PAGE第3講相關(guān)性與最小二乘估計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例1．已知變量x，y呈線性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方程為y＝0.5＋2x，則變量x，y是()A．線性正相關(guān)關(guān)系 B．由回歸方程無法判斷其正負(fù)相關(guān)C．線性負(fù)相關(guān)關(guān)系 D．不存在線性相關(guān)關(guān)系解析：選A.隨著變量x增大，變量y有增大的趨勢，則x，y稱為正相關(guān)．2．(2016·衡水調(diào)研)某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表．根據(jù)下表可得回歸方程y＝bx＋a中的b＝10.6，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為10萬元時(shí)銷售額為()廣告費(fèi)用x(萬元)2345銷售額y(萬元)26394958A.112.1萬元 B．113.1萬元C．111.9萬元 D．113.9萬元解析：選C.因?yàn)?x，y)在回歸直線y＝bx＋a上，且x＝eq\f(1,4)(4＋2＋3＋5)＝eq\f(7,2)，y＝eq\f(1,4)(49＋26＋39＋58)＝43，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，43))代入y＝10.6x＋a中得a＝5.9，所以y＝10.6x＋5.9，當(dāng)x＝10時(shí)，y＝106＋5.9＝111.9.所以廣告費(fèi)用為10萬元時(shí)銷售額為111.9萬元．3．(2016·濟(jì)南模擬)某餐廳的原料費(fèi)支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為y＝8.5x＋7.5，則表中m的值為()x24568y2535m5575A.50 B．55C．60 D．65解析：選C.x＝eq\f(1,5)(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y＝eq\f(1,5)(25＋35＋m＋55＋75)＝38＋eq\f(1,5)m.又回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，于是有8.5×5＋7.5＝38＋eq\f(1,5)m，解得m＝60.4．通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，算得χ2＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(χ2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”解析：選C.根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，由χ2≈7.8>6.635，可知我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”，故選C.5．(2016·嘉興聯(lián)考)為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為______．解析：因?yàn)棣?≈4.844，根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%.答案：5%6．春節(jié)期間，某銷售公司每天銷售某種取暖商品的銷售額y(單位：萬元)與當(dāng)天的平均氣溫x(單位：℃)有關(guān)．現(xiàn)收集了春節(jié)期間這個(gè)銷售公司4天的x與y的數(shù)據(jù)列于下表：平均氣溫(℃)－2－3－5－6銷售額(萬元)20232730根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用線性回歸的方法，求得y與x之間的線性回歸方程y＝bx＋a的系數(shù)b＝－eq\f(12,5)，則a＝________．解析：由表中數(shù)據(jù)可得eq\o(x,\s\up6(－))＝－4，eq\o(y,\s\up6(－))＝25，所以線性回歸方程y＝－eq\f(12,5)x＋a過點(diǎn)(－4，25)，代入方程得25＝－eq\f(12,5)×(－4)＋a，解得a＝eq\f(77,5).答案：eq\f(77,5)7．(2016·山西省四校聯(lián)考)近幾年出現(xiàn)各種食品安全問題，食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾?。疄榱私馊呒膊∈欠衽c性別有關(guān)，醫(yī)院隨機(jī)對入院的60人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：患三高疾病不患三高疾病總計(jì)男630女總計(jì)36(1)請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽取9人，其中女性抽取多少人？(2)為了研究三高疾病是否與性別有關(guān)，請計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量χ2，并說明你有多大的把握認(rèn)為患三高疾病與性別有關(guān)？下面的臨界值表供參考：P(χ2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d)解：(1)根據(jù)題意可得患三高疾病不患三高疾病總計(jì)男24630女121830總計(jì)362460在患三高疾病的人群中抽取9人，則抽取比例為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).故女性應(yīng)該抽取12×eq\f(1,4)＝3人．(2)因?yàn)棣?＝eq\f(60×（24×18－6×12）2,30×30×36×24)＝10>7.879，所以有99.5%的把握認(rèn)為患三高疾病與性別有關(guān)．8．(2016·唐山第一次模擬)為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下隨時(shí)間變化的繁殖情況，得如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：天數(shù)t(天)34567繁殖個(gè)數(shù)y(千個(gè))2.5344.56(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，預(yù)測t＝8時(shí)，細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)．解：(1)由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得，eq\o(t,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝4，eq\i\su(i=1,n,)(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝10，b＝eq\f(\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y)),\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2))＝0.85，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(t,\s\up6(－))＝－0.25.所以回歸方程為y＝0.85t－0.25.(2)將t＝8代入(1)的回歸方程中得y＝0.85×8－0.25＝6.55.故預(yù)測t＝8時(shí)，細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)為6.55千個(gè)．1．(2016·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價(jià)x(元)456789銷量y(件)908483807568由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為y＝－4x＋a.若在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線左下方的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析：選B.由表中數(shù)據(jù)得x＝6.5，y＝80，由y＝－4x＋a，得a＝106，故線性回歸方程為y＝－4x＋106.將(4，90)，(5，84)，(6，83)，(7，80)，(8，75)，(9，68)分別代入回歸方程可知有6個(gè)基本事件，因84<－4×5＋106＝86，68<－4×9＋106＝70，故(5，84)和(9，68)在直線的左下方，滿足條件的只有2個(gè)，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．在2016年1月15日那天，某市物價(jià)部門對本市的5家商場的某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格x99.5m10.511銷售量y11n865由散點(diǎn)圖可知，銷售量y與價(jià)格x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是y＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，則其中的n＝________．解析：x＝eq\f(9＋9.5＋m＋10.5＋11,5)＝8＋eq\f(m,5)，y＝eq\f(11＋n＋8＋6＋5,5)＝6＋eq\f(n,5)，回歸直線一定經(jīng)過樣本中心(x，y)，即6＋eq\f(n,5)＝－3.2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋\f(m,5)))＋40，即3.2m＋n＝42.又因?yàn)閙＋n＝20，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.2m＋n＝42，,m＋n＝20，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝10，))故n＝10.答案：103．某學(xué)校為調(diào)查高三年級學(xué)生的身高情況，按隨機(jī)抽樣的方法抽取80名學(xué)生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖(如圖(1))和女生身高情況的頻率分布直方圖(如圖(2))．已知圖(1)中身高在170～175cm(1)試問在抽取的學(xué)生中，男、女生各有多少名？(2)根據(jù)頻率分布直方圖，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能有多大(百分?jǐn)?shù))的把握認(rèn)為身高與性別有關(guān)？身高≥170身高<170總計(jì)男生女生總計(jì)解：(1)由題圖(1)可知，身高在170～175cm的男生的頻率為0.08×5＝0.4，設(shè)抽取的學(xué)生中，男生有n1名，則0.4＝eq\f(16,n1)，解得n1＝40.所以女生有80－40＝40(名)．(2)由(1)及頻率分布直方圖知，身高≥170cm的男生有(0.08＋0.04＋0.02＋0.01)×5×40＝30(名)，身高≥170cm的女生有0.02×5×40＝4(名)身高≥170身高<170總計(jì)男生301040女生43640總計(jì)344680由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得χ2的觀測值為k＝eq\f(80×（30×36－10×4）2,40×40×34×46)≈34.578>10.828.所以能有99.9%的把握認(rèn)為身高與性別有關(guān)．4．下表是2015年美國舊轎車價(jià)格的調(diào)查資料，今以x表示轎車的使用年數(shù)，y表示相應(yīng)的平均價(jià)格，求y關(guān)于x的回歸方程．使用年數(shù)x(年)12345678910平均價(jià)格y(美元)2651