自由阻尼懸臂梁的振動頻率分析

由于結(jié)構(gòu)簡單、應(yīng)用方便、經(jīng)濟，自由衰減懸臂梁被廣泛應(yīng)用于減少振動和噪聲結(jié)構(gòu)的工程領(lǐng)域。關(guān)于靜氣理論和實驗分析的結(jié)果表明，許多關(guān)于靜氣模型的方程和實驗分析的成果很少。在本研究中，基于漢分原理，我們計算了自由衰減梁的控制方程，然后根據(jù)模型疊加法和虛擬功原理，在集中力突然崩潰的情況下，自由衰減梁的動態(tài)反應(yīng)方程的分析解。1自由阻尼懸臂梁的數(shù)值模型采用直角坐標系,X軸通過復(fù)合結(jié)構(gòu)的中性軸.圖1為自由阻尼懸臂梁的結(jié)構(gòu)圖.根據(jù)文獻可知,自由阻尼懸臂梁中性軸到基層形心軸的距離d=Evh2(h2+h1)/[2(Evh2+Eeh1)]?式中:Ev為阻尼層材料的彈性模量;Ee為基層材料的彈性模量.將自由阻尼懸臂梁結(jié)構(gòu)橫向位移近似的用彈性懸臂梁模態(tài)展開,w(x,t)=n∑i=1fi(t)Χi(x)?(1)式中懸臂梁橫向位移各階模態(tài)函數(shù)Χi(x)=cosh(kix)-cos(kix)-αi(sinh(kix)-sin(kix)),其中:ki為系數(shù),x為X軸上的長度變量,αi=cos(kiL)+cosh(kiL)sin(kiL)+sinh(kiL),k1L=1.875,k2L=4.694,k3L=7.854,kiL=(i-0.5)π(i=4,5??).阻尼層采用復(fù)常數(shù)模型,運用漢密爾頓原理推導(dǎo)出自由阻尼懸臂梁的控制方程.自由阻尼懸臂梁的應(yīng)變能ˉU=12E1Ι1∫L0(?2w?x2)2dx+12E2Ι2∫L0(?2w?x2)2dx?(2)式中:E1為基層的彈性模量;I1為基層對復(fù)合結(jié)構(gòu)中性軸的截面慣性矩;I2為阻尼層對復(fù)合結(jié)構(gòu)中性軸的截面慣性矩;E2=Ev(1+iηv),ηv為阻尼層的損耗因子.自由阻尼懸臂梁的動能ˉV=12ρ1A1∫L0(?w?t)2dx+12ρ2A2∫L0(?w?t)2dx?(3)式中:ρ1為基層的密度;A1為基層的截面面積;ρ2為阻尼層的密度;A2為阻尼層的截面面積.把式(1)代入式(2)和式(3),可得{ˉU=12(E1Ι1+E2Ι2)n∑i=1n∑j=1Κijfi(t)fj(t)；ˉV=12(ρ1A1+ρ2A2)n∑i=1n∑j=1Μij˙fi(t)˙fj(t)?(4)式中:Kij=∫L0Χ″i(x)Χ″j(x)dx;Mij=∫L0Χi(x)·Χj(x)dx.是梁的拉格朗日函數(shù),ˉL=ˉV-ˉU.拉格朗日方程為ddt(?ˉL?˙fi)-(?ˉL?fi)=0.(5)把式(4)代入式(5),得到自由阻尼懸臂梁的控制方程¨fi(t)+ω2ifi(t)=0?(6)式中ω2i=(E1I1+E2I2)Kii/[(ρ1A1+ρ2A2)Mii]為梁的各階固有頻率,顯然自由阻尼懸臂梁的ωi為虛數(shù).定義自由阻尼懸臂梁的頻率ω=√Re(ω2i).2初始位移響應(yīng)在自由阻尼懸臂梁的自由端作用一個集中力P0,當P0突然撤掉時,計算其響應(yīng).當懸臂梁自由端作用一個集中力P0時,用模態(tài)疊加方法模擬梁的初始撓度曲線函數(shù),梁的初始撓度曲線為w0(x)=n∑i=1biΧi(x).(7)此時自由阻尼懸臂梁處于彎曲位置時應(yīng)變能U=12(E1Ι1+E2Ι2)∫L0(?2w0?x2)2dx=12(E1Ι1+E2Ι2)n∑i=1b2iΚii.(8)考慮虛位移δbiΧi(x),根據(jù)虛位移原理可得Ρ0δbiΧi1=(?U/?bi)δbi,(9)式中Χi1表示x=x1處計算的Χi的值.把式(8)代入式(9)得bi=Ρ0Χi1/[(E1Ι1+E2Ι2)Κii].(10)假設(shè)梁有初始位移的自由振動的響應(yīng)wj(x)=n∑j=1AjΧj(x)exp[i(ωjt+φj)]?(11)式中Aj為未知系數(shù).再利用初始條件可得wj(x)=n∑j=1e-ηωjt/2bj[cos(ωjt)-η2sin(ωjt)].3尼層材料參數(shù)對自由振動頻率的影響計算自由阻尼懸臂板在集中力P0=10N突然撤掉時梁的響應(yīng).梁的長度L=0.4m,寬度b=0.03m.彈性層材料為鋁板,其材料參數(shù)為h1=0.004m,E1=7.1GPa,ρ1=2700kg/m3.阻尼層材料參數(shù)為:ρ2=1200kg/m3,G2=0.869MPa,泊松比μ2=0.4,ηv=0.8,h2=0.004m.其模態(tài)自由振動的頻率分別為:一階模態(tài)時34.45Hz;二階模態(tài)時215.02Hz;三階模態(tài)時602.11Hz;四階模態(tài)時1179.9Hz.利用此方法分別計算了在t=0時刻突然撤去P0時,彈性懸臂梁和自由阻尼懸臂梁的瞬態(tài)響應(yīng),結(jié)果分別見圖2和圖3.從圖2可以看出,理想的彈性懸臂梁的響應(yīng)具有明顯的周期性,