中考?jí)狠S題專題一——因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例1：直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)．(1)寫出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．（2）因?yàn)閽佄锞€y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0)三點(diǎn)，所以解得所以拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，4)．（3）直線BG的解析式為y＝3x＋1，直線CD的解析式為y＝3x＋3，因此CD//BG．因?yàn)閳D形在旋轉(zhuǎn)過程中，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線BG上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，3x＋1)，那么．Rt△COD的兩條直角邊的比為1∶3，如果Rt△ABQ與Rt△COD相似，存在兩種情況：①當(dāng)時(shí)，．解得．所以，．②當(dāng)時(shí)，．解得．所以，．例2：Rt△ABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像與BC邊交于點(diǎn)D（4，m），與AB邊交于點(diǎn)E（2，n），△BDE的面積為2．（1）求m與n的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)tan∠A＝時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達(dá)式；（3）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)P在射線FD上，在（2）的條件下，如果△AEO與△EFP相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．圖1（1）因?yàn)辄c(diǎn)D（4，m）、E（2，n）在反比例函數(shù)的圖像上，所以整理，得n＝2m．（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)．已知△BDE的面積為2，所以．解得m＝1．因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)．因?yàn)辄c(diǎn)D（4，1）在反比例函數(shù)的圖像上，所以k＝4．因此反比例函數(shù)的解析式為．設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得解得，．因此直線AB的函數(shù)解析式為．（3）因?yàn)橹本€與y軸交于點(diǎn)F（0，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），所以FD//x軸，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO與△EFP相似存在兩種情況：①如圖3，當(dāng)時(shí)，．解得FP＝1．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）．②如圖4，當(dāng)時(shí)，．解得FP＝5．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，1）．例3：如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點(diǎn)O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1．設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、B1的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代數(shù)式表示x2－x1，并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1圖2（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線，解析式為，頂點(diǎn)為M（1，）．（2）梯形O1A1B1C1的面積，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．當(dāng)S=36時(shí)，解得此時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（6，3）．（3）設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)G，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，直線PQ與x軸交于點(diǎn)F，那么要探求相似的△GAF與△GQE，有一個(gè)公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直線AB與拋物線對(duì)稱軸的夾角，為定值．在△GAF中，∠GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．這時(shí)∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于，，所以．解得．例4：如圖1，已知點(diǎn)A(-2，4)和點(diǎn)B(1，0)都在拋物線上．（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，若四邊形AA′B′B為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式；（3）記平移后拋物線的對(duì)稱軸與直線AB′的交點(diǎn)為C，試在x軸上找一個(gè)點(diǎn)D，使得以點(diǎn)B′、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(-2，4)和點(diǎn)B(1，0)都在拋物線上，所以解得，．(2)由點(diǎn)A(-2，4)和點(diǎn)B(1，0)，可得AB＝5．因?yàn)樗倪呅蜛A′B′B為菱形，所以AA′＝B′B＝AB＝5．因?yàn)?，所以原拋物線的對(duì)稱軸x＝－1向右平移5個(gè)單位后，對(duì)應(yīng)的直線為x＝4．因此平移后的拋物線的解析式為．(3)由點(diǎn)A(-2，4)和點(diǎn)B′(6，0)，可得AB′＝．由AM//CN，可得，即．解得．所以．根據(jù)菱形的性質(zhì)，在△ABC與△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．①當(dāng)時(shí)，，解得．此時(shí)OD＝3，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．②當(dāng)時(shí)，，解得．此時(shí)OD＝，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）．例5：如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．,（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，－2），解得．所以拋物線的解析式為．（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，1＜x＜4，，．如果，那么．解得不合題意．如果，那么．解得．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）．②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，x＞4，，．解方程，得．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．解方程，得不合題意．③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，x＜1，，．解方程，得．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．解方程，得．此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意．綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）或或．（3）過點(diǎn)D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．所以．因此．當(dāng)時(shí)，△DCA的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）．例6：如圖1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝．D為射線BA上的點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），作DE//BC交射線CA于點(diǎn)E.．(1)若CE＝x，BD＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)分別以線段BD，CE為直徑的兩圓相切時(shí)，求DE的長(zhǎng)度；(3)當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，BC邊上是否存在點(diǎn)F，使△ABC與△DEF相似？若存在，請(qǐng)求出線段BF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1備用圖備用圖（1）作BH⊥AC，垂足為點(diǎn)H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝，所以AH＝＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC為等腰三角形，AB＝CB＝5．因?yàn)镈E//BC，所以，即．于是得到，（）．（2）因?yàn)镈E//BC，所以，，即，．因此，圓心距．在⊙M中，，在⊙N中，．①當(dāng)兩圓外切時(shí)，．解得或者．符合題意的解為，此時(shí)．②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，．當(dāng)x＜6時(shí)，解得，此時(shí)E在CA的延長(zhǎng)線上，；當(dāng)x＞6時(shí)，解得，此時(shí)E在CA的延長(zhǎng)線上，．（3）因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，因此當(dāng)△ABC與△DEF相似時(shí)，△DEF也是等腰三角形．當(dāng)D、E、F為△ABC的三邊的中點(diǎn)時(shí)，DE為等腰三角形DEF的腰，符合題意，此時(shí)BF＝2.5．根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)F在BC邊上的高的垂足時(shí)，也符合題意，此時(shí)BF＝4.1．當(dāng)DE為等腰三角形DEF的底邊時(shí)，四邊形DECF是平行四邊形，此時(shí)．例7：如圖1，在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A（0，t），點(diǎn)Q（t，b）．平移二次函數(shù)的圖象，得到的拋物線F滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)為Q；②與x軸相交于B、C兩點(diǎn)（∣OB∣<∣OC∣），連結(jié)A，B．（1）是否存在這樣的拋物線F，使得？請(qǐng)你作出判斷，并說明理由；（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝，求拋物線F對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式．