2021年浙江省新高考測評卷數(shù)學(xué)（第六模擬）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合A={x\-2<x<4},8={%]x>21,C=|x|.x<3},則()

A.{M-2<元<4}B.x|2<x<4}C.3-2cx<3}D.{x|2Wx<3}

3i

2.復(fù)數(shù)z=[^^的虛部和實部的平方和是（)

751

A.1B.-C.D.-

993

x+y<1,

3.若實數(shù)％,y滿足約束條件《3x—yNl,則z=x-2020y的最大值為()

x-y<l

A.-2020B.2020C.4039D.4040

(3丫

4.r^J的展開式中/的系數(shù)是（)

A.60B.80C.90D.120

5.已知P：\x+a\<2,q：x^a,且〃是q的充分不必要條件，則實數(shù)，的取值范

圍是（）

A.B.S，-i）c.[1,+co)D.(L+°°)

6.若b=ln正，c=log43,貝ij()

2In2

A.c>h>aB.c>a>bC.a>c>hD.a>b>c

7.設(shè)國,x2,W《{TO,1,2},那么滿足考28的所有有序數(shù)組

（玉,％2，七）的組數(shù)為（）

A.45B.46C.47D.48

22

8.已知橢圓與+/=1（a>b>0）的左、右焦點分別是耳，F(xiàn)2,點p在橢圓上,

27r

。是坐標(biāo)原點，Nf；尸鳥=/耳。尸=7,則橢圓的離心率是（）

-

A3—^2口3-上-百^/10^^/2

A.-----D.-----C.-A/-I-U-----nD.--------

2222

9.在口相。中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若〃一"=4.，貝ij

sinA+sin2Z?=()

A.0B.—C.D.—

223

—尤2+6尤-7(x>3),

10.已知函數(shù)={/、J、若關(guān)于x的方程

|log2(x+l)|(-l<x<3),

[/(x)[+可,(力+m+2=0有6個根，則用的取值范圍為()

A.(-co,2-2后)B.(-2,2-2^)C.(-2,4w)D.[-2,2-273)

二、填空題

11.已知三倍角公式sin3a=4sinasin(60°+a)sin(60°-a),則

sin20°sin60°sin100°sin140°=.

12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為.

5滿足忻+同鄧萬一斗則后在乙方向上的投影的最小值是

13.已知向量少,

三、雙空題

14.已知等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項和為S“，公差為d.若&7=102,3=12,則4=

-----，§20=-------

15.已知隨機變量X的分布列為P(X=〃)=(〃++2)("=1,2,3),其中4為

實常數(shù)，則。=,E(3X)=.

16.已知雙曲線。的右焦點為R(2,0),且C經(jīng)過點A(4,3喬)，則雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)

方程為；若直線AE與>軸交于點8,點P(x,y)是C右支上一動點，且

ye(—36,36)，直線AP與以A8為直徑的圓相交于另一點O，貝|］|/%卜|即的最

大值是.

17.如圖，直四棱柱ABC?！狝4G2的底面是邊長為2的正方形，M=3,E，F(xiàn)

分別是AB，BC的中點，過點R,E，尸的平面記為a,則平面a截直四棱柱

ABCD-A^QD,所得截面的面積為,平面a與平面BgG。所成角的余弦值

四、解答題

18.已知函數(shù)/(X)=COS(2(UX-［，+4COS2COX-((<y>0)的圖象與x軸的兩個

TT

相鄰交點間的最短距離為2.

(1)求〃。);

(2)求函數(shù)“X)在［0,句上的單調(diào)遞增區(qū)間.

19.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,ZADC=90°,

二面角P—AO—C的余弦值為g,M是棱PC的中點，PA=PD=AD=2,BC=1,

CD=G

(1)求證：AD上PB；

(2)求直線與平面Q4O所成角的正弦值.

11工1“+I

20.已知數(shù)列｛%｝滿足q-----+—=3

3??+1??

13/I+1

(1)證明：數(shù)列——“j為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式;

3

(2)求證：q+%+…+?！?lt;彳.

21.設(shè)。為坐標(biāo)原點，M是x軸上一點，過點M的直線交拋物線C：；/=而于點八，

B,且礪?礪=-4?

(1)求點M的坐標(biāo);

32

(2)求而『一怛蛆的最大值.

22.已知函數(shù)/(x)=x-ae"+l(aeR).

(1)討論函數(shù)“X)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)4=1時，令g(x)=/(lnx),若函數(shù)g(x)的圖象與直線y=+m相交于不同

的兩點A，3,設(shè)為，(辦＜々)分別為點A,3的橫坐標(biāo)，求證:—<A:+1<—

王

參考答案

1.D

【分析】

根據(jù)交集的概念運算可得結(jié)果.

【詳解】

Ac8={x[2?x<4},Ac8cC={x[2Wx<3},

故選：D.

2.A

【分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【詳解】

“3i（l+2"）3,-6夜r24J

z（1—2岳）（1+2衣）93+「

所以z的虛部為L，實部為一冥I,

33

門、2/萬丫

故z的虛部和實部的平方和是士+-工=1.

⑴13）

故選：A

3.B

【分析】

作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)進行變形，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義并數(shù)形結(jié)合可得最優(yōu)解，得到

目標(biāo)函數(shù)的最值.

【詳解】

根據(jù)題意作出可行域如圖中陰影部分所示，

（0,—1）時，Z取得最大值，為2020.

故選：B

4.C

【分析】

利用通項公式得〃=2,可得系數(shù)

【詳解】

+的展開式的通項公式為（a=C#5T

令5-（r=2,得r=2,則/的系數(shù)為C；X32=90.

故選：C

【點睛】

求二項式展開式指定項的系數(shù)，利用通項公式4+i=C/"7/和x的基指數(shù)相等可求.

5.A

【分析】

首先求出P,記為A,再求出q,記為3,依題意可得AU8,即可得到不等式，解得即

可；

【詳解】

解：因為0：|x+a|<2,所以夕：一。-2<x<-a+2,記為A={x|-a-2cxe-a+2}；

q-.x>a,記為8={x|xNa}.因為。是q的充分不必要條件，所以AU8

所以。<—u—2,解得Q4—1.

故選：A

6.B

【分析】

由己知可得。=幽￡,h^~,，=嶺殳a,利用對數(shù)式的單調(diào)性可得答案.

222

【詳解】

10g23

a=---=現(xiàn)/,/>=lnV2=—,c=log43=,由于log,3>log,e>1,

21n22242

0<In2<1,c>a>b.

故選：B.

7.C

【分析】

對西的取值進行分類討論，結(jié)合已知分析x2和七的取值情況，然后利用排列組合知識求解

即可.

【詳解】

①當(dāng)％=2時，%+考=0,則4=芻=0，共1組；

②當(dāng)玉=1時，—14尤;+447,則與，不同時為2,共C：?C；-1=42-1=15組；

③當(dāng)玉=0時，04x；+x；S8,則￡，%為{-1,0,1,2}中任一元素，共C：C：=42=16

組；

④當(dāng)％i=T時，則乙，七不同時為0，共。］。：-1=42-1=15組.

故滿足題意的有序數(shù)組共有47組.

故選：C.

8.D

【分析】

利用，得到△P^Os△居耳尸，利用陷=黑，求得|尸用=伍、

3rr21P

利用定義得到|尸鳥|=2a-J五，再利用余弦定理得解.

【詳解】

根據(jù)/耳尸鳥=/小力=彳以及/尸與瑪=NO"P,得△P￡Os△6片尸，于是

照=照，所以|尸耳|=岳，又忸耳|+盧閭=勿，所以|尸引=2〃-應(yīng)c.在△瑪耳P中,

mi?勺

由余弦定理，得4c2=（0cy+（2a-0c）2—2x0c（2a—0c）x（—；）,g|J

c?+缶,一為2=0,所以e?+缶-2=0,因為0<e<l，所以橢圓的離心率e=巫二史

故選D

【點睛】

本題以橢圓為載體，考查三角形相似、余弦定理以及橢圓的定義與性質(zhì).利用三角形相似、

橢圓定義得到焦半徑是解題關(guān)鍵.

9.A

【分析】

由余弦定理得2/?cosA=Z?+c,再由正弦定理得2sin3cosA

=sinB+sinAcosB+sinficosA,化簡可得sinB=sin（8-A）,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得

28=〃+A可得答案.

【詳解】

由〃2一"=hc^h2+c2-a2=hc+c2，由余弦定理得2/?cosA=Z?+c,

再由正弦定理得2sin5cosA=sin3+sinC=sin5+sin（A+5）

=sin3+sinAcosB+sinBcosA,即sinSeosA=sin3+sinAcosB，得

sin3=sin（8-A）,由于8￡（0,4），,

所以方一月二B（舍去）或3—4+3=兀，故23=%+4,于是

sin2B=sin（〃+A）=-sinA,所以sinA+sin23=0.

故選：A.

10.B

【分析】

作出函數(shù)/(x)的圖象，令，=/(x),則原方程可化為*+〃2+2=0在(0,2)上有2個

不相等的實根，再數(shù)形結(jié)合得解.

【詳解】

作出函數(shù)/(力的圖象如圖所示.令"/(x),則［/(切2+/硝司+/〃+2=0可化為

t2+mt+m+2=0,要使關(guān)于x的方程"(x)了+久外力+加+2=0有6個根，數(shù)形結(jié)合

知需方程產(chǎn)+皿+機+2=0在(0,2)上有2個不相等的實根人飛，不妨設(shè)0＜%＜弓＜2,

m2-4（機+2）刈

八mA

。＜一萬＜2

g=t2+mt+m+2,則＜解得——26，故山的取

g（0）=m+2乂|

g（2）=442m+Q

值范圍為(-2,2-2石),

故選B.

【點睛】

形如y=g［/(x)］的函數(shù)的零點問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，處理問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵是

作出了(X)，g(x)的圖象.若已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，通常的做法是令r=/(x),先

估計關(guān)于r的方程g(r)=O的解的個數(shù)，再根據(jù)/(x)的圖象特點，觀察直線＞=，與

y=/(x)圖象的交點個數(shù)，進而確定參數(shù)的范圍.

3

11.——

16

【分析】

根據(jù)三倍角公式，誘導(dǎo)公式及&=40。，代入求值即可.

【詳解】

因為sin20°sin100°sin140°=sin20°sin100°sin40°

=sin40°sin(600+40。)sin(60°-40°)

=-sin120°=—.

48

所以sin20°sin60°sin100°sinl40°=—x—.

8216

3

故答案為：一

16

13

12.——

3

【分析】

根據(jù)三視圖確定空間幾何體的形狀，運用體積公式進行求解即可.

【詳解】

由該幾何體的三視圖可知，該幾何體為一個長方體與一個三棱錐的組合體,

長方體的體積為：72x72x2=4-

三棱錐的體積為：1x：x2xlxl=J,故該幾何體的體積為4+，=U.

32333

13

故答案為：—

3

13.-

2

【分析】

對已知不等式兩邊平方并化簡，利用平面向量數(shù)量積的定義和投影的概念，可得最小值.

【詳解】

由|2@+6卜—可得—得4M2+4ZZ0+5229H一6萬./；+廬，所以

2b

2ah>a-設(shè)G，5的夾角為夕，則2同?忸卜05。2區(qū)『，所以問即口在,

同

方向上的投影的最小值是二.

2

故答案為：—

2

14.3210

【分析】

利用等差數(shù)列的通項公式與前〃項和公式求出q，d,再利用等差數(shù)列的前“項和公式求

出520.

【詳解】

由己知及等差數(shù)列的通項公式與求和公式可得=4+101=12①,

[^71

S”=17q+^~^d=102②，由①②得q=-18,d=3,

20x19

二§20=20x(-18)+x3=210.

2

故答案為：3：210

1029

1C5.

36

【分析】

利用分布列的性質(zhì)求得a=與，進而求得尸（X=1）,P（X=2）/（X=3）,得到E（/）,

最后利用數(shù)學(xué)期望的相關(guān)公式求解即可.

【詳解】

a

P(X=n)

++〃+1〃+2

由尸（X=1）+P（X=2）+P（X=3）=1,即@一@=1,得。=與，

551

XXP/XX

)一

-=(--，-=

/9-\6-

18

,55129

E(X)lx—+n2xF3X-=——

18618

29

故答案為:

~6

16.2_=]48

3

【分析】

設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為0-芯=1(“>0力>0),利用待定系數(shù)法可求得雙曲線C的標(biāo)

準(zhǔn)方程，利用平面向量數(shù)量積的運算法則可得出歸山療。|=49-歸尸「，求出I尸石的最小

值，即可得解.

【詳解】

由題意可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是冬一盤=1(。>0,b>0)，

a2+/72=c2=4r21

6r=1

則〈1645，解得<2-所以，雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)

—T--7=1[b-=3

ab~

直線AE的斜率為％"=上叵=芷，直線AE的方程為y

4-22

在直線A尸的方程中，令x=0,可得y=—3石，即點8(0,—3有卜

因為》-=笑迤，?=>,；%.,所以，點尸為線段AB的中點，

故以為直徑的圓的圓心為b，且半徑為|A尸|=7,

如圖，連接心、PF、BD，

由于點。是以AB為直徑的圓上異于A、3的一點，則8￡>_LAD，

由雙曲線的幾何性質(zhì)可知|P可min=C-a=\,

PA=PF+FA>PB=PF+FB=PF-FA^

\PA\\PD\^-PAPD=-PA（PB+BD^-PAPB-BDPA=-PAPB

=-（而+司?（即-司=病-而2=|研T研=49-|PF|2<49-1=48.

2

故答案為：％2_2_=］；48.

3

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是會轉(zhuǎn)化，會根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義把|04卜］。。|轉(zhuǎn)化為

-序?而，再根據(jù)平面向量的知識求解.

177上有

23

【分析】

設(shè)直線EF分別與DA,DC的延長線交于點P，Q,連接2尸，交A4于點M,連接DXQ,

交CG于點N,得到截面，再利用直四棱柱的棱長和結(jié)構(gòu)特征得到截面的各邊長，利用分

割法求得截面面積；取FN的中點G,連接QG,CG,結(jié)合平面與平面所成角的定義得到

NQGC為平面0與平面BAG。所成的角或其補角，最后利用余弦定理求解即可.

【詳解】

設(shè)直線EF分別與DA,DC的延長線交于點P,Q,連接。/，交AA,于點〃，連接DXQ,

交CG于點N,連接ME，F(xiàn)N,

，平面a截直四棱柱ABCD-AB￡Di的截面為五邊形D.MEFN.

由平行線分線段成比例知：AP=BF=1,故ZP處1=3,故4DRP為等腰直角三角形，

AAM^AP^l,故A|M=2,則AM=RN=2VI,ME=EF=FN=E.連接M/V,易

知MN=23，

，五邊形D】MEFN可以分成等邊三角形D\MN和等腰梯形MEFN兩部分，

等腰梯形MEFN的高h(yuǎn)="及了-/［叵）=當(dāng)，則等腰梯形MEF7V的面積為

亞總.又SDMT-25

???五邊形RMEFN的面積為2舟半=當(dāng).

易如CF=CQ=CN=l,則由勾股定理得田="。=尸。=點.

取FN的中點G,連接CG,QG,則,QGLFN,且CG=昱,QG=—^

22

故NQGC為平面a與平面88。。所成角或其補角.

13,

CG2+QG2_℃2/+］一］=6

在^QGC中，由余弦定理得cos/QGC=

2CGQG一°垃指一3

2x---x—

22

平面a與平面BB,C,C所成角的余弦值為且.

3

故答案為：述，且.

23

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：根據(jù)直棱柱的性質(zhì)，應(yīng)用平面的延展性補全截面，得到面a截

ABC?！?5G〃的截面為五邊形。MEFN,求各邊長度，進而求面積；根據(jù)二面角定

義，找到其對應(yīng)的平面角并求其余弦值.

JI7乃

18.(1)0：(2)單調(diào)遞增區(qū)間為0,—,—,71.

_12jL12.

【分析】

(1)將x=0代入函數(shù)/(x)的解析式，直接求值即可；

(2)先由三角恒等變換得到/(x)=6sin(25+g)-|，令/(x)=()，解出方程的根，

結(jié)合“X)的圖象與x軸的兩個相鄰交點間的最短距離為S，求出3=1,即可得到了(力的

解析式，然后利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可.

【詳解】

(1)〃0)=cos［一舍)+4cos20-1=-；+4-g=°.

C\6?c1c/1+COS2cox7

(2)f(X)=--sin2(ox——cos2a)x+4x-------------

v72222

33

昱sin2a)x+—cos2a)x——

222

3

=百sin2a>x+—

I32

71

令〃%)=0,則sin2a)x+-

3

所以2a工=生+2氏或2a>x+生=」+2女兀，ZwZ,

3333

,,左萬97rz兀，“

故工=—或工=----1------,keZ,

co6coCD

所以/(x)的圖象與x軸的兩個相鄰交點間的最短距離為—

6/6

故CD—\,/(x)=73sinf2x+^j-1.

3

717乃

當(dāng)XG[O,〃]時,2xH--G—

333

n7T7T37r77r7萬

當(dāng)2X+《Gpj,即或2x+(G--,即X￡[——，何時，/(X)單調(diào)

33223---------1122

遞增,

JT7萬

故/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,—,—、兀

12

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：熟練掌握三角恒等變換公式以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.(1)證明見解析；(2)名叵2.

51

【分析】

(1)取A。的中點Q，連接PQ，BQ,可知AOJ_平面P8Q,從而可證明.

(2)先證明平面PBQ±平面ABCD，過點P作PG_L8Q于點G,則PG，平面ABCD,

故以G為原點，以G8,G尸所在直線分別為>,z軸，過點G且與平行的直線為x軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角.

【詳解】

(1)、證明：取AD的中點Q，連接尸Q，BQ,

因為所以PQJ-AO.

由題意知8C//AO,BC=-AD,

2

又￡>Q=；A￡>,所以BC//DQ,BC=DQ,

所以四邊形BCOQ為平行四邊形，所以。C//3Q,

因為NA0C=9O。，所以O(shè)CA。，所以3QLA。.

又PQ,BQu平面PBQ,PQC\BQ=Q,

所以ADJ_平面P8Q,

又PBu平面P8Q,所以ADLPB.

(2)由AO1平面PBQ,AOu平面A8CZ),得平面P6Q，平面ABCO,過點尸作

26,8。于點6,則PG_L平面ABC。，故以G為原點，以GB,GP所在直線分別為

丁，z軸，過點G且與AD平行的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

易知NPQ8為二面角P—AO—C的平面角，所以cos/PQ8=；.

在心/SPOG中，PQ=0cosZPQG^-,得QG=@，PG=-，

333

則QG=§6Q,

/<11,_立,U力,Ln/f_i1,,U力,rL1i,空,U力p[o,o,竺],當(dāng),

I3)I233J

所以而G會叫

設(shè)平面PAD的法向量為7=(x,y,z)，

用2瓜門

x------y--------z=0,

n-PA=Q,33

則《即.

n-PD=Q幣2瓜.

—x------y--------z=0,

33

則尤=0,令y=2叵,則z=T,故｝=(0,2立,一1)為平面P4。的一個法向量.

設(shè)直線MA與平面PAD所成的角為仇

762V102

則sin8=kos(〃,

2

即直線MA與平面PAD所成角的正弦值為竺叵.

51

方法點睛：向量法求解空間幾何問題的步驟：建、設(shè)、求、算、取

1、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條互相垂直的直線的交點為原點，沒有三條垂線時需做

輔助線；建立右手直角坐標(biāo)系，盡可能的使得較多的關(guān)鍵點落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面內(nèi).

2、設(shè)：設(shè)出所需的點的坐標(biāo)，得出所需的向量坐標(biāo).

3、求：求出所需平面的法向量

4、算：運用向量的數(shù)量積運算，驗證平行、垂直，利用線面角公式求線面角，或求出兩個

平面的法向量的夾角的余弦值

5、取：根據(jù)題意，或二面角的范圍，得出答案.

4

20.(1)證明見解析；%313"+(-1廣]；1(2)證明見解析.

【分析】

13〃+2

(1)由題得--------，即得數(shù)列〈------為等比數(shù)列,再求數(shù)列{4}

“44

??+i4714J

的通項公式;

(2)對〃分類討論利用放縮法求證.

【詳解】

(1)因為「一+」-=3H,

%a?

1邛+2113"

所以--------二3“制----

-4a?

193”

又-4--7444

13,,+3

所以數(shù)列!------1卜是以己為首項，一1為公比的等比數(shù)列,

44

紀(jì)，，13n+'3(,-i

所以--------=—?(—11)V

%44,

13

即一=:[3"+(-1廣」

冊4

11,a_13

(2)由4

當(dāng)〃24且〃為偶數(shù)時,

4(1431+3"4

4-------<—

3Un-l+l3"-133"T.3"+2-3"T3

?114111

所以q+。2+…+：+

363予十/…+F

1

112313

<—+戛五—+一一<—

231-1227545

3

3

當(dāng)〃23且〃為奇數(shù)時，“+1為偶數(shù)，則+…+4,+4+1<M，

3

由于?！?gt;。，則q+外■1----*■見<1?

綜上，

a,+a2+???+??<|.

【點睛】

方法點睛：方法技巧若數(shù)列的通項公式中含有則在求數(shù)列的前〃項和時，常需要對

n分奇偶分別求解.

21.(1)(2,0)；(2)2.

【分析】

/2\(2\

(1)設(shè)A^-,y}LB，M(根,0),由就麗=-4得到y(tǒng)%=-8,設(shè)直線

<*/'>

AB:x="+m與拋物線方程聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系得到〃2=2,即可得到點M的坐標(biāo);

111

(2)由題意及弦長公式得到|AM|,忸制,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到---------T-----------=—

|AM|2\BMf4

32

進而得T-忸M的表達(dá)式，然后構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值，即可

\AM\

得到\A3M2f一忸閘的最大值.

【詳解】

(1)設(shè)A個，%，B，〃(私0),

I4/I—/

2、

yLv

則礪?礪=4刃解得,必=-8,

x=ty+m,、

設(shè)直線=+聯(lián)立方程，得<2-得y2-4(y—4加=0,

[y-=4x,

由根與系數(shù)的關(guān)系知，-4/〃=,％=—8,所以m=2,

故點"的坐標(biāo)為(2,0).

(2)由(I)知，x+%=4f,yty2=-8.

易知=jri/R，\BM\=^\+r\y2\，

]1=114+416f2+16_1

所以一(l+『)y；+(l+/)￡一(1+巧―64(1+巧一"

(\

3?1132

則;~~^-|BM|=32----