系內(nèi)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為02+b2=1，a>。,b>o.參數(shù)方程為x=acos0,y=bsin0,（0<0<2兀）當(dāng)a>b時(shí)，橢圓圖像為微積分是個(gè)好工具，他幫人類解決了很多復(fù)雜問題。這里橢圓周長的計(jì)算需要用到定積分的知識(shí)。若某條光滑曲線，能用參數(shù)方程表示

x=X(t),y=Y(t)當(dāng)a<t<p時(shí)，該段曲線的長度l可表示為下面借此公式來計(jì)算橢圓的周長，由于橢圓關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，計(jì)算起來比較方便。設(shè)橢圓周長為L,則一cos__20)+b2cos~T0d6=4j「Ja2sin""一cos__20)+b2cos~T0d64冷7^o一e2cos__2一e2cos__20d60其中e=a2一b2=t其中e=TOC\o"1-5"\h\za2 a這個(gè)積分很難求出來，需要用一定的技巧：先用泰勒公式把J-e2cos20展開。( )17 k(k-1) k(k-1)(k-2)\1+x)k=1+kx+ x2+ x3+2! 3!當(dāng)k=1時(shí)，可得2x8(-1)-1(2n-3)!xna/E=1+2+zn=2在此式中令x=-e2cos20可得

q 時(shí)4e2cos20 ^（2n-3）!e2ncos2n0"1—e2C0S20=1- -Z2nn2nn!x（2nx（2n—1）其中（2n-1）!=1x3x5x把。式代入。式周長L的計(jì)算試中后，那個(gè)復(fù)雜的定積分便能迎刃而解了，所以L=物火1分便能迎刃而解了，所以L=物火1e2cos20￡（2n-3）!e2ncos2n0次=ao2— 2 —=4a<n=2"笠氏cos20d0—Z20 一n=22nn!6"一4新思。s2n0"2nn! 0這個(gè)式子還是很復(fù)雜，需要把中括號(hào)部分進(jìn)行化簡變換一下。先求出- 135： 2n—1兀j2C0S2nUdU=_x4x_x x2X_（2n-1）!兀=x_2nn! 2把0式代入0式，周長L就能很快得出來了。于是

L-4aJl-(L-4aJl-(12 2兀)—X—"22)n—23.5/..即一3)2n一1》〃)/板nn!>(2n-1) 2-2兀a"-工1?3?5...-(2n-1))22?4?6....2n )2n-1e2n<(2n-1)!)[E)2e2n2n一1這就是橢圓周長的公式，既著名的“項(xiàng)名達(dá)公式”，相當(dāng)?shù)膹?fù)雜，這應(yīng)該是最精確的了，另外還有很多的近似公式,不過誤差太大，但可以滿足工程上的應(yīng)用?，F(xiàn)在科技如此發(fā)達(dá)，有一些數(shù)學(xué)軟件可以計(jì)算出橢圓周長，而且結(jié)果相當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確。計(jì)算原理就是定積分的應(yīng)用，但這個(gè)積分不容易求出來，需要有一定的數(shù)學(xué)能力，有一定的耐心，以及對(duì)泰勒公式的應(yīng)用要求較高。對(duì)周長級(jí)數(shù)形式L進(jìn)行展開得其中a為半長軸,(其中a為半長軸,(13\e4(135\e41a為橢圓的離心率。例如,當(dāng)橢圓方程為75*如=1時(shí)，a-5，b-4，e-|則周長為

(135￥e6(1357￥約/1￥(135￥e6(1357￥約/1￥?? — ??.^246)5 ^2468)7w28.36另外有些近似公式作的也很好，例如2G+b）一^abI其實(shí)它是根據(jù)Q式近似計(jì)算來的，計(jì)算精度還行，推導(dǎo)過程有點(diǎn)復(fù)雜。橢圓周長的計(jì)算方法有很多，這只是其中一種而已，但得到的結(jié)果都不“完美”，任然需要科學(xué)愛好者努力攻克這個(gè)小小的問題。當(dāng)今尚無標(biāo)準(zhǔn)的橢圓周長計(jì)算公式是基礎(chǔ)科學(xué)中的遺憾之一，現(xiàn)在科學(xué)中所使用的橢圓周長都是近似值，這也是科學(xué)的遺憾之一，所以研究橢圓周長計(jì)算公式是十分有意義的。認(rèn)為一