2021年天津市南開中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（三模）

一、單選題（本大題共9小題，共45.0分）

1.己知集合4={x|x€Z|x2一%一240},B=則4nB=()

A.{-1,0,1}B.[0,1}

C.{-1,0,1,2}D.{x|-1<%<2]

2.8.下列命題為真命題的是

A.已知G,b&R,則“匕，《一是“G>0且的充分不必要條件

ab

B.已知數(shù)歹媵4分為等比數(shù)列，則“%〈%〈%”是的既不充分也不必要條件

C.已知兩個(gè)平面3,B，若兩條異面直線閉，方滿足桁二G,不U,且?W//P,W〃3,則

a//P

D.3x0e（-?,O）,使3必<4%成立

3.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，值域?yàn)閇—2,3],則y=/（x）（xeR）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,2]B.[-2,3]C.[—3,2]D.[—3,3]

4.如圖反映了全國(guó)從2013年到2017年快遞業(yè)務(wù)量及其增長(zhǎng)速度的變化

情況，以下結(jié)論正確的是（）

A.快遞業(yè)務(wù)量逐年減少，增長(zhǎng)速度呈現(xiàn)上升趨勢(shì)

B.快遞業(yè)務(wù)量逐年減少，增長(zhǎng)速度呈現(xiàn)下降趨勢(shì)

C.快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，增長(zhǎng)速度呈現(xiàn)上升趨勢(shì)

D.快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，增長(zhǎng)速度呈現(xiàn)下降趨勢(shì)

5.設(shè)。=叵|,b=（叵]尸，c=R],則（）

A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

6.如圖，三棱錐P-ABC中，P8J_平面48C,BC1CA,S.PB=BC=

2CA=2,則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（）

A.37r

B.97r

C.127r

D.36TT

7.已知拋物線/=2py和9—y2=1的公切線PQ（P是PQ與拋物線的切點(diǎn)，未必是PQ與雙曲線的

切點(diǎn)）與拋物線的準(zhǔn)線交于Q,尸（0,今，若四|PQ|=H|P用，則拋物線的方程是（）

8.函數(shù)y=-3sinx+4（%6[一兀,〃]）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.[-]苧B.[0,n]C.'布D.

9.在△ABC中，若（4荏一而）_1.謂，則的最大值為（）

A.1B.|C-D.在

2552

二、單空題（本大題共6小題，共30.0分）

10.若復(fù)數(shù)2=午。?是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)2等于

11.已知（2-X）S=劭+%%++…+。5逆，則；：：：：：：：=.（用分?jǐn)?shù)表示）

12.已知點(diǎn)P（x,y）在（x+2）2+y2=3上，求？的最小值.

13.甲、乙兩人進(jìn)行5局乒乓球挑戰(zhàn)賽，甲在每局中獲勝的概率為|,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.設(shè)甲贏

的局?jǐn)?shù)為6，則P（f=2）=,F（f）=,.

14.對(duì)于問(wèn)題：“已知兩個(gè)正數(shù)x,y滿足x+y=2,求:+；的最小值”，給出如下一種解法：

???x+y=2,.-.|+i=|(x+y)(i+i)=i(5+^+^)>

,*'%>0,y>0,*,?~4—N2號(hào)哆=4,二"；濘（5+4），

xy

y_4x

當(dāng)且僅當(dāng)工一y,即:時(shí),：+；取最小值（

（無(wú)+y=2

參考上述解法，已知4B，C是ZMBC的三個(gè)內(nèi)角，則打六的最小值為—

15.已知函數(shù)f(x)=仁jl°nV若方程/⑺=數(shù)一l(a>0)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題(本大題共5小題，共75.0分)

16.在,妙初1中，角凰邀寓所對(duì)的邊分別為：外患?xì)w，函數(shù)負(fù):燧=鬟麻器域堿X：-礴共贏，微制圖娥

在密二網(wǎng)處取得最大值.

修

(1)求角4的大小.

(2)若漸=節(jié)且電血撅罟幽恥?=遐,求盛建渣的面積.

17.如圖，四邊形力BCD是正方形，P4L平面4BC0,EB//PA,AB=

PA=4,EB=2,F為PD的中點(diǎn).

(1)求證：AF1PC；

(2)求證：BD//nPEC；

(3)求銳角二面角。-PC-E的余弦值.

22

18.已知片分別為橢圓Gv：彳+rg=1的上、下焦點(diǎn)，片是拋物線C：./=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C,

與C在第二象限的交點(diǎn)，且|MF、|=

(1)求橢圓(；的方程；

(2)與圓./+(I，+1)：=1相切的直線/:+/),〃w0交橢C,于48,若橢圓C,上一點(diǎn)P滿足

()A+()H-A()/^求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

19.設(shè)數(shù)列｛5｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛九｝的前律項(xiàng)和又滿足Sn=2(bn-1),且。2=瓦一1，=打一1.

(1)求數(shù)列｛%｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)“=an-bn,求數(shù)列｛cn｝的前ri項(xiàng)和；

(3)證明：當(dāng)n?2時(shí)，后+后+忌+…+忌＞阮

20.已知/(%)=ax—Inx,aER.

(1)若/(%)在％=1處有極值，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)Q=l,時(shí)，求/(%)的值域.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解：/I={xGZ|-1<x<2}={-1,0,1,2},B={-1,0,1},

XnB={-1,0,1).

故選：A.

可求出集合力，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，一元二次不等式的解法，考查了計(jì)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：C

解析：

選項(xiàng)N中，^^。-2="+"-+2=0+義=0=劭<0是4>0且6<0的必要不

ababab

充分條件，所以X錯(cuò)；

選項(xiàng)3中，由為<%(生得4勺或彳:產(chǎn)°,，可以推出出<。5；但若。4<。5,則該

匕>1Q<g<1

數(shù)列有可能是擺動(dòng)的等比數(shù)列，如：1,-1,1,-1,1,-1……，此時(shí)推不出。1<%<生，

所以B錯(cuò)；選項(xiàng)。中，當(dāng)x0<0時(shí)，|^-=(1)I4>(1)°=1?3X4>4XS所以。錯(cuò).

故答案為C.

3.答案：D

解析：解：???/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，y?-

.??作出圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱作出其在y軸左側(cè)的圖象，如圖.

由圖可知：/(x)的值域是：2\

[-2,3]U[-3,2)=[-3,3].-----------———

故選：D.

先根據(jù)函數(shù)的奇偶性作出函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象，欲求/(x)的值....’”3

域，分兩類討論：①x>0；②x<0.結(jié)合圖象即可解決問(wèn)題.[

本題考查函數(shù)的圖象，考查同學(xué)們對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的把握程度以及數(shù)形結(jié)合的思維能力.易錯(cuò)的地

方是不會(huì)作出奇函數(shù)圖象的另一半.

4.答案：D

解析：解：由條形圖得到：

全國(guó)從2013年到2017年快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，

增長(zhǎng)速度呈現(xiàn)下降趨勢(shì).

故選：D.

全國(guó)從2013年到2017年快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，增長(zhǎng)速度呈現(xiàn)下降趨勢(shì).

本題考查條形圖的應(yīng)用，考查條形數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查

函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

5.答案：D

解析：試題分析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)?shù)讛?shù)0時(shí)，函數(shù)區(qū)是單調(diào)增函數(shù)，

二國(guó)且叵］,.,.兇，即兇.

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用.

6.答案：B

解析：解：PB_L平面力BC,AC1BC,

???4C1平面PBC,P4是三棱錐P—4BC的外接球直徑；

vRt^PBA^,AB=V22+l2=V5，PB=2,

??.PA=3,可得外接球半徑R=：P4=|,

二外接球的表面積S=4TTR2—97r.

故選：B.

PA是三棱錐P-力BC的外接球直徑.利用勾股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出PA=3,得外接球半徑R=I，

從而得到所求外接球的表面積.

本題在特殊三棱錐中求外接球的表面積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和球的表面

積公式等知識(shí)，屬于中檔題.

7.答案：B

解析：解：如圖過(guò)P作PE1拋物線的準(zhǔn)線于E,根據(jù)拋物線2、*//

\x=2^>'/

的定義可知，PE=PF\TV

???V2\PQ\=V3|PF|.在RtAPQE中，sin/PQE=tan/PQE=夜,

即直線PQ的斜率為遮，故設(shè)PQ的方程為：y=y[2x+m(m<0)

“22

由'號(hào)一y-消去、得3%2+4近771%+262+2=0.

y=V2x+m

則△1=8m2—24=0,解得m=—b，即PQ：y=V2x—V3

百得百得

由y-yf^x“2-2apx+2p=0>A2=8P2—8V3p=0>p=V3.

則拋物線的方程是M=2>/3y.

故選:B.

如圖過(guò)P作PE1拋物線的準(zhǔn)線于E,根據(jù)拋物線的定義可知，PE=PF

可得直線PQ的斜率為或，故設(shè)PQ的方程為：y=y/2x+m(m<0)

再依據(jù)直線PQ與拋物線、雙曲線相切求得p.

本題考查了拋物線、雙曲線的切線，充分利用圓錐曲線的定義及平面幾何的知識(shí)是關(guān)鍵，屬于中檔

題.

8.答案：C

解析：解：函數(shù)y=-3s譏x+4的增區(qū)間，即丁=$譏%的減區(qū)間，為[2/OT+?2/OT+：],FCGZ.

結(jié)合xG[-re,n],可得y=sinx的減區(qū)間為停,兀],

故選：C.

由題意，本題即求丫=5勿%的減區(qū)間，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論.

本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

9.答案：B

解析：解：在△力BC中，(4南一前)1下,

....，，，?

???(4AB—/C)-CB=0,

???(4AB-AC)■(AB-AC)=0;

如圖所示,

22

???4AB-SAB-AC+AC=0,

即5荏.前=4荏2+前2；

.=4|變甘+|變產(chǎn)>2X2gg|呷|_4

?,一5麗X園―5|福x|河—5'

當(dāng)且僅當(dāng)2|荏|=|前|時(shí),"=”成立;

此時(shí)sin4的最大值為-cos?/=

故選：B.

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算法則，結(jié)合基本不等式，求出cosA的最小值，即得sin力的

最大值.

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

10.答案：4+3i

解析：解：z=H"=-i(3+4i)=4-3i,

則復(fù)數(shù)3等于4+3i.

故答案為:4+3i.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

11.答案：一鬻

解析:

本題主要考查二項(xiàng)式定理的系數(shù)和的應(yīng)用問(wèn)題，這類問(wèn)題的解決方法通常是將展開式中的x進(jìn)行賦值,

一般常見(jiàn)的是把x賦值為-1,0,1等的問(wèn)題較多一些.

本題通過(guò)觀察，不難發(fā)現(xiàn)所求式子中的分子是x的奇次方項(xiàng)，分母是x的偶次方項(xiàng)，故可以令x=-1,

aaa

得至！]劭-ar+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32再利用令x=1,得至必。+ax+a2+3+4+s+

a6-a7=32,利用它們分別求得分子分母就可以求出結(jié)果.

解析:

解：令%=-1,得(2+I)5=a?！?+電—+04—=3、,

令1=1,得(2-1)5=Qo+%+02++%=1，

==

***Q]+g+-121,CLQ+0,2+122,

￡4+03+05=_121

J

^a0+a2+a4122

故答案是一震.

12.答案：-百

解析：解：設(shè)％=?，則k的幾何意義為圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率,

則由圖象可知當(dāng)直線y=依與圓在第二象限相切時(shí)，直線斜率最小，此時(shí)k<0,

則圓心(—2,0)到直線的距離d=懸，

即好=3,解得k=—百，

故(的最小值-6.

故答案是：一.

利用號(hào)的幾何意義，即可得到結(jié)論.

本題主要考查直線和圓的位置公式，以及直線的斜率的計(jì)算，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式是解決本題

的關(guān)鍵.

13答案.”.史.U

2.口術(shù)?243，3，9

解析：解：???甲、乙兩人進(jìn)行5局乒乓球挑戰(zhàn)賽，甲在每局中獲勝的概率為|,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.設(shè)

甲贏的局?jǐn)?shù)為f,

.?.一(5.9|),

??"(6=2)=曲|)2(y=高，

E(f)=5x|吟

?八_

D(f)=5x2-x-1=—10.

339

故答案為：篇果愛(ài)

由題意f?B(5,|),由此能求出P(f=2),E&),D(f).

本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審

題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

.答案：-

14TC

解析：解：4+B+C=TT,即4+8+C=71,設(shè)A=a,B+C=0,則Q+/?=TT,g^=l,

參考上述解法，則;+白+尹C+》(Q+S)；其10+"第」(10+6)，

DTUpUfJJIIICXpII

當(dāng)且僅當(dāng)上名即3a=3時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：—.

7T

參考上述解法，根據(jù)題意可知4+8+。=兀設(shè)4=08+。=0則。+夕=兀，4=1,將3+總

7TAB+C

即?+］乘以1化簡(jiǎn)整理，利用基本不等式即可求出最小值，注意等號(hào)成立的條件.

本小題主要考查類比推理、基本不等式求最值，解題的關(guān)健是等號(hào)成立的條件，中檔題.

15.答案：專2)

解析：解：由題意作圖如下，

a是直線y=ax-1的斜率,

由圖可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)(1,1)時(shí)，

有臨界值：。=平=2,

當(dāng)過(guò)點(diǎn)(3,1)時(shí)，

有臨界值：a=巖=|,

3—Uo

故結(jié)合圖象可得，

實(shí)數(shù)a的取值范圍是［|,2).

故答案為：［|,2).

由題意作圖，a是直線y=ax-1的斜率，從而化方程=ax-l(a>0)有且只有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根為函數(shù)/(%)與直線y=ax-1有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合求解.

本題考查了方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.

16.答案：(1)弟.=￡；(2)%鯉

..5

解析：試題分析：(1)求角4的大小，由函數(shù)翼璘=既謝第礴癖:-您撲蝴》國(guó)儂卷礴，對(duì)函數(shù)踴:向

進(jìn)行恒等變形，把函數(shù)陰『斕化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，即3貓端=向血落陽(yáng)-/3利用在需=網(wǎng)

qvYgvy'<y工色

F*1

處取得最大值，把I一口I代入郵"斕=贏抵?.僦，利用4怎(0,㈤，即可求出角4的值；(2)若

B>'''’'

演=節(jié)且或血感罌蝴》信=更理，求感蜀雕?的面積，由(1)知w=%，可考慮利用取^=3融或趣

涮3,%

來(lái)求，因此只需求出be的值即可，由域=字且做霸普幽1譴：=名居，可利用正弦定理

上一=-^一=上一得堿輒點(diǎn)導(dǎo)向媼殿:=也嫉血④，求出題普優(yōu)=濾的值，再利用余弦定理

蝴即通球此或siw.C滿

域產(chǎn)=4廬小￡產(chǎn)-簸就輅混就可求出be的值，從而可得僦朦窗的面積?

試題解析：（1）負(fù)質(zhì):=魯播?稔湍或阿感］甘蝴時(shí)翱

=蠢瓠r疆陵?澆弊痛一晶越/

=贏像潮催1/!-豌蟠&端標(biāo)題=贏d迤扁,-愚4分

W>?

費(fèi):璘在案='空處取得最大值，

3.S

:法照逑一，尸漏出㈣其中能圖惠，即恁=?-然叫求醫(yī)

?需瞿

f^ajr

屈（0,㈤二,感=:6分

（2）由正弦定理-="—=——得或擔(dān)蜘1感=巴士端血圖8分

?..4A.S'滿

即口取5=.之曲

一愚皆優(yōu)=爵，由余弦定理儲(chǔ)=獻(xiàn)“產(chǎn)-然就怎球就得

竄'?1s,

0=斛撲威jF-顰醞-為徽湛球通，即49=169-3bc,二,bc=40

.二L融;贏L亞=」徐領(lǐng)株:亞=珈412分

%翦鬟

考點(diǎn)：三角恒等變化，解三角形.

17.答案：（1）證明：依題意，P41平面ABC。，

如圖，以4為原點(diǎn)，分別以前、AB.Q的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

依題;意，可得4(0,0,0),B(0,4,0),C(4,4,0),￡)(4,0,0),P(0,0,4),F(0,4,2),F(2,0,2).

??■AF=(2,0,2)，PC=(4,4,-4)，

：.AF-PC=8+0+(-8)=0)

.-.AF1PC；

(2)證明：取PC的中點(diǎn)M,連接EM.

???M(2,2,2),'EM=(2,-2,0).'BD=(4,-4,0),

~BD=2麗，BD//EM.

vEMu平面PEC,BD<t平面PEC,

???8D〃平面PEC；

(3)解：■.-AP=AD,F為PO的中點(diǎn)，

.-.AF1PD,

又AF_LPC,PDOPC=P,PD,PCu平面PCD,

AF_L平面PCD,

故/=(2,0,2)為平面PCD的一個(gè)法向量.

設(shè)平面PCE的法向量為元=(x,y,z),

PC=(4,4,-4)，PE=(0,4,-2).

.(n-PC=0B，|(4X+4y-4z=0

"ln.PE=0,即I"2z=0'

令y=l,得x=l,z=2,故有=(1,1,2).

/-77?—>.AF-n2+0+4V3

??.cos<AF,…廨麗=印=三,

銳二面角D-PC-E的余弦值為它.

2

解析：本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面平行，直線與直線垂直的證明方法，考查空間

想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)以4為原點(diǎn)，分別以而、AB,而的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.求出相

關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算酢-PC=8+0+(-8)=0，證明AF1PC：

(2)取PC的中點(diǎn)M,連接EM.證明8D〃EM,然后證明B?！ㄆ矫鍼EC.

(3)求出行=(2,0,2)為平面PC。的一個(gè)法向量，用向量法求出平面PCE的法向量，利用空間向量求解

銳二面角。-PC-E的余弦值.

18.答案：解：(1)由題知尸式0,1),所以。2-爐=1,

又由拋物線定義可知MG=yu+1=|,得yM=1,

于是易知”（一半（），從而螭=（,

由橢圓定義知2a=MF1+MF2=4,得a=2,故爐=3,

從而橢圓的方程為工+二=

34

(2)設(shè)/(八M),8(x：,.r:,則由OA+OB=zOP知，

占+工=無(wú)5乂+y.=4%，且2k=i，①

34

又直線/:y=A（K+/）.hwO與圓x'+（j，+l）：=1相切，所以有=

由AwO,可得4=-w±1」工0)②

1-Z*

r=A(x+/).

又聯(lián)立「、、…消去】'得(4+3&：*+6A八+347-12=0

4x+3y*=12.

6k"3*7-12

且恒成立，且$+毛=一

A>0+3r'”工-4+3公

“78A/?-6A/84/

所以I；+v,=k(x.+.v.)*2kt=-------，所以得。(?。粇―7F-

-1--1-4+341蟲4，)〃4-3A)

16*7s

代入①式得

(4+3公)/十萬(wàn)(4+31)，曰"=篝

-------：——,t*0,/#±1

又將②式代入得,“II■

(7)+=1

VV

易知*3.咱一+心，所以人畤嗚,4）,

所以4的取值范圍為｛A|-2<A<2,flZ*oJLz

解析：本題考查的是橢圓，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓相交，與圓相切，向量的線性關(guān)系.

(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求出焦點(diǎn)片及點(diǎn)M坐標(biāo)，再利用橢圓的定義求出a值從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程；

(2)設(shè)出2(%i，%),B(x2,y2)P(x,y),由向量關(guān)系可把x,y用與+小，乃+%表示，聯(lián)立直線與橢圓

的方程消元后，由韋達(dá)定理可把x,y用鼠t表示，再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程可得匕34的一個(gè)

等量關(guān)系;再由直線，與圓相切，由圓心到直線的距離等于圓的半徑可得k,t的一個(gè)等量關(guān)系，從這兩

個(gè)等量關(guān)系中消去K可把;I?表示成t的函數(shù)，由函數(shù)的值域可求出;I的取值范圍.

19.答案：解：⑴??0=2(b-1),①

.?.當(dāng)n22時(shí)，Sn_i=2(垢_1-1)，②

由①一②得：b=2(小一bn_i)(n22),即b=2勾_1522),

又n=1時(shí)，S]=2(4—1),得瓦=2,

n

?■bn=2(nGN*).

設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的公差為d,貝以=宣=2,

所以即=2n—3(n6N*).

(2)由(1)知％=(2n-3)-2n,設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為〃，

則7；=-1x2+1x22+3x23+-+(2n-3)x2n,

27；=-1x22+1x23+3x24+-+(2n-5)x2n+(2n-3)x2n+1,

兩式作差得一7；=-1x2+2x22+2x23+-+2