基于結(jié)構(gòu)動(dòng)能的動(dòng)態(tài)載荷等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化方法

在真實(shí)的物理世界中，大多數(shù)結(jié)構(gòu)都是在動(dòng)態(tài)負(fù)荷的作用下工作的。由于動(dòng)態(tài)響應(yīng)計(jì)算的復(fù)雜性和高耗時(shí)，結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)難以實(shí)施。韓國科學(xué)家g.j.公園總結(jié)并發(fā)展了基于有限模型的位移的動(dòng)態(tài)載荷等效方法。致動(dòng)函數(shù)。在基于等效場條件的情況下，動(dòng)態(tài)載荷對應(yīng)于靜態(tài)載荷。等效原理是結(jié)構(gòu)等效前后的位移場是相同的。提出基于等效補(bǔ)償變換方法的應(yīng)用，并將位移補(bǔ)償?shù)膭?dòng)態(tài)響應(yīng)優(yōu)化進(jìn)行。在G.J.Park文獻(xiàn)中,雖然說明了靜態(tài)載荷等效的關(guān)鍵時(shí)間點(diǎn),即位移最大時(shí)間點(diǎn)作為等效載荷轉(zhuǎn)化的時(shí)間點(diǎn),然而結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷的作用下,最大位移點(diǎn)與最大應(yīng)力點(diǎn)有一個(gè)時(shí)間差;另外,結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷的作用下,除了在動(dòng)態(tài)力作用方向位移比較大之外,其他方向都有位移,如果只關(guān)心發(fā)生最大位移的方向而不考慮其他方向,從一定意義上來說不合理;如果只考慮應(yīng)力也不合理.總之,采用應(yīng)力等效存在以下不足:①最大應(yīng)力僅僅說明結(jié)構(gòu)的局部受力狀況,不能反映應(yīng)力的分布情況;②由于動(dòng)態(tài)分析采用有限元法計(jì)算,而結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力與單元類型及單元尺寸有關(guān),尤其在應(yīng)力集中的局部位置,由于應(yīng)力變化比較大,因此單元類型與尺寸對其影響非常大;③大量計(jì)算表明,一個(gè)結(jié)構(gòu)在不同的單元類型與尺寸下獲得的最大應(yīng)力值差別非常明顯.同理,采用位移等效方法也存在類似的問題.因此本文提出基于結(jié)構(gòu)勢能動(dòng)態(tài)載荷等效方法.1應(yīng)力剛度變化結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷作用下,若忽略結(jié)構(gòu)阻尼,能量滿足如下關(guān)系:式中:為動(dòng)能;為結(jié)構(gòu)勢能(其中為體積應(yīng)變能,為應(yīng)力剛度能,也稱為外力勢能;為外力功;S為應(yīng)力剛度矩陣或應(yīng)力剛化矩陣(stressstiffnessmatrix);U為位移向量;為速度向量;M為質(zhì)量矩陣;K為剛度矩陣;F(t)為動(dòng)態(tài)載荷;u(t)為結(jié)構(gòu)在力方向的位移.由于結(jié)構(gòu)線性振動(dòng)時(shí),動(dòng)能比較小,因此將式(1)近似為2動(dòng)態(tài)載荷作用下的關(guān)鍵點(diǎn)識(shí)別Courant1943年的工作就體現(xiàn)了有限元法的思想,1960年Clough第一次提出了有限元法的概念.有限元法為計(jì)算分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題提供了較為有效的方法,然而,結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析過程非常復(fù)雜且耗時(shí)較大.因此,為有效解決動(dòng)態(tài)響應(yīng)優(yōu)化問題,考慮用靜態(tài)載荷等效代替動(dòng)態(tài)載荷,關(guān)鍵問題是首先要確定在哪個(gè)時(shí)刻進(jìn)行等效,即在動(dòng)態(tài)載荷作用下結(jié)構(gòu)關(guān)鍵點(diǎn)的識(shí)別.關(guān)鍵點(diǎn)是指動(dòng)態(tài)載荷作用下的結(jié)構(gòu)最危險(xiǎn)的時(shí)刻.一直以來,學(xué)術(shù)界普遍認(rèn)為關(guān)鍵點(diǎn)即結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷作用下,結(jié)構(gòu)位移絕對值最大的時(shí)刻,或者部分研究中將動(dòng)態(tài)載荷最大的時(shí)刻作為關(guān)鍵點(diǎn).作者在前期的研究中發(fā)現(xiàn),結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷作用下位移達(dá)到最大值的時(shí)刻與應(yīng)力達(dá)到最大值的時(shí)刻有一個(gè)時(shí)間差,另一方面,動(dòng)態(tài)載荷最大的時(shí)刻,結(jié)構(gòu)位移與應(yīng)力都遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到最大值,因此不論以位移絕對值最大或者動(dòng)態(tài)載荷最大的時(shí)刻作為關(guān)鍵點(diǎn)都不合適.因此,作者提出基于動(dòng)態(tài)應(yīng)力解空間譜元離散的關(guān)鍵點(diǎn)識(shí)別方法,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行動(dòng)態(tài)載荷等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化.3結(jié)構(gòu)的模態(tài)疊加法求解結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷作用下,基于結(jié)構(gòu)勢能進(jìn)行動(dòng)態(tài)載荷等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化方法如下.步驟1建立有限元模型.運(yùn)動(dòng)微分方程為式中:M=ΦmTΦ,C=ΦTcΦ,K=ΦTkΦ,F=ΦTf(t),q為模態(tài)位移向量;為模態(tài)加速度向量;為模態(tài)速度向量;f(t)為時(shí)間的任意函數(shù);Φ為模態(tài)矩陣;m為質(zhì)量系數(shù);c為阻尼系數(shù);k為剛度系數(shù).在本文中假設(shè)c=0.步驟2瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析.采用模態(tài)疊加法.先求解式(3),獲得q,然后得到結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移x=qΦ,再由公式σk(t)=DBkqkΦ獲得第k階模態(tài)應(yīng)力,通過公式得到結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)應(yīng)力.步驟3識(shí)別關(guān)鍵時(shí)間點(diǎn).獲得結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)應(yīng)力解空間,將其在高斯—勒讓德-羅巴托點(diǎn)譜元離散,構(gòu)造時(shí)間點(diǎn)與其對應(yīng)的動(dòng)態(tài)應(yīng)力解空間矩陣,應(yīng)用Lagrange插值,得到高精度的近似函數(shù),最后識(shí)別關(guān)鍵時(shí)間點(diǎn).關(guān)鍵時(shí)間點(diǎn)識(shí)別的數(shù)學(xué)模型:式中:m為解空間離散的單元數(shù);k為每一個(gè)單元離散GLL點(diǎn)數(shù);σi(tk)為第i個(gè)單元的第k個(gè)GLL點(diǎn)對應(yīng)的動(dòng)態(tài)應(yīng)力;t0為仿真開始時(shí)間,通常為0;t1為仿真結(jié)束時(shí)間.步驟4計(jì)算關(guān)鍵時(shí)間點(diǎn)對應(yīng)的結(jié)構(gòu)位移分布、結(jié)構(gòu)勢能.根據(jù)步驟③中得到的關(guān)鍵時(shí)間點(diǎn),通過公式(1)計(jì)算結(jié)構(gòu)在這一點(diǎn)的結(jié)構(gòu)勢能及位移分布.步驟5建立結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)載荷等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型式中:式中:為靜態(tài)力作用下整體結(jié)構(gòu)勢能;為動(dòng)態(tài)力作用下整體結(jié)構(gòu)勢能;為靜態(tài)力作用下某單元結(jié)構(gòu)勢能;為動(dòng)態(tài)力作用下某單元結(jié)構(gòu)勢能.步驟6求解.由于結(jié)構(gòu)等效載荷是未知的,其特性極為復(fù)雜,一般為非線性多峰值函數(shù),因此采用全局優(yōu)化算法——區(qū)域細(xì)分算法(DIRECT)進(jìn)行搜索結(jié)構(gòu)等效靜態(tài)載荷.4方法應(yīng)用4.11密度和結(jié)構(gòu)試驗(yàn)本算例的動(dòng)態(tài)載荷為常數(shù),結(jié)構(gòu)彈性模量為69GPa,密度為2710kg/m3,截面積為1.94×10m-42,泊松比為0.3,結(jié)構(gòu)及載荷如圖1所示.4.1.1譜元離散插值的識(shí)別結(jié)果基于前面的關(guān)鍵點(diǎn)識(shí)別方法進(jìn)行該桁架結(jié)構(gòu)的時(shí)間關(guān)鍵點(diǎn)識(shí)別,圖2為采用基于應(yīng)力的譜元離散插值的關(guān)鍵點(diǎn)識(shí)別方法獲得的識(shí)別結(jié)果.其中有2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),可以看出0.0339674360025471s時(shí)刻應(yīng)力最大,達(dá)到一9811639.20871022Pa,見表1.4.1.2等式中的等效負(fù)荷轉(zhuǎn)換表2為本文方法獲得10桿桁架結(jié)構(gòu)等效靜態(tài)載荷與文獻(xiàn)方法獲得的等效靜態(tài)載荷.4.1.3結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移對比通過本文方法對10桿桁架結(jié)構(gòu)等效轉(zhuǎn)化,獲得了表3的結(jié)果.從表3中,可以看出本文方法比文獻(xiàn)方法更加合理,因?yàn)楸疚姆椒ǐ@得的結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移最大相差2.7%,而文獻(xiàn)方法相差9.440%;特別是文獻(xiàn)中沒有考慮結(jié)構(gòu)勢能的變化,而本文兼顧了位移與結(jié)構(gòu)勢能,結(jié)果很明顯,本文方法獲得的結(jié)構(gòu)勢能與動(dòng)態(tài)作用下相差1.293%,而文獻(xiàn)方法相差13.839%.4.21節(jié)點(diǎn)等效靜態(tài)載荷為增加對比性,本算例采用與文獻(xiàn)中相同的算例.如圖3所示,該桁架結(jié)構(gòu)有49個(gè)鉸鏈,94個(gè)自由度,彈性模量E=207GPa,泊松比γ=0.3,密度ρ=7850kg/m3,桿的截面積0.645×10-4m2.動(dòng)態(tài)載荷為半正弦函數(shù).在節(jié)點(diǎn)1,20,19,18,17,16,15的x正方向作用同樣大的動(dòng)態(tài)載荷,在節(jié)點(diǎn)1,2,3,4,5的y負(fù)方向也作用同樣大的動(dòng)態(tài)載荷.表4為應(yīng)用基于應(yīng)力的譜元離散插值的關(guān)鍵點(diǎn)識(shí)別方法獲得的4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),其中0.106521572s時(shí)應(yīng)力最大,達(dá)到122611099.4Pa,如圖4所示,表5為本文方法獲得124桿桁架結(jié)構(gòu)等效靜態(tài)載荷與文獻(xiàn)方法獲得的等效靜態(tài)載荷.從其中可以看出,靜態(tài)載荷的作用方向除了與動(dòng)態(tài)載荷方向一致之外,還有與動(dòng)態(tài)載荷方向相反的靜態(tài)載荷.這就說明傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)因子法不合適,其僅僅用與動(dòng)態(tài)載荷方向一致的最大幅值乘以一個(gè)系數(shù).表6是應(yīng)用本文方法獲得等效靜態(tài)載荷,并與文獻(xiàn)的方法進(jìn)行比較,可以看出本文方法的優(yōu)勢.本文方法及文獻(xiàn)中結(jié)構(gòu)勢能分別為3593.83,3888.91J.本文方法x方向的位移與動(dòng)態(tài)載荷作用下最大相差2.18%,y方向的位移與動(dòng)態(tài)載荷作用下最大相差4.7%,結(jié)構(gòu)勢能相差1.120%;而文獻(xiàn)方法x方向的位移與動(dòng)態(tài)載荷作用下最大相差6.75%,y方向的位移與動(dòng)態(tài)載荷作用下最大相差13.2%,結(jié)構(gòu)勢能相差9.423%.4.3等效靜態(tài)載荷法與動(dòng)態(tài)因子法的對比如圖5所示,均勻分布力與集中力共同作用的平面桁架結(jié)構(gòu).彈性模量E=207GPa,密度ρ=7850kg/m3,豎直桿橫截面積為0.03m2,水平桿橫截面積為0.0068m3.半正弦均勻分布力F1(t)作用在水平桿上,半正弦集中力F2(t)作用在節(jié)點(diǎn)2和3處.通過關(guān)鍵識(shí)別得到:關(guān)鍵時(shí)間點(diǎn)為0.021303560s,應(yīng)力為49015597.27Pa,見表7及圖6.將動(dòng)態(tài)力作用的點(diǎn)作為靜態(tài)力的作用點(diǎn),這樣就有44個(gè)靜態(tài)力,并將這些點(diǎn)的與靜態(tài)力作用方向一致的位移作為約束,再加上結(jié)構(gòu)勢能相等的約束,求解結(jié)果是等效靜態(tài)力作用下的結(jié)構(gòu)勢能為1464.35J,動(dòng)態(tài)力作用下為1461.59J,位移場最大相差0.001m.等效靜態(tài)載荷為圖7所示,從圖中進(jìn)一步說明了等效靜態(tài)載荷法比動(dòng)態(tài)因子法更加合理.5結(jié)構(gòu)試驗(yàn)結(jié)果分析從結(jié)構(gòu)勢能的角度出發(fā),建立數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用區(qū)域細(xì)分算法獲得等效靜態(tài)載荷.如果僅僅從應(yīng)力、位移角度出發(fā)進(jìn)行等效轉(zhuǎn)化,無論從應(yīng)力還是位移的角度,都具有一定的片面性,都沒有綜合考慮應(yīng)力和位移,基于這一背景下,本文研究基于結(jié)構(gòu)勢能的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)載荷等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化方法,獲得如下結(jié)論:①本文研究的前提是彈性結(jié)構(gòu)及忽略結(jié)構(gòu)阻尼,本文方法能夠綜合體現(xiàn)等效轉(zhuǎn)化時(shí)各個(gè)物理量的影響.結(jié)構(gòu)勢能不僅可以反映應(yīng)力、應(yīng)變的影響因素,而且反