第二章

圖像分析與正交變換中國礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院主要內(nèi)容2.1圖像信號的數(shù)字化2.2離散傅立葉變換DFT2.3離散余弦變換DCT2.6圖像的統(tǒng)計特性2.1圖像信號的數(shù)字化數(shù)字圖像處理的前提：連續(xù)圖像離散化

數(shù)字圖像。圖像的數(shù)字化的過程：①采樣；②量化。所謂圖象的數(shù)字化指將代表圖像的連續(xù)模擬信號轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散數(shù)字信號的變換過程。包括圖像像素空間坐標(biāo)(x,y)的網(wǎng)格化(即離散化采樣)和光強度(即灰度)I的量化。采樣：即取樣或抽樣，對連續(xù)變化的圖像在空間坐標(biāo)上作離散化的過程，選取的采樣點為像素；在采樣點上的函數(shù)值(或亮度值)為采樣值或樣值。采樣為圖像信號的定義域離散化。量化：原圖像經(jīng)采樣后離散化為像素陣形,但每個像素的亮度值仍為連續(xù)量，將這些連續(xù)的無窮多個像素值離散化為有限個整數(shù)值(常用2n表示)的近似表示的操作稱為量化。量化為圖像信號的值域離散化。

注意：由于f(i,j)代表該點圖像的光強度，而光是能量的一種形式，故f(i,j)必須大于零，且為有限值，即：0＜f(i,j)＜∞。數(shù)字化采樣一般是按正方形點陣取樣的，除此之外還有三角形點陣、正六角形點陣取樣。正方形網(wǎng)格正六邊形網(wǎng)格2.1.1圖像的掃描與采樣圖像在空間上的離散化稱為采樣。圖像是一種二維分布的信息，采樣是在x軸(垂直方向)和y軸（水平方向）兩個方向上進行。采樣過程：先沿垂直方向按一定間隔從上到下順序地沿水平方向直線掃描，取出各水平線上灰度值的一維掃描。而后再對一維掃描線信號按一定間隔采樣得到離散信號，即先沿垂直方向采樣，再沿水平方向采樣這兩個步驟完成采樣操作。采樣點間隔的選取：依據(jù)原圖像中包含的細(xì)微濃淡變化來決定。一般,圖像中細(xì)節(jié)越多,采樣間隔應(yīng)越小。對一幅圖像采樣時，若每行（即橫向）像素為M個，每列（即縱向）像素為N個，則圖像大小為M×N個像素。采樣間隔2.1.2二維取樣定理圖像的空間采樣間隔為圖像頻譜截止頻率為圖像的采樣頻率為

二維采樣定理為（Nyguist

準(zhǔn)則）選擇適當(dāng),使大于或等于原圖像覆蓋頻率間隔兩倍時，則采樣不出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。圖像滿足二維采樣定理則采樣不會出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。

亞取樣和混疊效應(yīng)亞采樣：混疊效應(yīng)：指取樣圖像頻譜的各次諧波發(fā)生重疊亞采樣易造成圖像信號的頻譜的混疊效應(yīng)。采樣時的注意點：采樣間隔的選取。采樣間隔取得不合適除了畫面出現(xiàn)馬賽克之外，還會發(fā)生頻率的混疊現(xiàn)象。采樣間隔效果示意圖取樣圖像的數(shù)學(xué)表示：設(shè)fi(x,y)為原圖像信號，fp(x,y)為采樣圖像信號，二維圖像信號用沖激函數(shù)陣列采樣則有采樣圖像信號為

構(gòu)造一個理想的低通濾波器為低通濾波器的沖激響應(yīng)為問題：如何從取樣圖像恢復(fù)原圖像？則從取樣圖像恢復(fù)原圖像恢復(fù)圖象應(yīng)該等于取樣圖象和低通濾波器h(x,y)的卷積.2.1.3圖像的量化采樣后所得各像素的連續(xù)灰度值的離散化稱為量化。量化誤差：若連續(xù)濃淡（灰度）值用z表示，則對于滿足zi≤z≤zi+1的z值都量化為整數(shù)值qi。qi稱為像素的灰度值。而z與qi的差稱為量化誤差。

以有限個離散值近似表示無窮多個連續(xù)量，一定會產(chǎn)生量化誤差。由此產(chǎn)生量化失真。1.（等間隔量化）均勻量化設(shè)原圖像灰度變化范圍從r0到rk,r0最暗,rk最亮。把這灰度動態(tài)范圍均勻分為k等份,每一層賦予一個固定碼字:q0到qk-1。量化過程就是把圖像像素樣本灰度值與各層灰度判決值相比較,凡落在相鄰兩層之間像素賦予該層的值。等間隔量化：采樣值灰度范圍等間隔分割非等間隔量化：采樣值灰度范圍不等間隔分割一幅圖像及其直方圖等間隔量化效果示意圖2.非等間隔量化依據(jù)一幅圖像具體的灰度值分布的概率密度函數(shù)，對于像素灰度值頻繁出現(xiàn)的灰度值范圍，量化間隔小一些。而對像素灰度值極少出現(xiàn)的灰度范圍，則量化間隔大一些。討論：a．對亮度值急劇變化部分粗量化，對亮度值變化平緩部分細(xì)量化。b．估計所有可能亮度值出現(xiàn)概率大的亮度值細(xì)量化，概率小的量度值粗量化。c．采樣點固定，自適應(yīng)改變采樣密度。

非等間隔量化效果示意圖充分考慮到人眼的識別能力之后，目前非特殊用途的圖像均為8bit量化，即用0～255描述“黑～白”。低bit量化的偽輪廓現(xiàn)象示意圖在3bit以下的量化，會出現(xiàn)偽輪廓現(xiàn)象。

圖像信號的正交變換

主要有DFT、DCT、DWT、

DHT等。

圖像信號正交變換的優(yōu)點：

圖像數(shù)據(jù)量大，如果直接在空間域處理，則計算量大，且隨著圖像樣點數(shù)目增加而計算量急劇增加，難以實時處理。采用圖像信號正交變換，將輸入圖像信號從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，可以把空間域中卷積或相關(guān)運算簡化為頻率域相乘處理，大大減少計算量，提高處理速度，可改變難以實時處理局面。2.2離散傅立葉變換DFT

DFT的優(yōu)勢：①建立了離散時域（或空間域）與離散頻域間關(guān)系。②DFT大大減少計算量，提高處理速度。提供的FFT算法，徹底改變難以實時處理的局面。時域（或空間域）卷積或相關(guān)運算

頻率域相乘運算一維Fourier變換定義設(shè)為x的函數(shù)，若滿足，那么，下列二式成立：

x為時域變量，u為頻率變量，以上公式稱為Fourier變換對。Fourier變換另一種形式令則是一個復(fù)數(shù)，稱為的Fourier譜，稱為相位譜。一維Fourier變換Fourier變換二維函數(shù)若滿足絕對可積條件，那么二維Fourier變換對存在。Fourier譜：相位譜：二維Fourier變換2.2.1一維離散傅立葉變換設(shè)對1個連續(xù)信號f(x)等間隔采樣得1個離散序列，設(shè)共采了N個樣，則這個離散序列可表示為{f(n)|n=0,1,…,N-1}，令x為離散實變量，u為離散頻率變量，則其離散傅立葉變換對定義式中x,u=0,1,…,N-1通常傅立葉變換為復(fù)數(shù)形式，即式子中R(u)和I(u)分別為F(u)的實部和虛部。通常傅立葉變換也可為指數(shù)形式，即其中：通常稱|F(u)|為f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜，

(u)為f(x)的相位譜。2.2.2二維離散傅立葉變換定義二維離散信號{f(x,y)|x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1}的離散傅立葉變換對為：式中x,u=0,1,…,M-1；y,v=0,1,…,N-1。

x,y為時域變量，u,v為頻域變量。1.二維DFT的定義二維傅立葉變換的復(fù)數(shù)形式，即式子中R(u,v)和I(u,v)分別為F(u,v)的實部和虛部。二維傅立葉變換的傅立葉頻譜，即二維傅立葉變換的相位譜，即2.二維DFT的性質(zhì)①可分離性---二維離散傅立葉變換的實現(xiàn)：即二維離散傅立葉變換正反變換運算可分別分解成兩次一維離散傅立葉變換運算：那么對于正變換式子可分成下面兩個式子：在上式中，每個式子都為一個一維離散傅立葉變換，所以二維離散傅立葉變換F(u,v)可由f(x,y)先按行進行一維離散傅立葉變換，再按列進行一維離散傅立葉變換得到。用兩次一維DFT計算二維DFT圖示：②平移性質(zhì)表明只要將f(x,y)乘以因子，再進行離散傅立葉變換，則可將圖像的頻譜原點(0,0)移動到圖像中心(M/2,N/2)處。③旋轉(zhuǎn)不變性表明如果時域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)

角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣角度。下面為傅立葉頻譜旋轉(zhuǎn)不變性示意圖(a)圖表示原圖像；(b)圖表示原圖像傅立葉頻譜；(