得巨大成功的是柏拉圖之友、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和政治家阿契塔〔Archytas，鼎盛時(shí)期為但APC＝，因而得巨大成功的是柏拉圖之友、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和政治家阿契塔〔Archytas，鼎盛時(shí)期為但APC＝，因而MQCP。因此CA:AP＝AP:AM＝AM:AQ，或即2/10.AC:AP＝AP:A極點(diǎn)，AC為極軸，那么其極坐標(biāo)方程是設(shè)曲線與圓ABC的交點(diǎn)為M，那么AM就是AB和AC間的第一個(gè)比例/10.線即是阿契塔作圖法中的圓錐面和圓環(huán)面交線在平面ABC上的投影。用我們的語言來說，它就是以A為 疫，就必須建造一座新的立方祭壇，新祭壇的體積必須是原有立方祭壇的兩倍。引住了。他發(fā)現(xiàn)，假設(shè)在a，b兩線段之間能找到兩個(gè)比例中項(xiàng)x，y使得a:x＝于I。由蚌線性質(zhì)知IK于I。由蚌線性質(zhì)知IK＝AE＝CG。連KD并延長(zhǎng)，交BA延長(zhǎng)線于M。那么MA:AB＝MD:DK＝BCK:KG＝BF:CG，GK:KH＝CG:DH，故AE:BF＝BF:CG＝CG:DH。于是BF和CG即/10.線即是阿契塔作圖法中的圓錐面和圓環(huán)面交線在平面ABC上的投影。用我們的語言來說，它就是以A為架，其上刻有槽。三個(gè)直角三角形AMMNG和NQH各有一邊AM、MN和NQ與一頂點(diǎn)F、5/10.G和H.中項(xiàng)。設(shè)AC是圓的直徑而AB是圓的一條弦。以AC為直徑作垂直于圓ABC所在最后，設(shè)圓ABC在C點(diǎn)處的切線交AB延長(zhǎng)線于D。將繞AC軸旋轉(zhuǎn)，得一圓錐，設(shè)APC為旋轉(zhuǎn)半圓的相應(yīng)位置，AC交圓ABC于M。作PM平面ABC，易知它必與圓ABC相交。設(shè)AP交半圓BQE于Q，AC交BE于N。連PC、QM、QN。因QN是垂直于平面ABC的兩個(gè)半圓的交線，因而QN平面ABC，從而得QNBE。因此，故AQM＝。但APC因而MQCP。因此，連HG。作CI⊥，連HG。作CI⊥HG，以G為極點(diǎn)，CI為直尺，AE長(zhǎng)為距離作蚌線，交HC的延長(zhǎng)線于K。連GK交CI故得：(i)；(ii)；(iii)。因此點(diǎn)P在以下三條圓錐曲線上：〔i〕以O(shè)為頂點(diǎn)，OM為對(duì)稱軸，O梅克繆斯〔Menaechmus，鼎盛于公元前4世紀(jì)中葉〕為在兩線段間得兩個(gè)比例中項(xiàng)而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。AC軸旋轉(zhuǎn)，得一圓錐，同時(shí)B點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中在與平面ABC垂直的平面上畫出了半圓BQE，直徑BEAC。OM＝OM:ON＝ON:OB，故OM＝OM:ON＝ON:OB，故AMN＝MNB＝Rt。因此，假設(shè)給定線段AO和OB〔OA⊥OB〕，問借助蔓葉線的等價(jià)方法。如圖4-2-18，設(shè)DO、OK是兩條給定線段〔DO⊥OK〕，現(xiàn)要在它們之間求兩于K。那么有EK:KF＝AK:KB＝FK:KG＝BK:KC＝GK:KH，但EK:KF＝AE:BF，F(xiàn)例中項(xiàng)為在BO和AO延長(zhǎng)線上截得的OM和ON。作矩形OMPN，因AO:OM＝OM:ON＝ON:OB， 設(shè)曲線與圓ABC的交點(diǎn)為M，那么AM就是AB和AC間的第一個(gè)比例中項(xiàng)，垂線所得矩形與矩形AB等積〕；/10.線即是阿契塔作圖法中的圓錐面和圓環(huán)面交線在平面ABC上的投影。用我們的語言來說，它就是以/10.線即是阿契塔作圖法中的圓錐面和圓環(huán)面交線在平面ABC上的投影。用我們的語言來說，它就是以A為位于兩直尺的槽，它們能彼此通過。三個(gè)直角三角形初始位置如圖〔1〕所示。在圖〔2〕中，我們要在AE和D9圖4-2-2016世紀(jì)，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家韋達(dá)〔F.Vieta,1540～1603〕給出一種作圖法：設(shè)例中項(xiàng)為在BO和AO延長(zhǎng)線上截得的OM和ON。作矩形OMPN，因AO:OM＝OM:ON＝ON:OB，.ON。梅氏的解法給了希臘人一個(gè)啟示。因OA:OM＝OM:ON＝ON:OB，故AMN＝沿GF滑動(dòng)的JK桿上的桿子，移動(dòng)時(shí)始終保持與FG垂直?，F(xiàn)移動(dòng)FGH，使GH邊〔側(cè)〕經(jīng)過B點(diǎn)KL桿〔朝GH的一側(cè)〕經(jīng)過A點(diǎn)；頂點(diǎn)G位于AO延長(zhǎng)線上，而上刻有槽。三個(gè)直角三角形AMMNG和NQH各有一邊AM、MN和NQ與一頂點(diǎn)F、時(shí)期另一位大數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯〔Apollonius,約前262時(shí)期另一位大數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯〔Apollonius,約前262～前190〕找到了這樣一個(gè)方法，如圖4OM＝OM:ON＝ON:OB，故AMN＝MNB＝Rt。因此，假設(shè)給定線段AO和OB〔OA⊥OB〕，問OB之間的兩個(gè)比例中項(xiàng)。不難看出，圣文森特和笛卡爾的作法與梅克繆斯的作法等價(jià)。9/10.圖4-2-1于AO延長(zhǎng)線上，而KL與FG側(cè)所成角的頂點(diǎn)位于BO延長(zhǎng)線上。這時(shí)，兩側(cè)直角頂點(diǎn)M和N就是所求的點(diǎn)。后.固定，將RtΔNQH平移到NQH的位置，使QH經(jīng)過D；將RtΔMNG平移到MNG的位置，使MF和MG及NG和NH的交點(diǎn)B和C與A，D共線。設(shè)AD和EH交于K。那么有于是BF和CG即為所求。平行四邊形ABCD，等分AB、BC于E、F，連DE并延長(zhǎng)，交CB的延長(zhǎng)線于H。作商人，因商途遭劫，身無分文，故來到當(dāng)時(shí)的商業(yè)中心、美麗繁華的亞典謀生。在亞典期間〔約公元前450～4位于兩直尺的槽，它們能彼此通過。三個(gè)直角三角形初始位置如圖〔商人，因商途遭劫，身無分文，故來到當(dāng)時(shí)的商業(yè)中心、美麗繁華的亞典謀生。在亞典期間〔約公元前450～4位于兩直尺的槽，它們能彼此通過。三個(gè)直角三角形初始位置如圖〔1〕所示。在圖〔2〕中，我們要在AE和D圖4-2-12是該作圖法的幾何模型。圖4-2-12阿契塔的學(xué)生、大數(shù)學(xué)家歐多克斯〔Eudoxus，約故得：(i)；(ii)；(iii)。因此點(diǎn)P在以下三條圓錐曲線上：〔i〕以O(shè)為頂點(diǎn)，OM為對(duì)稱軸，O，。BM:BK＝CD:CK＝MA:AD，尼可米德的解法的關(guān)鍵是找出圖4-2-16中的K和M兩點(diǎn)使。這又給希臘人一個(gè)啟示。能否用別的方法求得K和M兩點(diǎn)呢?亞歷山大時(shí)期另一位大數(shù)學(xué)家(2)圖4-2-15到MNG(2)圖4-2-15到MNG的位置，使MF和MG及NG和NH的交點(diǎn)B和C與A，D共線。設(shè)AD和EH交和OB間的兩個(gè)比例中項(xiàng)OM和ON。圖4-2-13圖4-2-14梅氏的解法給了希臘人一個(gè)啟示。因OA:取點(diǎn)K，使DO:OK＝a:b，連DK并延長(zhǎng)，交蔓葉線于Q，過Q作LM⊥DC。那么由蔓葉線性質(zhì)知DM:ML＝ML:MC＝MC:MQ，8/10.但DM:MQ＝DO:OK＝a:b，設(shè)DM＝ak，MQ＝bk，BC上滿足BE＝BF的任意兩點(diǎn)。作EG、FH與CD垂直，連CE交FH于P，那么P點(diǎn)的軌跡即為丟克萊蔓葉線。易知:知DM:ML＝ML:MC＝MC:MQ，，。我們要在它們之間求兩個(gè)比例中項(xiàng)。設(shè)AC是圓的直徑而AB，。我們要在它們之間求兩個(gè)比例中項(xiàng)。設(shè)AC是圓的直徑而AB是圓的一條弦。以AC為直徑作垂直于圓ABC所以CD:CK＝CK:MA＝MA:AD，此即AB:CK＝CK:MA＝MA:BC。尼可米德的解法的關(guān)鍵位于兩直尺的槽，它們能彼此通過。三個(gè)直角三角形初始位置如圖〔1〕所示。在圖〔2〕中，我們要在AE和D架，其上刻有槽。三個(gè)直角三角形AMMNG和NQH各有一邊AM、MN和NQ與一頂點(diǎn)F、5/10.G和H.今，曲線，與圓交于D，過D作OA，OB的垂線DE，DF〔圖4-2-13〕，那么點(diǎn)D，從而同樣獲得了OA、OB之間的兩個(gè)比例中項(xiàng)。不難看出，圣文森特和笛上過A且垂直于AC上過A且垂直于AC的直線為y軸，過A且平行于PM的直線為z軸，AC＝a，AB＝b，那么