復(fù)雜條件下彈性地基梁作用的解析解

彈性底板計(jì)算理論廣泛應(yīng)用于土木工程中。例如，建筑形狀和格式梁的基礎(chǔ)可以用作彈性基礎(chǔ)設(shè)施梁。目前,彈性地基梁的計(jì)算很多,可以概括為有限差分法、鏈桿法、雙參數(shù)法、單參數(shù)法以及解析法和有限元法。解析法從梁的微分方程出發(fā),利用邊界條件和平衡方程得到梁的變形曲線,并通過微分關(guān)系進(jìn)一步得到轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。有限元法則可以通過2種途徑實(shí)現(xiàn):梁和地基剛度分開計(jì)算;梁和地基剛度統(tǒng)一計(jì)算。解析方法有比較明顯的缺點(diǎn),比如無法考慮梁的自重、難以在基礎(chǔ)上施加多種類型荷載、難以考慮梁的特性(截面形狀和彈性模量等)和基床系數(shù)沿梁長的分段不同等。而有限元法則只利用了梁單元間的彎矩連續(xù)性條件而沒有利用剪力連續(xù)性條件,所以是一種近似方法且需要多次迭代。筆者曾經(jīng)利用梁單元的變形、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力連續(xù)性條件,梁的整體平衡條件和最小勢能原理,導(dǎo)出了復(fù)雜條件下Winkler地基梁的解析解。本文則以梁兩端的剪力和彎矩邊界條件取代最小勢能原理,就復(fù)雜條件下Winkler地基梁問題重新進(jìn)行了研究,建立了方程,得到了更簡單的求解方法。與文獻(xiàn)一樣,本文給出的方法不需要迭代,能考慮多種荷載類型、能考慮梁截面、梁剛度以及基床系數(shù)沿梁長分段不同等復(fù)雜問題,也能得到與Hetenyi解形式完全一樣的解析解表達(dá)式。本文與文獻(xiàn)給出的方法,具有相同的計(jì)算結(jié)果,其原因在于2種方法都利用了梁單元間的剪力連續(xù)性條件。限于篇幅,本文沒有給出算例的解析解形式,感興趣的讀者可以參閱文獻(xiàn)。1梁單元的變形圖1為彈性地基梁L1-L2,該梁受多個(gè)集中力、集中力偶以及若干局部線性分布荷載的共同作用。當(dāng)然,各種荷載也可以部分或全部為零。由Winkler地基模型得到,任意一點(diǎn)的壓力強(qiáng)度p與該點(diǎn)的沉降量s成正比,即p=ks。(1)建立如圖1所示的坐標(biāo)系,梁長方向?yàn)閤,梁變形(地基壓縮變形)為w。根據(jù)梁和地基的變形協(xié)調(diào)條件得到s=w。(2)以集中力和集中力偶在梁上的作用點(diǎn)、線性分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)、梁抗彎剛度及基床系數(shù)改變處為結(jié)點(diǎn),即N1、N2、…、Ni、…、Nn,并以結(jié)點(diǎn)將梁劃分為n+1段。每個(gè)梁單元的抗彎剛度、寬度及對應(yīng)的基床系數(shù)可以不等,并分別定義為EIi、bi和ki。因此,除了結(jié)點(diǎn),梁單元在自身長度范圍內(nèi)不受集中力和集中力偶作用。如果某段梁上的分布荷載不是線性的,則可以將其劃分為若干梁單元,并使每一單元上的分布荷載可以近似地線性表示。因此,對于非線性分布荷載,單元?jiǎng)澐种恍枰晕⒓?xì)一些,以滿足單元荷載線性的要求,而無需進(jìn)行其他特殊處理。在荷載和地基反力共同作用下,梁單元的變形曲線可表示為EΙid2widx2=-Μi?(3)連續(xù)2次求導(dǎo),可得到EΙid4widx4=-bipi+qi?(4)或d4widx4+4λ4iwi=qi/EΙi?(5)其中:λi=4√kibi4EΙi為柔度特征值。因此,梁單元的變形曲線可以用式(6)表示,即～wi=eλix(ai1cosλix+ai2sinλix)+e-λix(ai3cosλix+ai4sinλix)+qikibi。(6)如果梁單元范圍內(nèi)沒有分布荷載作用,則梁單元的變形曲線為wi=eλix(ai1cosλix+ai2sinλix)+e-λix(ai3cosλix+ai4sinλix)。(7)因此,式(6)可以寫為～wi=wi+qikibi。(8)所以,梁單元的總變形在形式上可以表示為兩部分之和:第一部分為梁單元的彎曲變形部分,即在單元端力、端力偶和地基反力作用下的彎曲變形部分,第二部分為單元范圍內(nèi)作用分布荷載時(shí)產(chǎn)生的剛體平動(dòng)變形。當(dāng)然這兩部分變形是耦合的。這里,aij為4個(gè)待定系數(shù),j=1、2、3、4。根據(jù)連續(xù)性條件,第i梁單元(長度范圍內(nèi)有qi作用)和第i+1梁單元(長度范圍內(nèi)有qi+1作用)在結(jié)點(diǎn)處,即在x=li處,應(yīng)同時(shí)滿足變形w、轉(zhuǎn)角θ、集中力偶M和剪力V共4個(gè)協(xié)調(diào)條件,即～wi=～wi+1或wi+qikibi=wi+1+qi+1ki+1bi+1?(9)dwidx=dwi+1dx?(10)EΙid2widx2=EΙi+1d2wi+1dx2+Μi?(11)EΙid3widx3=EΙi+1d3wi+1dx3-Ρi?(12)在地基梁左端,即第一個(gè)梁單元左端,彎矩和剪力均為0,所以在x=0處,式(8)的二階和三階導(dǎo)數(shù)均為0,即eλ1x(-a11sinλ1x+a12cosλ1x)+e-λ1x(a13sinλ1x-a14cosλ1x)=0?eλ1x[-a11(sinλ1x+cosλ1x)+a12(cosλ1x-sinλ1x)]+e-λ1x[a13(cosλ1x-sinλ1x)+a14(cosλ1x+sinλ1x)]=0。}(13)由式(13)進(jìn)一步可以得到a12-a14=0?-a11+a12+a13+a14=0。}(14)在地基梁右端,彎矩和剪力也為0。所以,在x=l處,式(8)的二階和三階導(dǎo)數(shù)也等于0,即eλn+1l[-an+1,1(sinλn+1l+cosλn+1l)+an+1,2(cosλn+1l-sinλn+1l)]+e-λn+1l[an+1,3(cosλn+1l-sinλn+1l)+an+1,4(cosλn+1l+sinλn+1l)]=0?eλn+1l(-an+1,1cosλn+1l-an+1,2sinλn+1l)-e-λn+1l(an+1,3cosλn+1l+an+1,4sinλn+1l)=0。}(15)為方便表達(dá),定義4個(gè)函數(shù):αi=eλixcosλix、βi=eλixsinλix、ξi=e-λixcosλix和ζi=e-λixsinλix。αil、αir,βil、βir,ξil、ξir和ζil、ζir分別為這4個(gè)函數(shù)在第i梁單元左端截面和右端截面的數(shù)值;α′il、α′ir,β′il、β′ir,ξ′il、ξ′ir和ζ′il、ζ′ir分別為梁單元左端截面和右端截面的一階導(dǎo)數(shù);類似地,可以定義這4個(gè)函數(shù)的二階和三階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)梁單元確定后,與之對應(yīng)的αi、βi、ξi和ζi以及它們的一階、二階和三階導(dǎo)數(shù)可以計(jì)算得到。因此,將邊界條件式(14),協(xié)調(diào)方程式(9)～(12),邊界條件式(15)寫在一起得到ΓΗ=E(16)其中:Γ為(4n+4)×(4n+4)方陣,H和E為(4n+4)列向量,并有Γ=(-～Δ12～0～0?～0～0～0Δ11-Δ220?0000Δ21-Δ32?000??????00?Δi1-Δi+1,2?0???????000?0Δn1-Δn+1,2～0～0～0?～0～0～Δn+1,1)?(17)Η=(a11a12a13a14a21a22a23a24?ai1ai2ai3ai4?an+1,1an+1,2an+1,3an+1,4)Τ?(18)E=(00e11e12e13e14e21e22e23e24?ei1ei2ei3ei4?en1en2en3en400)Τ?(19)其中:eij由分布荷載qi確定,且ei1、ei2、ei3和ei4分別是qi/(kibi)和它的一階、二階、三階導(dǎo)數(shù)。由于qi沿梁長線性分布,所以ei3和ei4均為0。在式(17)中,～Δ12、～Δn+1,1和～0為2×4階矩陣,即～Δ12=(a″12β″12ξ″12ζ″12a?12β?12ξ?12ζ?12)=(010-1-1111),(20)～Δn+1,1=(a″n+1,1β″n+1,1ξ″n+1,1ζ″n+1,1a?n+1,1β?n+1,1ξ?n+1,1ζ?n+1,1),(21)并且有a″n+1,1=-eλn+1l(sinλn+1l+cosλn+1l)?β″n+1,1=eλn+1l(cosλn+1l-sinλn+1l)?ξ″n+1,1=e-λn+1l(cosλn+1l-sinλn+1l)?ζ″n+1,1=e-λn+1l(cosλn+1l+sinλn+1l)?a?n+1,1=-eλn+1lcosλn+1l?β?n+1,1=-eλn+1lsinλn+1l?ξ?n+1,1=e-λn+1lcosλn+1l?ζ?n+1,1=e-λn+1lsinλn+1l。}(22)另外,式(17)中的0為4×4階方陣。Δi1和Δ(i+1)2分別為梁單元i右端截面和梁單元i+1左端截面的變形矩陣,即Δi1=(ai1βi1ξi1ζi1a′i1β′i1ξ′i1ζ′i1a″i1β″i1ξ″i1ζ″i1a?i1β?i1ξ?i1ζ?i1),(23)Δi+1,2=(a(i+1)2β(i+1)2ξ(i+1)2ζ(i+1)2a′(i+1)2β′(i+1)2ξ′(i+1)2ζ′(i+1)2a″(i+1)2β″(i+1)2ξ″(i+1)2ζ″(i+1)2a?(i+1)2β?(i+1)2ξ?(i+1)2ζ?(i+1)2)。(24)解方程組(16)可以得到aij,將其代入到式(8),則得到梁的變形表達(dá)式,對變形方程求一階導(dǎo)數(shù)可以得到轉(zhuǎn)角表達(dá)式;求二階、三階導(dǎo)數(shù)并乘以EI后,可以得到彎矩和剪力表達(dá)式。2關(guān)于救濟(jì)基床系數(shù)k某梁寬2m,長20m,擱置在Winkler地基上,如圖2所示?；蚕禂?shù)k=4.199MN/m3。分4種情況給出不同條件下的計(jì)算結(jié)果,以驗(yàn)證本文方法的正確性。2.1無限長梁hezey解抗彎剛度EI=2×109Pa·m4且沿梁長不變,集中力P=1MN,當(dāng)P作用在梁長0、2、4、6、8、10m(跨中)等不同位置時(shí),梁的變形w和彎矩M分別如圖3中的曲線1、2、3、4、5、6所示。此梁的柔度特征值λ=0.18,所以λl=3.6>π,按照Winkler地基梁的經(jīng)典解答,屬于無限長梁問題。其Hetenyi解的變形曲線和彎矩曲線如圖3中的曲線7所示?？梢?即使對于跨中作用有集中荷載這一特殊情況,Hetenyi無限長梁解答仍不能完全滿足梁兩端彎矩為0這一邊界條件,而本文方法則能完全滿足。2.2heheniii—兩個(gè)集中力作用抗彎剛度EI=2GPa·m4且沿梁長不變。集中力P1=1MN,當(dāng)依次作用在0、4、8、12、16、20m等不同位置,集中力P2=0.5MN,作用在16m處時(shí),根據(jù)本法計(jì)算得到的w和M分布,如圖4中的曲線1～6所示。另外,采用基于疊加原理的Hetenyi有限長梁解法對本題進(jìn)行了計(jì)算,結(jié)果二者基本一致(圖中細(xì)線所示,部分放大后可以看到細(xì)線)。這進(jìn)一步說明,采用疊加原理的Hetenyi法是本法在常剛度、?；蚕禂?shù)、僅有集中荷載作用下的特殊情況。2.3梁長不同位置的w、和m分布抗彎剛度EI=2GPa·m4且沿梁長不變。集中力P1=1MN,作用在16m處;集中力偶M=0.5MN·m,當(dāng)依次作用在梁長0、4、8、12、16、20m等不同位置時(shí),w、θ、M和V分布如圖5中的曲線1～6所示。由圖5(c)(d)可見,本文給出的方法能完全滿足彎矩和剪力邊界條件和任一點(diǎn)的連續(xù)性條件,包括集中荷載作用位置的連續(xù)性條件。2.4患者三種剛度下的變形梁由三段組成,長度分別為4、12、4m,抗彎剛度分別為EI1、EI2和EI3。集中荷載P1=1MN,作用在4m處;集中荷載P2=0.5MN,作用在16m處;M=0.5MN·m,也作用在16m處;分布荷載p=60kN/m,作用在4～16m長度范圍內(nèi)。當(dāng)三段梁的剛度(EI1、EI2、EI3)分別為(1EI、1EI、1EI),(1EI、2EI、3EI),(2EI、1EI、2EI),(1EI、2EI、1EI)和(3EI、2EI、1EI)時(shí),梁的變形曲線w、轉(zhuǎn)角θ、彎矩M和剪力V分別如圖6中的5條曲線所示。這里EI=2GPa·m4。由圖6可以看出,梁剛度的變化對變形、彎矩和剪力的影響較小,而對轉(zhuǎn)角的影響較大。因此,改變Winkler地基梁的剛度,對沉降和內(nèi)力分布不會產(chǎn)生較大