2022—2023學年度第二學期期中學業(yè)水平檢測高一數(shù)學試題本試卷共6頁，22題，全卷滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂層.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，請將答題卡上交.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)，則的虛部是（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)運算求得，根據(jù)虛部定義求得結果.【詳解】，∴z的虛部為：2故選：A2.已知向量，，若與垂直，則實數(shù)t的值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示，列式求值.【詳解】，且，由題意可知，，得.故選：D3.如圖所示，在三棱臺中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（）A.三棱錐 B.四棱錐C.三棱柱 D.三棱臺【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形和棱錐的定義及結構特征，即可得出結論．【詳解】三棱臺中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點，四邊形為底面的四棱錐．故選：B．4.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則（）A.1 B. C.3 D.1或3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理，，即，，解得.故選：C5.已知，，復數(shù)，，在復平面內對應的點為，，，若，，三點共線，則的最小值為（）A.9 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)對應的點共線可得，利用均值不等式求解即可.詳解】由題意，，，，由三點共線可得，，化簡可得，又，，，當且僅當，即時等號成立.故選：B6.在矩形ABCD中，M是BC的中點，N是CD的中點，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標系，設，求出的坐標，利用可得答案.【詳解】以為原點，分別以為軸的正半軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設，則，則，因為，可得，即，解之得，所以.故選：D.7.在中，CD為角C的平分線，若，，則等于（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由為角的平分線，，可得，設，，然后在中利用正弦定理可得，化簡計算可得答案【詳解】因為為角的平分線，所以因為，所以所以不妨設，因為在中，，所以因為在中，，所以所以.故選：C8.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設，中點為，化簡可得，再根據(jù)余弦定理結合余弦函數(shù)的范圍可得，進而可得的取值范圍.【詳解】不妨設，中點為，則即，故，即，.故，因為，故，則，故，故的取值范圍為.故選：D二、多項選擇題：本大題共4小題.每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.若復數(shù)滿足，則（）A.B.是純虛數(shù)C.D.若是關于x的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則【答案】ACD【解析】【分析】對A，根據(jù)復數(shù)的除法運算求解，再求共軛復數(shù)即可；對B，求得判斷即可；對C，根據(jù)模長公式求解即可；對D，根據(jù)復數(shù)域中二次方程兩根共軛與韋達定理求解即可.【詳解】對A，，則，故，A正確；對B，不為純虛數(shù)，故B錯誤；對C，，，故C正確；對D，由題意，的復數(shù)根分別為與，故，故D正確；故選：ACD10.下列說法正確的是（）A.向量，能作為平面內所有向量的一組基底B.已知中，點P為邊AB的中點，則必有C.若，則P是的垂心D.若G是的重心，則點G滿足條件【答案】BC【解析】【分析】對A，根據(jù)基底向量不共線判斷即可；對B，根據(jù)基底向量的運用判斷即可；對C，化簡可得，進而根據(jù)垂心的性質判斷即可；對D，由重心可得，即可判斷【詳解】對A，，故共線，不能作為平面內所有向量的一組基底，故A錯誤；對B，根據(jù)平面向量基本定理可得中，點P為邊AB的中點，則必有，故B正確；對C，由可得，即，故，同理，，故P是的垂心，故C正確；對D，若G是的重心，則點G滿足條件，則，故D錯誤；故選：BC11.已知，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則為等腰或直角三角形C.若為銳角三角形，若，則D.若，，，則有兩解【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質可得或判斷A，由正弦定理及正切函數(shù)性質判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)單調性判斷C，由已知兩邊及一邊對角確定三角形個數(shù)判斷方法判斷D.【詳解】，，或，即或，故A錯誤；，，即，由知，故為等腰三角形，故B錯誤；為銳角三角形，，由正弦函數(shù)的單調性知，故C正確；，，，，故有兩解，故D正確.故選：CD12.已知函數(shù)在上單調，且的圖象關于點對稱，則（）A.的周期為B.若，則C.將的圖象向右平移個單位長度后對應的函數(shù)為奇函數(shù)D.函數(shù)在上有1個零點【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據(jù)題意確定周期范圍，再根據(jù)圖象關于點對稱，結合正弦函數(shù)的對稱中心求解即可；對于B，由A，結合余弦函數(shù)的最值與周期性質判斷即可；對于C，根據(jù)三角函數(shù)平移性質判斷即可；對于D，根據(jù)余弦函數(shù)值直接求解即可.【詳解】對于A，因為函數(shù)在上單調，所以的最小正周期T滿足，即，所以，因為的圖象關于點對稱，所以，得，所以當時，，所以，故A錯誤；對于B，，，則分別為，則為半周期，即，故B正確；對于C，將的圖象向右平移個單位長度后得的圖象，為奇函數(shù)，故C正確；對于D，，即，令，當時，，故僅有，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.如圖所示，等腰直角三角形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的周長為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法可得原圖形三邊長，進而可得周長.【詳解】由題意，，則，故原圖形中，，，周長為.故答案為：14.已知向量，滿足，，，則向量，的夾角為__________.【答案】##【解析】【分析】設與的夾角為，，得到，解得答案.【詳解】設與的夾角為，，則，解得，，故.故答案為：15化簡：________.【答案】－1【解析】【詳解】原式)(.故答案為【點睛】本題的關鍵點有：先切化弦，再通分；利用輔助角公式化簡；同角互化.16.某公園有一個人工湖，若要測量如圖所示的人工湖的口徑A、B兩點間的距離，現(xiàn)在人工湖岸邊取C、D兩點，測得m，，，，則A、B兩點的距離為__________m.【答案】【解析】【分析】中根據(jù)角度關系易得，再在中，由正弦定理得到BD，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】在中，因為，故，，所以，則．在中，因為，所以由正弦定理，得．在中，因為，所以由余弦定理得，故m．故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，都是銳角，，.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關系及二倍角的正余弦公式求解；（2）根據(jù)角的變換，利用兩角差的正弦公式求解.【小問1詳解】是銳角，，，，，，.【小問2詳解】，都是銳角，，又，，.18.已知半圓圓心為O，直徑，C為半圓弧上靠近點A的三等分點，若P為半徑OC上的動點，以O點為坐標原點，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示.（1）求在上投影向量的坐標；（2）若，當y取得最小值時，求點P的坐標及y的最小值.【答案】（1）（2）最小值為，此時點的坐標為【解析】【分析】（1）先求解在上投影向量大小，進而可得投影向量坐標；（2）設，即可表示出、，再結合平面向量數(shù)量積的坐標運算及二次函數(shù)的性質計算可得．【小問1詳解】因為半圓的直徑，所以，，又，，則，即．故，，在上投影為，故在上投影向量的坐標為【小問2詳解】設，

由（1）知，，故，

∴，又∵，∴當時，有最小值為，

此時點的坐標為19.在復平面內，O是原點，向量對應的復數(shù)，.（1）若點A位于第四象限，求m的取值范圍；（2）若點A關于實軸的對稱點為點B，求向量對應的復數(shù)；（3）若，且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)復數(shù)對應點確定實部、虛部的符號，列不等式組求解；（2）根據(jù)對稱確定點B對應的復數(shù)，再由向量對應復數(shù)即為兩點對應復數(shù)之差得解；（3）由復數(shù)相等列出方程組，消參數(shù)可得的表達式，利用正弦函數(shù)值域，配方求值域即可.【小問1詳解】由題意對應點A位于第四象限，故，解得，即m的取值范圍.小問2詳解】點A對應的復數(shù)為，則關于實軸的對稱點B對應的復數(shù)為，則對應的復數(shù)為，【小問3詳解】，，即，由，可知，故的取值范圍為.20.在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答.問題：在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且__________.（1）求角C；（2）若的內切圓半徑，，求的外接圓半徑R.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇①根據(jù)兩角和的正切公式化簡可得角，選擇②根據(jù)余弦定理化簡，再根據(jù)正弦定理邊化角，結合三角恒等變換求解即可，選擇③由正弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理求解；（2）由余弦定理及三角形面積公式聯(lián)立求解可得，進而根據(jù)正弦定理求解即可.【小問1詳解】選擇①：由已知得，所以，在中，，所以．選擇②：由題意，故，由正弦定理，即，又，故，因為，故選擇③：由已知及正弦定理得，所以，所以，因為，所以．【小問2詳解】由余弦定理得，①由等面積公式得．即．整理得，②聯(lián)立①②，解得，由正弦定理，即21已知向量，，記函數(shù).（1）將化為形式，并求最小正周期T；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（3）將函數(shù)圖象向右平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍得到的圖象，若在區(qū)間上至少有100個最大值，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積坐標公式及三角恒等變換化簡即可得解；（2）根據(jù)自變量的范圍求出的范圍，利用正弦函數(shù)求解；（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求出,利用三角函數(shù)的性質可得.【小問1詳解】,【小問2詳解】當時，，，，即函數(shù)在區(qū)間上的值域為.【小問3詳解】將函數(shù)圖象向右平移個單位，得到，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍得到的圖象,令，要使在區(qū)間上至少有100個最大值，由正弦函數(shù)的性質可得，.22.對于函數(shù)，若存在非零常數(shù)M，使得對任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“M函數(shù)”；對于函數(shù)，若存在非零常數(shù)M，使得對任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“嚴格M函數(shù)”.（1）求證：，是“M函數(shù)”；（2）若函數(shù)，是“函數(shù)”，求k的取值范圍；（3）對于定義域為R的函數(shù)對任意的正實數(shù)M，均是“嚴格M函數(shù)”，若，求實數(shù)a的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根