第三節(jié)平均指標(biāo)

1.概念

平均指標(biāo)是指在同質(zhì)總體內(nèi)將各單位某一數(shù)量標(biāo)志的差異抽象化，用以反映總體在具體條件下的一般水平。

一、平均指標(biāo)的意義和作用

數(shù)據(jù)集中區(qū)變量x

-比較作用

a.同類現(xiàn)象在不同空間的對比。

b.同一總體在不同時間上的比較。

2.作用

-比較作用

a.同類現(xiàn)象在不同空間的對比。

b.同一總體在不同時間上的比較。

-利用平均指標(biāo)可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系

-利用平均指標(biāo)可以進行數(shù)量上的推算，還可以作為論斷事物的一種數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)或參考3.種類

算術(shù)平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù) 眾數(shù)

位置平均數(shù)

中位數(shù)1.算術(shù)平均數(shù)的基本公式二、算術(shù)平均數(shù)

式中：——

算術(shù)平均數(shù)

X——

各單位的標(biāo)志值

n——

總體單位數(shù)

——

總和符號2.簡單算術(shù)平均數(shù)式中：——

算術(shù)平均數(shù)

X——

各組數(shù)值

f——

各組數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)(即權(quán)數(shù))3.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)設(shè)某廠職工按日產(chǎn)量分組后所得組距數(shù)列如下，據(jù)此求平均日產(chǎn)量。按日產(chǎn)量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)Xf60以下551055060–706519123570–807550375080–908536306090–10095272565100–110105141470110以上1158920合計-16413550例在掌握比重權(quán)數(shù)的情況下，可以直接利用權(quán)數(shù)系數(shù)來求加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，其公式為：按日產(chǎn)量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)ff/∑f

60以下55100.063.360–7065190.127.870–8075500.3022.580–9085360.2218.790–10095270.1615.2100–110105140.099.45110以上11580.055.75合計-1641.0082.7加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩因素的影響：

變量值大小的影響。次數(shù)多少的影響。

而簡單算術(shù)平均數(shù)只反映變量值大小這一因素的影響。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與簡單算術(shù)平均數(shù)不同在于：△算術(shù)平均數(shù)的特點算術(shù)平均數(shù)適合用代數(shù)方法運算，因此運用比較廣泛；易受極端變量值的影響，使的代表性變??；受極大值的影響大于受極小值的影響；當(dāng)組距數(shù)列為開口組時，由于組中點不易確定，使的代表性也不很可靠。

調(diào)和平均數(shù)是各個變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。三、調(diào)和平均數(shù)(又稱“倒數(shù)平均數(shù)”)

某商品在三個集市貿(mào)易市場上的平均價格及銷售額資料如下：市場平均價格(元)銷售額(元)甲1.0030000乙1.5030000丙1.4035000合計-95000求總平均價格其計算方法如下：在社會經(jīng)濟統(tǒng)計學(xué)中經(jīng)常用到的僅是一種特定權(quán)數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。即有以下數(shù)學(xué)關(guān)系式成立：m是一種特定權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，而是各組標(biāo)志值總量。已知某商品在三個集市貿(mào)易市場上的平均價格及銷售額資料如下：市場平均價格(元)X銷售額(元)m=Xf銷售額(元)÷平均價格(元)(即銷售量)

甲1.003000030000乙1.503000020000丙1.403500025000合計-95000750001.由平均數(shù)計算平均數(shù)時調(diào)和平均數(shù)法的應(yīng)用：例某公司有四個工廠，已知其計劃完成程度(%)及實際產(chǎn)值資料如下：工廠計劃完成程度(%)X實際產(chǎn)值(萬元)m=Xf實際產(chǎn)值÷計劃完成程度(%)(即計劃產(chǎn)值)(萬元)

甲9090100乙100200200丙110330300丁120480400合計-1,1001,0002.由相對數(shù)計算平均數(shù)時調(diào)和平均數(shù)法的應(yīng)用：例△調(diào)和平均數(shù)的特點如果數(shù)列中有一標(biāo)志值等于零，則無法計算；較之算術(shù)平均數(shù)，受極端值的影響要小。1.簡單幾何平均數(shù)四、幾何平均數(shù)(又稱“對數(shù)平均數(shù)”)它適用于反映特定現(xiàn)象的平均水平，即現(xiàn)象的總標(biāo)志值是各單位標(biāo)志值的連乘積。常用于求比率的平均數(shù)例

某機械廠有鑄造車間、機加工車間、裝配車間三個連續(xù)流水作業(yè)車間。本月份這三個車間產(chǎn)品合格率分別為95%、92%、90%，求平均車間產(chǎn)品合格率。解：這說明該廠車間產(chǎn)品平均合格率為92.31%2.加權(quán)幾何平均數(shù)例假定某地儲蓄年利率（按復(fù)利計算）：5%持續(xù)1.5年，3%持續(xù)2.5年，2.2%持續(xù)1年。請問此5年內(nèi)該地平均儲蓄年利率。該地平均儲蓄年利率：平均發(fā)展速度反映現(xiàn)象在一定時期內(nèi)逐期發(fā)展變化的一般程度，這個指標(biāo)在國民經(jīng)濟管理和統(tǒng)計分析中有廣泛的應(yīng)用，是編制和檢查計劃的重要依據(jù)。還可以用于一個國家或地區(qū)不同階段發(fā)展?fàn)顩r的比較，以及同一時期不同國家或地區(qū)發(fā)展?fàn)顩r的比較。主要用途：計算平均發(fā)展速度2000年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值為89404億元，2001年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值為95533億元，如果2000年選作基期，則2001的國內(nèi)生產(chǎn)總值與2000年的國內(nèi)生產(chǎn)總值對比，得出動態(tài)相對指標(biāo)為106.9%，它說明在2000年基礎(chǔ)上2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值的發(fā)展速度。

某地區(qū)國民生產(chǎn)總值GNP在1988~1989年平均每年遞增15%，1990~1992年平均遞增12%，1993~1997年平均每年遞增9%，試計算：該地區(qū)國民生產(chǎn)總值這十年平均發(fā)展速度及平均增長速度？10年發(fā)展速度：平均發(fā)展速度：平均增長速度：例△幾何平均數(shù)的特點如果數(shù)列中有一個標(biāo)志值等于零或負值，就無法計算；受極端值的影響較和??；

我們公司1/3人工資都是1100元。我的工資是1200元，在公司算中等收入。職員C職員D

該公司員工的月薪如下：員工經(jīng)理副經(jīng)理職員A職員B職員C職員D職員E職員F職員G月薪（元）60004000170013001200110011001100500中位數(shù)眾數(shù)1.概念：眾數(shù)是在總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個標(biāo)志值

五、眾數(shù)M0例：一家鞋店在一段時間內(nèi)銷售了某種女鞋30雙，各種尺碼鞋的銷售量如下表所示：

你能根據(jù)上面的數(shù)據(jù)為這家鞋店提供進貨建議嗎?

尺碼/厘米2222.52323.52424.525銷售量/雙12511731M0M0M0M0M0若有兩個次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復(fù)眾數(shù)。①只有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢時才存在眾數(shù)。眾數(shù)存在的條件：下三圖無眾數(shù)：②在單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時，

計算眾數(shù)是沒有意義的。①根據(jù)單項數(shù)列確定眾數(shù)；價格(元)銷售數(shù)量(千克)2.00202.40603.001404.0080合計300某種商品的價格情況眾數(shù)M0=3.00(元)2.眾數(shù)的計算方法例觀察次數(shù)②根據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)⑵利用比例插值法推算眾數(shù)的近似值。⑴由最多次數(shù)來確定眾數(shù)所在組；按日產(chǎn)量分組(千克)工人人數(shù)(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8表中70-80，即眾數(shù)所在組。例計算眾數(shù)的近似值：下限公式：上限公式：由下限公式，日產(chǎn)量眾數(shù)由上限公式，日產(chǎn)量眾數(shù)△眾數(shù)的特點

眾數(shù)是一個位置平均數(shù)，它只考慮總體分布中最頻繁出現(xiàn)的變量值，而不受各單位標(biāo)志值的影響，從而增強了對變量數(shù)列一般水平的代表性。不受極端值和開口組數(shù)列的影響。

眾數(shù)是一個不容易確定的平均指標(biāo)，當(dāng)分布數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數(shù)可言；當(dāng)變量數(shù)列是不等距分組時，眾數(shù)的位置也不好確定。①由未分組資料確定中位數(shù)2.中位數(shù)的計算方法1.概念：將總體中各單位標(biāo)志值按大小順序排列，居于中間位置的那個標(biāo)志值就是中位數(shù)。六、中位數(shù)Me⑴n為奇數(shù)時，則居于中間位置的那個標(biāo)志值

就是中位數(shù)。例⑵n為偶數(shù)時，則中間位置的兩個標(biāo)志值的算術(shù)

平均數(shù)為中位數(shù)。②由單項數(shù)列確定中位數(shù)某企業(yè)按日產(chǎn)零件分組如下：按日產(chǎn)零件分組（件）工人數(shù)（人）向上累計向下累計26338031101377321427673427545336187226418808合計80--例③由組距數(shù)列確定中位數(shù)

按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)向上累計向下累計50–60101016460–70192915470–80507913580–90361158590–1002714249100-1101415622110以上81648合計164--下限公式（向上累計時用）：上限公式（向下累計時用）：①中位數(shù)不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。②各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對值之和是個最小值。3.中位數(shù)的特點（一）三者的關(guān)系表示為：七、各種平均數(shù)之間的相互關(guān)系例f如圖：(二）三者的關(guān)系1.當(dāng)總體分布呈對稱狀態(tài)時，三者合而為一,如圖：fX2.

當(dāng)總體分布呈非對稱狀態(tài)時如圖：fX所以如果，則說明分布右偏（或上偏）如果，則說明分布左偏（或下偏）如果，則說明分布對稱一組工人的月收入眾數(shù)為700元，月收入的算術(shù)平均數(shù)為1000元，則月收入的中位數(shù)近似值是：例根據(jù)卡爾·皮爾遜經(jīng)驗公式，還可以推算出：1.平均指標(biāo)只能適用于同質(zhì)總體。2.用組平均數(shù)補充說明總平均數(shù)。八、平均指標(biāo)的運用原則

某生產(chǎn)小組基期有工人15人，報告期人數(shù)增加到30人，兩時期各技術(shù)等級的工人數(shù)和工資總額如下：級別基期報告期工人數(shù)(人)比重(%)工資總額(元)平均工資(元)工人數(shù)(人)比重(%)工資總額(元)平均工資(元)二級工213.310005001653.39600600四級工853.372009001033.3100001000七級工533.475001500413.468001700合計15100.015700104730100.026400880例某工業(yè)部門100個企業(yè)年度利潤計劃完成程度資料如下：按計劃完成程度分組(%)企業(yè)數(shù)85-89.9290-94.9895-99.910100-104.940105-109.930110-114.910合計100經(jīng)計算，100個企業(yè)年度平均利潤計劃完成程度為103.35％。3.用分配數(shù)列補充說明平均數(shù)例①標(biāo)志變動度是評價平均數(shù)代表性的依據(jù)。第四節(jié)標(biāo)志變動度2.作用：1.概念：標(biāo)志變動度是指總體中各單位標(biāo)志值差別大小的程度，又稱離散程度或離中程度。一、標(biāo)志變動度的意義、作用和種類

甲、乙兩學(xué)生某次考試成績列表語文數(shù)學(xué)物理化學(xué)政治英語甲959065707585乙1107095508075

甲、乙兩學(xué)生的平均成績?yōu)?0分，集中趨勢一樣，但是他們偏離平均數(shù)的程度卻不一樣。乙組數(shù)據(jù)的離散程度大，數(shù)據(jù)分布越分散，平均數(shù)的代表性就越差；甲組數(shù)據(jù)的離散程度小，數(shù)據(jù)分布越集中，平均數(shù)的代表性越大。例②標(biāo)志變動度可用來反映社會生產(chǎn)和其他社會經(jīng)濟活動過程的均衡性或協(xié)調(diào)性，以及產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定程度。

供貨計劃完成百分比(%)季度總供貨計劃執(zhí)行結(jié)果一月二月三月鋼廠甲100323434乙100203050例3.種類即測定標(biāo)志變動度的方法,主要有：全距、四分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)等。

全距 R四分位差 Q.D.平均差 A.D.標(biāo)準(zhǔn)差 S.D.(σ)離散系數(shù) Vσ①優(yōu)點：計算方便，易于理解。②缺點：全距只考慮數(shù)列兩端數(shù)值差異，它是測定標(biāo)志變動度的一種粗略方法，不能全面反映總體各單位標(biāo)志的變異程度。1.全距是總體各單位標(biāo)志值最大值和最小值之差,2.全距的特點二、全距R1.概念：將總體各單位的標(biāo)志值按大小順序排列，然后將數(shù)列分為四等分，形成三個分割點(Q1、Q2、Q3)，這三個分割點稱為四分位數(shù)，(其中第二個四分位數(shù)Q2就是數(shù)列的中位數(shù)Me)。

四分位差

Q.D.=Q3-Q1三、四分位差Q.D.①根據(jù)未分組資料求Q.D.2.計算：例②根據(jù)分組資料求Q.D.

2)若單項數(shù)列，則Q1與Q3所在組的標(biāo)志值就是Q1與Q3的數(shù)值；

若組距數(shù)列，確定了Q1與Q3所在組后，還要用以下公式求近似值：根據(jù)某車間工人日產(chǎn)零件分組資料，求Q.D.按日產(chǎn)零件分組(件)工人數(shù)(人)累計工人數(shù)(人)(較小制)5-10121210-15465815-20369420-256100合計100-例這表明有一半工人的日產(chǎn)量分布在11.41件至17.36件之間，且相差5.95件。①四分位差不受兩端各25%數(shù)值的影響，能對開口組數(shù)列的差異程度進行測定；②用四分位差可以衡量中位數(shù)的代表性高低；③四分位差不反映所有標(biāo)志值的差異程度，它所描述的只是次數(shù)分配中一半的離差，所以也是一個比較粗略的指標(biāo)。3.四分位差的特點

平均差是數(shù)列中各單位標(biāo)志值與平均數(shù)之間絕對離差的平均數(shù)。1.概念和計算：四、平均差A(yù).D.以某車間100個工人按日產(chǎn)量編成變量數(shù)列的資料：工人按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)f組中值XXf20-30525125-178530-4035351225-724540-5045452025313550-60155582513195合計100-4200-660例平均差是根據(jù)全部標(biāo)志值與平均數(shù)離差而計算出的變異指標(biāo)，能全面反映標(biāo)志值的差異程度。2.平均差的特點

標(biāo)準(zhǔn)差是離差平方平均數(shù)的平方根，故又稱“均方差”。1.概念和計算：五、標(biāo)準(zhǔn)差S.D.(σ)▼特點采用離差平方的方法消除正負離差，在數(shù)學(xué)處理上比平均差更為合理和優(yōu)越。對于同一資料，平均差一般小于標(biāo)準(zhǔn)差。未分組資料分組資料工人按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)f組中值X50-601055-27.627628.64460-701965-17.625898.823670-805075-7.622903.918480-9036852.38203.918490-100279512.384138.1388100-1101410522.387012.