第1頁(yè)（共1頁(yè)）第二十二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽（武漢賽區(qū)）決賽試卷（小高組）一、填空題1．（10分）計(jì)算：2017÷2019+＝．2．（10分）如圖，圓周上有12個(gè)點(diǎn)，將圓周12等分．以這些等分點(diǎn)為四個(gè)頂點(diǎn)的矩形共有個(gè)．3．（10分）如圖，已知ABCDEFGHI為正九邊形，那么∠DIG＝度．4．（10分）在黑板上按照從小到大的順序?qū)懗鏊心鼙?7或20整除的非零自然數(shù)；17，20，34，40，51，60，…那么這列數(shù)中排在第289位的數(shù)是．5．（10分）甲農(nóng)場(chǎng)有雞、鴨共625只，乙農(nóng)場(chǎng)有雞、鴨共748只．其中乙農(nóng)場(chǎng)的雞比甲農(nóng)場(chǎng)多24%，甲農(nóng)場(chǎng)的鴨比乙農(nóng)場(chǎng)少15%，那么乙農(nóng)場(chǎng)有雞只．6．（10分）已知自然數(shù)n有10個(gè)約數(shù)，2n有20個(gè)約數(shù)，3n有15個(gè)約數(shù)，那么6n有個(gè)約數(shù)．7．（10分）甲乙兩人進(jìn)行10公里賽跑，甲跑完全程用了50分鐘，此時(shí)乙離終點(diǎn)還差500米．為了給乙一次機(jī)會(huì)，兩人約定，第二次賽跑時(shí)甲退后500米起跑．假設(shè)兩次跑步兩人速度都不變，則第二次跑步第一個(gè)人到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一人離終點(diǎn)還差米．8．（10分）對(duì)于兩位數(shù)n，A、B、C、D四人有以下的對(duì)話：A：“n能被24整除．”B：“n能被33整除．”C：“n能被62整除．”D：“n的各位數(shù)字之和為15．”其中只有2人的話是正確的，那么n的取值為．二、解答下列各題9．（10分）一個(gè)四位數(shù)，它本身是一個(gè)完全平方數(shù)，由它前兩位數(shù)字及后兩位數(shù)字組成的兩個(gè)兩位數(shù)也都是完全平方數(shù)．那么這個(gè)四位數(shù)是多少？10．（10分）盒子里有4枚白色棋子和2枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少拿走一枚，共有多少種不同拿法？11．（10分）熙熙軍團(tuán)的胸章是如圖所示的正八邊形圖案，已知正八邊形的邊長(zhǎng)為18，那么陰影部分的面積是多少？12．（10分）一個(gè)機(jī)關(guān)鎖如圖所示，鎖上共有八卦和太極共九個(gè)按鍵，依次按下其中四個(gè)按鍵后（按鍵按下便不可再按），若與正確按法一致則開鎖，若不一致則機(jī)關(guān)重置至初始狀態(tài)．已知在太極按下之前不可連續(xù)按下正對(duì)的兩個(gè)卦象鍵（例如圖中的乾、坤或兌、艮），且正確按法只有一種，那么打開這個(gè)機(jī)關(guān)鎖至多需要試多少次？三、解答下列各題13．（15分）已知一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的比為4：3：2，用平面切割，切割面為六邊形（如圖所示），已知所有這樣的六邊形的周長(zhǎng)最小為36，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積．14．（15分）如圖，A、B、C分別是某學(xué)校的北門、西門和東門，從測(cè)量地圖上看，線段AD、AE、DE均為公路，B、C分別在AD、AE上，DC、BE交于P點(diǎn)，△PBC、△PBD、△PCE的面積分別為73000平方米、163000平方米和694000平方米，小葉和小峰步行速度相同．一日，他們放學(xué)后同時(shí)從北門出發(fā)，小葉先跑后走，小峰一直步行，當(dāng)小葉用3分鐘跑到西門時(shí)，小峰恰好步行到東門，小葉繼續(xù)用8分鐘跑到D處，然后沿DE步行與從東門到E再往D走的小峰會(huì)合，第二天按相同出行方式，如果小峰想在DE路段的中點(diǎn)處于小葉會(huì)合，需要比小葉提前多少分鐘出發(fā)？

第二十二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽（武漢賽區(qū)）決賽試卷（小高組）參考答案與試題解析一、填空題1．（10分）計(jì)算：2017÷2019+＝1．【分析】先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后把分子變形進(jìn)行簡(jiǎn)算即可．【解答】解：2017÷2019+＝÷+＝÷+＝÷+＝+＝1故答案為：1．2．（10分）如圖，圓周上有12個(gè)點(diǎn)，將圓周12等分．以這些等分點(diǎn)為四個(gè)頂點(diǎn)的矩形共有15個(gè)．【分析】12個(gè)等分點(diǎn)是6條直徑的端點(diǎn)，以這些等分點(diǎn)為頂點(diǎn)的矩形，一定以其中兩條直徑為對(duì)角線，所以共有＝15個(gè)矩形，據(jù)此解答即可．【解答】解：12個(gè)等分點(diǎn)是6條直徑的端點(diǎn)，共有：＝＝15（個(gè)）答：以這些等分點(diǎn)為四個(gè)頂點(diǎn)的矩形共有15個(gè)．故答案為：15．3．（10分）如圖，已知ABCDEFGHI為正九邊形，那么∠DIG＝60°度．【分析】可以利用九邊形的內(nèi)角和，以及三角形的內(nèi)角和，作輔助線，連接正九邊形的中心，則OI＝OD＝OG，從而可以求得∠DIG的度數(shù)．【解答】解：根據(jù)分析，如圖，O為正九邊形中心，則OI＝OD＝OG，∠DIG＝∠DIO+∠OIG＝＝∠DOG＝×（360°÷9×3）＝60°故答案是：60°．4．（10分）在黑板上按照從小到大的順序?qū)懗鏊心鼙?7或20整除的非零自然數(shù)；17，20，34，40，51，60，…那么這列數(shù)中排在第289位的數(shù)是2737．【分析】先根據(jù)17和20的公倍數(shù)，算出數(shù)列的周期，再算出每個(gè)周期有多少個(gè)數(shù)，即可求出第289位數(shù)是多少【解答】解：根據(jù)分析，17和20的倍數(shù)交替出現(xiàn)，17和20的最小公倍數(shù)為340，易知，1～340為一個(gè)周期，每個(gè)周期中列出了17+20﹣1個(gè)數(shù)，289＝36×8+1∴數(shù)列中第289個(gè)數(shù)是：340×8+17＝2737故答案為：27375．（10分）甲農(nóng)場(chǎng)有雞、鴨共625只，乙農(nóng)場(chǎng)有雞、鴨共748只．其中乙農(nóng)場(chǎng)的雞比甲農(nóng)場(chǎng)多24%，甲農(nóng)場(chǎng)的鴨比乙農(nóng)場(chǎng)少15%，那么乙農(nóng)場(chǎng)有雞248只．【分析】根據(jù)“乙農(nóng)場(chǎng)的雞比甲農(nóng)場(chǎng)多24%，”可得：甲農(nóng)場(chǎng)的雞是乙農(nóng)場(chǎng)的雞的1÷（1+24%）＝；根據(jù)“甲農(nóng)場(chǎng)的鴨比乙農(nóng)場(chǎng)少15%”可得：甲農(nóng)場(chǎng)的鴨是乙農(nóng)場(chǎng)的鴨的1﹣15%＝；假設(shè)甲農(nóng)場(chǎng)的雞鴨都是乙農(nóng)場(chǎng)的雞鴨的，則多算了（748×﹣625），對(duì)應(yīng)著分率也多了雞的（﹣），由此用除法解答即可求出乙農(nóng)場(chǎng)的雞的只數(shù)．【解答】解：1÷（1+24%）＝1﹣15%＝（748×﹣625）÷（﹣）＝10.8÷＝248（只）答：乙農(nóng)場(chǎng)有雞248只．故答案為：248．6．（10分）已知自然數(shù)n有10個(gè)約數(shù)，2n有20個(gè)約數(shù)，3n有15個(gè)約數(shù)，那么6n有30個(gè)約數(shù)．【分析】n有10個(gè)約數(shù)，而2n有20個(gè)約數(shù)，按約數(shù)和定理，得知n的分解式中不含有2，3n有15個(gè)約數(shù)，假設(shè)3n的分解式中不含有3，則3n的約數(shù)應(yīng)該是（1+1）×10＝20個(gè)，則n的分解式中含有一個(gè)3，6n分成2×3×n，再根據(jù)約數(shù)和定理，可以求得約數(shù)的個(gè)數(shù)．【解答】解：根據(jù)分析，n有10個(gè)約數(shù)，2n有20個(gè)約數(shù)，按約數(shù)和定理，又∵，∴n的質(zhì)因數(shù)分解式中含有0個(gè)2；設(shè)n＝3amx，又∵，∴n的質(zhì)因數(shù)分解式中含有一個(gè)3，根據(jù)約數(shù)和定理，得n的約數(shù)和為：（a+1）（x+1）＝10，解得：a＝1，x＝4，此時(shí)n＝3×m4；故6n＝2×3×n＝2×3×3×m4＝2×32×m4，其約數(shù)和為：（1+1）×（2+1）（4+1）＝2×3×5＝30，故答案是：30．7．（10分）甲乙兩人進(jìn)行10公里賽跑，甲跑完全程用了50分鐘，此時(shí)乙離終點(diǎn)還差500米．為了給乙一次機(jī)會(huì)，兩人約定，第二次賽跑時(shí)甲退后500米起跑．假設(shè)兩次跑步兩人速度都不變，則第二次跑步第一個(gè)人到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一人離終點(diǎn)還差25米．【分析】首先找到不變量是時(shí)間，兩人兩次賽跑的時(shí)間是相同的，路程是成比例關(guān)系．【解答】解：依題意可知：當(dāng)甲跑全程10公里時(shí)即10000米，乙跑全程的10000﹣500＝9500米，兩人跑的時(shí)間相同，路程成比例關(guān)系．即10000：9500＝20：19＝（10000+500）：9975．當(dāng)甲跑完10500米時(shí)，乙跑9975米．還差10000﹣9975＝25（米）故答案為：258．（10分）對(duì)于兩位數(shù)n，A、B、C、D四人有以下的對(duì)話：A：“n能被24整除．”B：“n能被33整除．”C：“n能被62整除．”D：“n的各位數(shù)字之和為15．”其中只有2人的話是正確的，那么n的取值為96．【分析】四個(gè)人只有兩個(gè)人的話是正確的，B、C的話都要求n的數(shù)字和是9的倍數(shù)，與的D的話矛盾，從四個(gè)人的話中找到共同點(diǎn)和不同的，以及矛盾的點(diǎn)，即可判斷誰(shuí)的話是正確的．【解答】解：根據(jù)分析，B、C的話都要求n的數(shù)字和是9的倍數(shù)，而C要求n的數(shù)字之和為15，若D正確，則B、C錯(cuò)誤，所以A正確，n＝24×3＝96若D錯(cuò)誤，則24和33、62和33、24和62的最小公倍數(shù)均大于100，矛盾綜上所述，n的取值為96故答案為：96．二、解答下列各題9．（10分）一個(gè)四位數(shù)，它本身是一個(gè)完全平方數(shù)，由它前兩位數(shù)字及后兩位數(shù)字組成的兩個(gè)兩位數(shù)也都是完全平方數(shù)．那么這個(gè)四位數(shù)是多少？【分析】可以先假設(shè)這個(gè)四位數(shù)為，分兩半，前兩位和后兩位，再根據(jù)完全平方數(shù)的性質(zhì)，可以在兩位數(shù)里縮小范圍，最后分別確定這兩個(gè)兩位數(shù)．【解答】解：根據(jù)分析，設(shè)這個(gè)四位數(shù)為＝n2，∵前兩位是完全平方數(shù)，故≥16，∴n≥41，又∵，均為完全平方數(shù)，∴后兩位≥2n﹣1≥2×41﹣1＝81，∴＝81，＝16，此四位數(shù)為1681，故答案是：1681．10．（10分）盒子里有4枚白色棋子和2枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少拿走一枚，共有多少種不同拿法？【分析】可以將將白棋看作列，黑棋看作行，則每次拿走若干棋子后，轉(zhuǎn)化為左、下某一個(gè)點(diǎn)的情況，然后構(gòu)造圖，最后求得不同的拿法．【解答】解：根據(jù)分析，如圖將白棋看作列，黑棋看作行，則每次拿走若干棋子后，轉(zhuǎn)化為左、下某一個(gè)點(diǎn)的情況，所以構(gòu)造如圖：每個(gè)格點(diǎn)上標(biāo)的數(shù)等于這點(diǎn)左、下所有格點(diǎn)各數(shù)之和，所以4枚白棋2枚黑棋共有208種不同拿法．故答案是：208．11．（10分）熙熙軍團(tuán)的胸章是如圖所示的正八邊形圖案，已知正八邊形的邊長(zhǎng)為18，那么陰影部分的面積是多少？【分析】按題意，將圖等積變形，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為求其它三角形的面積，最后轉(zhuǎn)化為S陰影＝4S△ABO＝＝182＝324．【解答】解：根據(jù)分析，如圖，S陰影＝2S△ABO+2S△COD，顯然S△COE＝S△COD＝S△BOA，故：S陰影＝4S△ABO＝＝182＝324故答案是：324．12．（10分）一個(gè)機(jī)關(guān)鎖如圖所示，鎖上共有八卦和太極共九個(gè)按鍵，依次按下其中四個(gè)按鍵后（按鍵按下便不可再按），若與正確按法一致則開鎖，若不一致則機(jī)關(guān)重置至初始狀態(tài)．已知在太極按下之前不可連續(xù)按下正對(duì)的兩個(gè)卦象鍵（例如圖中的乾、坤或兌、艮），且正確按法只有一種，那么打開這個(gè)機(jī)關(guān)鎖至多需要試多少次？【分析】從九個(gè)按鍵中依此按4個(gè)，有9×8×7＝3024（種），其中前兩次相對(duì)的有8×1×7×6＝336（種），中間兩次相對(duì)且第一步不是太極的有8×6×1×6＝288（種），末兩次相對(duì)，前兩部不相對(duì)且部署太極的有8×6×4×1＝192（種），最后求和．【解答】解：根據(jù)分析，從九個(gè)按鍵中依此按4個(gè)，有9×8×7＝3024（種）；其中前兩次相對(duì)的有8×1×7×6＝336（種）；中間兩次相對(duì)且第一步不是太極的有8×6×1×6＝288（種）；末兩次相對(duì)，前兩步不相對(duì)且不是太極的有8×6×4×1＝192（種）；所以所有可以按的方法有：3024﹣336﹣288﹣192＝2208（種）．即至多需要試2208次．故答案是：2208．三、解答下列各題13．（15分）已知一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的比為4：3：2，用平面切割，切割面為六邊形（如圖所示），已知所有這樣的六邊形的周長(zhǎng)最小為36，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積．【分析】按題意，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的比為4：3：2，而六邊形周長(zhǎng)最小，則六邊形的六條邊在展開圖上應(yīng)構(gòu)成一條線段，此時(shí)可以求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，表面積也即可求得．【解答】解：根據(jù)分析，長(zhǎng)方體展開圖如下圖：（AB與CE是同一條棱，P與Q是同一點(diǎn)）所以周長(zhǎng)最小時(shí)，六邊形的六條邊在展開圖上應(yīng)構(gòu)成一條線段，所以長(zhǎng)方體表面積為：2×（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）＝2×（2×3+3×4+4×2）×[（）2÷2]＝416，故答案是：416．14．（15分）如圖，A、B、C分別是某學(xué)校的北門、西門和東門，從測(cè)量地圖上看，線段AD、AE、DE均為公路，B、C分別在AD、AE上，DC、BE交于P點(diǎn)，△PBC、△PBD、△PCE的面積分別為73000平方米、163000平方米和694000平方米，小葉和小峰步行速度相同．一日，他們放學(xué)后同時(shí)從北門出發(fā)，小葉先跑后走