第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)的概念1、導(dǎo)數(shù)定義或者可以進一步理解為是Δx或Δx的函數(shù)，當Δx→0時，→0，只要符合以上式子，它的極限值就是函數(shù)f(x)在點x0的導(dǎo)數(shù).如；2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)就是“斜率”.顧名思義，“斜率”就是“傾斜的程度”.函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，就是曲線y=f(x)在（x0，y0）處的切線斜率.3、函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo)，則它在x0處一定連續(xù)，即可導(dǎo)必連續(xù)；反之則不成立，即連續(xù)不一定可導(dǎo).二、求導(dǎo)法則和公式?jīng)]什么可說的，就像你記住“行人要走斑馬線”、“不要隨地吐痰”一樣，要把這些公式法則記得滾瓜爛熟、倒背如流.1、導(dǎo)數(shù)的基本公式和法則冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這個冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式英文名字叫：powerrule，很有氣勢吧.式子里的n可以是任何數(shù)字，既可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)，還可以是分數(shù)，甚至可以是π跟之類的無理數(shù).例如：；（這是一個特例）；；；；乘積的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第一個函數(shù).假設(shè)f(x)=g(x)=x，根據(jù)上面的法則，得到：符合前面冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.商的導(dǎo)數(shù)我們還想求這樣的分式的導(dǎo)數(shù)，其中f和g是兩個函數(shù).這個公式不大容易記住，需要你多看幾遍，分子的形式和乘積的導(dǎo)數(shù)類似，不過是減號，牢記在上面的函數(shù)優(yōu)先求導(dǎo)，分子由一個函數(shù)增加到4個，變沉了，那么分母需要增加一個g，才能抗得住，因此是g的平方.三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這兩個公式必須牢記，不得搞混，因為所有其他的三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，都可以從這兩個基本公式推導(dǎo)出來.對于這兩個公式，你可能不容易記住哪一個的前面有負號.我的建議是，你只要記住“正弦函數(shù)求導(dǎo)后還是正的”，那么意味著余弦函數(shù)求導(dǎo)后就要變號了.我們在用導(dǎo)數(shù)定義來證明上面這兩個導(dǎo)數(shù)公式時，需要用到下面的重要極限公式：現(xiàn)在好了，知道了這兩個三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，接下來就水到渠成了.例如因為這個正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，所以值得把它背下來：其他的三角函數(shù)似乎不需要去背，因為它們都很容易推導(dǎo)出來.正如余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)了負號，其他兩個以“余”開頭的三角函數(shù)，也就是余割及余切，求導(dǎo)后也要加負號.2、復(fù)合函數(shù)的鏈式求導(dǎo)法鏈式法則的目的是讓我們可以對那些由幾個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)進行求導(dǎo).要掌握這個規(guī)則，你首先需要知道兩點：一個是如何求導(dǎo)，另一個則是得知道如何把函數(shù)合成在一起.鏈式法則：我們來舉個例子：于是，現(xiàn)在我們要求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：所以就等于上面最后兩項的乘積：后面的尾巴“2x”是初學(xué)者經(jīng)常忘了寫的.再看一個例子：.這里，于是所以，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，歸根結(jié)底，它的真正難處是“分解”——找出函數(shù)的組成分子.例題：，求.題目所給函數(shù)是由幾個小零件湊起來的：先是取余弦，然后整團東西再取三次方，所以我們可以令：所以那么，怎么才能知道沒有拉下尾巴呢？答案很簡單，如果你看到還有“′”這個微分符號緊跟在括號后面，就表示還有待努力；一旦“′”全都緊跟在英文字母后頭，也就是函數(shù)符號后頭，就像這樣，就表示你已完成工作.我們把上面的題目各項分別計算出來：最后，三、高階導(dǎo)數(shù)只要求二階導(dǎo)數(shù)，對一階導(dǎo)函數(shù)再進行一次求導(dǎo)數(shù)，理解即可.四、微分函數(shù)y=f(x)在x可微與可導(dǎo)是等價的，可導(dǎo)即可微，可微即可導(dǎo)，且dy=f′(x)dx，給出一個函數(shù)，會給出微分表達式.求微分時，可以先求導(dǎo)數(shù)，即f′(x)=dy/dx，再乘以dx即可得到微分表達式dy=f′(x)dx.微分形式不變性：無論u是自變量還是中間變量，總有dy=f′(u)du.五、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性如果已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某處是個正數(shù)（用數(shù)學(xué)行話來說，即指在某個定值x，f′(x)>0），就表示通過該點的切線斜率為正，或函數(shù)圖像在該點的斜率為正，也就是該函數(shù)正在遞增.反過來說，如果導(dǎo)數(shù)在某處為負值，則表示該函數(shù)在遞減.從幾何意義上講，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖形上的切線的斜率，即為函數(shù)改變量y與自變量改變量x之比的極限（當x→0時），當導(dǎo)數(shù)為正時，說明y與x的符號相同，即如果x增加，函數(shù)y也增加，如果x減少，函數(shù)y也減少，所以曲線是上升的.同理，當導(dǎo)數(shù)為負時，說明曲線是下降的.極值要是函數(shù)在某個x值的導(dǎo)數(shù)既非正也非負，而是等于0呢？這表示該函數(shù)既不遞增，也不遞減，猶如停停留在一個平臺上.如果看看x的兩側(cè)之后，你會發(fā)現(xiàn)小可能是位于高點（如下圖的x1），也可能位于低點（如下圖x3），或者位于一個休息站或轉(zhuǎn)折點（如下圖的x2）.無論如何，經(jīng)過該點的切線一定是水平的.我們把導(dǎo)數(shù)等于0的那個點的x坐標，叫做“駐點”.我們把高點叫做函數(shù)的極大值，稱低點為該函數(shù)的極小值.如上圖中，函數(shù)f(x)在點x1和x4有極大值f(x1)和f(x4)，在點x3和x5有極小值f(x3)和f(x5).如果一個函數(shù)在各處都可導(dǎo)，那么在該函數(shù)的極大或極小值點：求函數(shù)極值的步驟為：

第一步：確定函數(shù)的定義域；

第二步：求出函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù)；

第三步：求出f(x)的所有駐點和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點x1，x2…，xk；

第四步：用這k個點將f(x)的定義域分成k+1個部分區(qū)間，考察各點的左邊區(qū)間和右邊區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)符號：

如果的符號由正變到負，則該點為極大值點（如下圖）；

如果的符號由負變到正，則該點為極小值點（如下圖）；

如果的符號由正變到正，或由負變到負，則該點不是極值點（如下面兩圖）；

第五步：求出極值.用二階導(dǎo)數(shù)檢測極值前面我們用的是一階導(dǎo)數(shù)來找出函數(shù)的極值，還有一個更快捷的辦法，可以很快得知某個點是極大還是極小.如果函數(shù)在x=a有f′(a)=0，且函數(shù)在該點有二階導(dǎo)數(shù)，則1、若f″(a)>0，則函數(shù)在x=a取極小值；2、若f″(a)<0，則函數(shù)在x=a取極大值.關(guān)鍵是怎么才能不搞混？很簡單，只要記住上面的兩個面具就行了！左邊的哭臉眼睛是兩個減號，代表f″(x)<0，二階導(dǎo)數(shù)為負，減當然要哭了，下彎的嘴就表示是極大值了，同理，右邊的眼睛是兩個加號，代表二階導(dǎo)數(shù)為正，上彎的嘴形就代表極小值.還有一種情況，就是f″(a)=0，二階導(dǎo)數(shù)判別法就無能為力了，這時我們就必須回到以前的老方法去了，用一階導(dǎo)數(shù)判別法判別了.凹凸性我們平時贊美一個女性身材好，常見的形容詞就是“凹凸有致”了，可是函數(shù)的圖像同樣也有凹凸性，這你知道嗎？那么我們怎么判斷呢？這就是二階導(dǎo)數(shù)f″(x)的工作和用途了.二階導(dǎo)數(shù)f″(x)是曲線切線斜率