1雙變量回歸與相關(guān)BivariateRegression&Correlation第9章2講課內(nèi)容：

第一節(jié)直線回歸(重點)

第二節(jié)直線相關(guān)(重點)

第三節(jié)秩相關(guān)第六節(jié)兩條回歸直線的比較第七節(jié)曲線擬合3第2、第3、第4章介紹了單變量計量資料的統(tǒng)計描述與統(tǒng)計推斷：P.13

例2-1：計算101名成年女子血清總膽固醇的平均指標與變異指標。P.51

例3-7：比較阿卡波糖膠囊(試驗組)與拜糖蘋膠囊(對照組)降低糖尿病人的空腹血糖值

有無差別。P.73例4-2：比較安慰劑組、降血脂新藥2.4g

組、降血脂新藥4.8g組、降血脂新藥7.2g組降低患者的低密度脂蛋白含量有無差別。4在醫(yī)學研究中常要分析兩變量間或多變量間的關(guān)系：年齡與血壓藥物劑量與動物死亡率肺活量與身高、體重、胸圍和肩寬等．．．5事物間的相關(guān)關(guān)系確定性關(guān)系兩變量間的函數(shù)表達式

圓的周長與半徑的關(guān)系：C＝2R

路程與速度、時間的關(guān)系：L＝ST

數(shù)學中X與Y的直線函數(shù)關(guān)系：Y＝a+bX

非確定性關(guān)系

兩變量間存在關(guān)系，但未精確到可以用函數(shù)表達式來描述。

年齡與血脂的關(guān)系；身高與體重的關(guān)系；體重與體表面積的關(guān)系。6第一節(jié)直線回歸LinearRegression7一、直線回歸的概念“回歸”是一個借用已久因而相沿成習的統(tǒng)計學術(shù)語。直線回歸是分析成對觀測數(shù)據(jù)中兩變量間線性依存關(guān)系的方法。8生物遺傳學上的“回歸”

PearsonK(英,1857～1936)1903年搜集了1078個家庭人員的身高、前臂長等指標的記錄，發(fā)現(xiàn)兒子身高(Y,英寸)與父親身高間(X,英寸)存在線性依存關(guān)系：

=33.73+0.516X

但不少身材高的父親的兒子成年后身高比其父親矮，不少身材矮的父親的兒子成年后身高比其父親高。GaltonF(英,1822～1911)將這種現(xiàn)象稱之為子一代身高向人群平均身高的“回歸”。9Regression釋義10FrancisGaltonFrancisGalton爵士(英,1822～1911)是達爾文(CharlesDarwin)的表弟。他對統(tǒng)計學的主要貢獻是提出“相關(guān)”與“回歸”的概念，用統(tǒng)計方法對進化論中的變異進行研究，開創(chuàng)了生物統(tǒng)計學。11KarlPearsonKarlPearson(英,1857～1936)是FrancisGalton的得意門生，他開創(chuàng)了統(tǒng)計方法學。他對統(tǒng)計學的主要貢獻：變異數(shù)據(jù)的處理、分布曲線的選配、卡方檢驗的提出、回歸與相關(guān)的發(fā)展。12天文學上的“回歸”地球繞太陽公轉(zhuǎn)，在公轉(zhuǎn)的同時本身還自轉(zhuǎn)，在本身自轉(zhuǎn)的同時地球的假設(shè)軸心還來回擺動。由于地球軸心的來回擺動，太陽光垂直照射到地球上就有南、北兩個極限位置(南、北緯23027’)，分別稱南、北回歸線，太陽光對赤道“回歸”垂直照射到南、北回歸線的時間分別為我國農(nóng)歷的冬至與夏至。

13日常生活中的“回歸”現(xiàn)象

1歲姜二狗，7歲姜二狗同學，20歲小姜同志，30歲姜科長，40歲姜處長，50歲姜局長，60歲姜老，70歲老姜，80歲姜二狗。

目前“回歸”已成為表示變量之間數(shù)量依存關(guān)系的統(tǒng)計術(shù)語，并且衍生出“回歸方程”、“回歸系數(shù)”等統(tǒng)計學概念。14例某地方病研究所調(diào)查了8名正常兒童的尿肌酐含量(mmol/24h),試估計尿肌酐含量(Y)對其年齡(X)的回歸方程。15年齡（歲）X尿肌酐含量Y(mmol/24h)hat16各散點呈直線趨勢但并非均在一條直線上根據(jù)原始數(shù)據(jù)擬合的直線方程與數(shù)理上二元一次函數(shù)方程在內(nèi)涵上有區(qū)別，稱為直線回歸方程。17二、直線回歸方程的求法最小二乘法在所有直線中最小18年齡（歲）X尿肌酐含量Y(mmol/24h)(8,2.8)(12,3.3)19b的意義斜率(slope)

年齡每增加1歲,尿肌酐含量平均增加0.1392(mmol/24h)b的單位為(Y的單位/X的單位)20a截距(intercept,constant)X=0時，Y的估計值a的單位與Y值相同當X可能取0時，a才有實際意義。a的意義21回歸直線的有關(guān)性質(zhì)直線通過均點各點到該回歸線縱向距離平方和較到其它任何直線者為小。

為來自的一個樣本對于X各個取值，相應Y的總體均數(shù)22XY23三、直線回歸方程中的統(tǒng)計推斷（一）回歸方程的假設(shè)檢驗1.方差分析（1）建立檢驗假設(shè)并確定檢驗水準

H0:β=0H1:β≠0α=0.05的分解重點24因變量Y總變異的分解X

Y

Y25SS總=SS回+SS殘26未引進回歸時的總變異：

(sumofsquaresofdeviationfrommean)引進回歸以后的剩余變異:

(sumofsquaresofresiduals)回歸的貢獻，回歸平方和：

(sumofsquaresduetoregression)Y的總變異分解27

(3)計算檢驗統(tǒng)計量F值SS總=lYY=1.0462

SS回=blXY=l2XY/lXX=5.8452/42=0.8134SS殘=SS總－SS回=1.0462－0.8134=0.2328v總=v回+v剩v總=n－1,v回=1,v殘=n－228F0.01(1,6)=13.74292.t檢驗回歸的剩余標準差扣除了X的影響后Y方面的變異;引進回歸方程后,Y方面的變異。30（2）計算檢驗統(tǒng)計量t值（1）建立檢驗假設(shè)并確定檢驗水準（3）確定P值下結(jié)論

31

（二）總體回歸系數(shù)

的可信區(qū)間此區(qū)間不包括β=0，結(jié)論為b有統(tǒng)計學意義。32

（三）利用回歸方程進行估計與預測1.總體均數(shù)的可信區(qū)間:給定X后對應Y的總體均數(shù)給定X后對應Y的樣本均數(shù)332.個體Y值的容許區(qū)間

給定X后對應個體Y值波動范圍34

XY(體重,kg)(體表面積,103cm2) 11.0 5.283 11.8 5.299 12.0 5.358 12.3 5.292 13.1 5.602 13.7 6.014 14.4 5.830 14.9 6.102 15.2 6.075 16.0 6.411例某地10名三歲兒童體重與體表面積351112131415164.55.05.56.06.57.0可信區(qū)間與容許區(qū)間示意

(confidenceband&toleranceband)X體重Y體表面積36第二節(jié)直線相關(guān)LinearCorrelation37生物遺傳學上的“相關(guān)”在回歸分析中，有理由認為父親身高決定兒子身高，故把父親身高作為自變量X，兒子身高作為應變量Y。PearsonK(英,1857～1936)在對同一家庭中兄弟與姐妹身高間關(guān)系進行分析時，發(fā)現(xiàn)兩者難以象父親與兒子身高間關(guān)系那樣區(qū)別自變量X與應變量Y，也不必計算回歸方程。GaltonF(英,1822～1911)將這種現(xiàn)象稱之為“相關(guān)”。38

當一個變量增大，另一個也隨之增大(或減少)，我們稱這種現(xiàn)象為共變，或相關(guān)。兩個變量有共變現(xiàn)象，稱為有相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系。一、直線相關(guān)的概念39相互關(guān)系示意圖r=0(h)r＝0(f)r＝-1(d)r＝1(b)0<r<1(a)-1<r<0(c)r

0(e)r

0(g)零相關(guān)正相關(guān)負相關(guān)完全正相關(guān)完全負相關(guān)零相關(guān)零相關(guān)零相關(guān)40相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)兩變量間的線性關(guān)系密切程度與相關(guān)方向用直線相關(guān)系數(shù)r表示。－1≤r≤1r＞0為正相關(guān)r＜0為負相關(guān)r＝0為零相關(guān)或無相關(guān)41二、相關(guān)系數(shù)的意義與計算

Pearson相關(guān)系數(shù)標準化后的協(xié)方差4243三、相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計推斷（一）相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗尿肌酐含量與年齡之間無直線相關(guān)關(guān)系44附表2附表1345（二）總體相關(guān)系數(shù)的可信區(qū)間相關(guān)系數(shù)的抽樣分布在≠0時呈偏態(tài)分布Z的1-α可信區(qū)間：變換后r的1-α可信區(qū)間：Z變換后服從正態(tài)分布46相關(guān)系數(shù)的抽樣分布

(||=0.8，n=100，1000次抽樣)-0.8-0.6-0.4-0.20.00100200300-1.0

00.20.40.60.81.00100200300

=-0.8

=0.847R.A.Fisher(1921)的z變換

z近似服從均數(shù)為，標準差為的正態(tài)分布。

48相關(guān)系數(shù)的z變換值的抽樣分布(=-0.8)00.51.01.52.0050100150200-0.8-0.6-0.4-0.20.00100200300-1.0變換前變換后49相關(guān)系數(shù)的z變換值的抽樣分布(=0.8)

01234050100150200

00.20.40.60.81.00100200300變換前變換后50相關(guān)系數(shù)的可信區(qū)間估計1.將r變換為z。2.根據(jù)z服從正態(tài)分布，估計z的可信區(qū)間。3.再將z變換回r。51求得8名健康成人血清總膽固醇與低密度脂蛋白膽固醇含量間的r=0.974，試求總體相關(guān)系數(shù)ρ的95%可信區(qū)間。總體相關(guān)系數(shù)ρ的95%可信區(qū)間：（0.85870.9954）z的95%可信區(qū)間：

52四、決定系數(shù)0﹤R2﹤1

Y的總變異中回歸關(guān)系所能解釋的百分比年齡可解釋尿肌酐含量變異性的77.75%53五、直線回歸與直線相關(guān)的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別

r沒有單位，b有單位；相關(guān)表示相互關(guān)系，沒有依存關(guān)系；回歸有依存關(guān)系；對資料的要求不同：

當X和Y都是隨機的，可以進行相關(guān)和回歸分析；

當Y是隨機變量，X是控制變量時，理論上只能作回歸而不能作相關(guān)分析；54

區(qū)別

I型回歸：Y是隨機變量，X是控制變量；

II型回歸：Y與X均是隨機變量。同一資料中由X推算Y與由Y推算X的回歸方程不同：55

聯(lián)系均表示線性關(guān)系符號相同：共變方向一致假設(shè)檢驗結(jié)果相同：tr=tb

可以互相換算：

56六、直線回歸與相關(guān)應用的注意事項相關(guān)：X與Y沒有主次，為雙向。回歸：Y依X變化而變化，為單向。自變量的選擇：原因、容易測量、變異小要有實際意義。1.根據(jù)分析目的選擇變量及統(tǒng)計方法57孩子的身高與小樹的高度間顯示出顯著的相關(guān)性58有無異常點，謹慎剔除。2.進行相關(guān)、回歸分析前要繪制散點圖，進行判斷59離群值對相關(guān)的影響60樣本的間雜性對相關(guān)性的誤導613.用殘差圖考察數(shù)據(jù)是否符合模型假設(shè)條件Y與X為線形關(guān)系誤差服從均數(shù)為0的正態(tài)分布方差相等各觀察單位獨立回歸模型應用前提條件：62e0630000eeee離群值缺乏二次項方差不齊不獨立64P值越小越有理由認為變量間直線關(guān)系存在，不能說關(guān)系越密切。直線回歸關(guān)系可以內(nèi)插，不宜外延。當樣本含量較大時，統(tǒng)計學檢驗的作用減弱。r0.05/2,100=0.1954.結(jié)果的解釋及正確應用65第三節(jié)秩相關(guān)RankCorrelation一、Spearman秩相關(guān)66應用條件：1.不服從雙變量正態(tài)分布而不宜作積差相關(guān)分析；2.總體分布類型未知；3.原始數(shù)據(jù)用等級表示。67死因類別死因構(gòu)成(%)WYPLL構(gòu)成(%)(1)X(2)Y(4)10.030.0520.140.3430.200.9340.430.6950.440.3860.450.7970.471.1980.654.7490.952.31100.965.95112.441.11122.693.53133.073.48147.785.65159.8233.951618.9317.161722.598.421827.969.33合計——WYPLL:workyearsofpotentiallifelost表9-3某省1995年到1999年居民死因構(gòu)成與WYPLL構(gòu)成68死因類別死因構(gòu)成(%)W