hilmann不等式的權(quán)系數(shù)分析

0特殊函數(shù)的證明1991年，著名的數(shù)學(xué)家徐立之首次使用了這種權(quán)重系數(shù)法，并加強(qiáng)了hilbert等等長(zhǎng)維應(yīng)用研究。楊維誠(chéng)等人在一系列應(yīng)用研究中使用了等具體函數(shù)，以證明其最好，并改進(jìn)和改進(jìn)了該方法。在本研究中，我們提出了使用權(quán)函數(shù)方法和實(shí)踐分析技巧的最佳常數(shù)復(fù)合矩的等式，并考慮了等式中的等式，以證明常數(shù)因子是最佳的。在這項(xiàng)研究中，使用了以下特殊函數(shù)。Γ-函數(shù):由Leibnize審斂法易知,x>0時(shí),交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,記其和函數(shù)為S(x),即引理2設(shè),定義如下權(quán)函數(shù):其中,特別當(dāng)a=2m(m=1,2,…)為偶數(shù)時(shí),這里的Ek同引理1是歐勒(Euler)數(shù).證明令u=axy,有代入式(4)即得式(5).引理3設(shè)p>1,,a>0,0<ε<min{ap,aq},且ε充分小,定義如下函數(shù):則有因?yàn)閮?nèi)連續(xù),且,故存在M>0,使得,于是有1用定理2.2常值的常數(shù)因子cpa是式的最佳值a定理1設(shè)使得則有這里的常數(shù)因子C(a)(同式(4))是式(8)的最佳值.證明配方由帶權(quán)的H9lder不等式和引理2有若式(9)取等號(hào),則有不全為零的實(shí)數(shù)A與B,使不妨設(shè)A≠0,有矛盾,故式(9)取嚴(yán)格不等號(hào),即式(8)成立.若C(a)不是式(8)的最佳常數(shù)因子,則存在正數(shù)K<C(a),使式(8)的常數(shù)因子換成K后仍成立,由式(6)和(7)有讓?duì)拧?+,得K≥C(a),這與K<C(a)矛盾,故C(a)是式(8)的最佳常數(shù)因子.定理2設(shè),a>0,f≥0,使得則有這里的常數(shù)因子Cp(a)是式(10)的最佳值,且式(10)與(8)等價(jià).證明設(shè)[f(x)]n=min{n,f(x)},因存在n0∈N,當(dāng)n≥n0時(shí),有置即當(dāng)n→∞時(shí),應(yīng)用式(8),則式(11)取嚴(yán)格不等號(hào),式(12)亦然,故有式(10)成立.反之,由H9lder不等式有上述不等式即為式(8),因此式(10)和式(8)等價(jià).若式(10)中的常數(shù)因子不是最佳的,則由式(10)得到式(8)的常數(shù)因子也不是最佳的,這與定理1已證過(guò)的結(jié)論矛盾,故常數(shù)因子Cp(a)是式(10)的最佳值.在式(8)和式(10)中選取合適的參數(shù)a以及共軛指數(shù)對(duì)(p,q)的合適值,可以得到一些有意義的不等式.如取a=1,p=q=2,這時(shí)C(1)=catalan常數(shù)=0.9159655942+,若f,g≥0,且使得如取,p=q=2,由式(4)并用軟件Maple計(jì)算得:這里的常數(shù)因子分別是式(17),(18)的最佳值.引理1求和公式:這里的Ek稱為歐勒(Euler)數(shù),k=0,1,2,…,有則同理可證ω(a,y)=C(a)yq(1-a)-1.特別由式(3),證明易得a.e.于(0,∞)×(0,∞),于是有常數(shù)C,使與則當(dāng)n≥n0時(shí),由式(8)有則有下列等價(jià)不等式:這里的常數(shù)因子catalan,(catalan)2分別是式(13),(14)的最佳值.則有下列等價(jià)不等式:若f,g≥0,且