課題：解直角三角形復(fù)習(xí)（1）授課教師：紀(jì)孟穎課型：復(fù)習(xí)課學(xué)校：東鐵營二中年級(jí)：初三教學(xué)背景分析教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課選自義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第二十章《解直角三角形》總結(jié)與復(fù)習(xí).本章在已經(jīng)研究了直角三角形中角之間關(guān)系、邊之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究其邊角之間的關(guān)系，主要內(nèi)容包括銳角三角函數(shù)和解直角三角形.本章既是對(duì)前面相似三角形知識(shí)的復(fù)習(xí)和對(duì)函數(shù)認(rèn)識(shí)的擴(kuò)充，又為學(xué)習(xí)三角函數(shù)和解斜三角形做準(zhǔn)備.本節(jié)課是復(fù)習(xí)的第一課時(shí)，通過學(xué)生前期梳理的知識(shí)點(diǎn)和前測(cè)結(jié)合，梳理本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并發(fā)現(xiàn)學(xué)生的知識(shí)疏漏，并繼而通過將解一般三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題的教學(xué)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高分析問題解決問題的能力，為后續(xù)解決實(shí)際生活中的測(cè)量與計(jì)算問題奠定基礎(chǔ).學(xué)生情況分析學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)的概念、相似三角形及解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，也具備梳理知識(shí)點(diǎn)的能力，但缺乏知識(shí)之間的聯(lián)系性；對(duì)于在一般三角形中求邊的問題，學(xué)生習(xí)慣于在三角形內(nèi)部或向水平邊上作垂線，但有時(shí)并不可解，學(xué)生無法將一般三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形，所以對(duì)于解題方法還需再分析歸納.教學(xué)目標(biāo)1.完成解直角三角形基礎(chǔ)知識(shí)建構(gòu).2.在交流做法的過程中，體會(huì)綜合分析法在解直角三角形中的應(yīng)用.3.通過探究合理添加輔助線的方法，歸納解題思路，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：綜合分析法在解直角三角形中的再應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：合理添加輔助線將一般三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.教學(xué)方法和手段教學(xué)方法：探索交流、講練結(jié)合.教學(xué)手段：多媒體，彩紙，學(xué)案.教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖教師展示學(xué)生知識(shí)梳理圖，有以下四種類型：1、知識(shí)點(diǎn)羅列型2、體現(xiàn)知識(shí)聯(lián)系型3、含基本圖形型4、解題型這些知識(shí)點(diǎn)之間是什么關(guān)系，下面我們將結(jié)合前測(cè)，完成本章的知識(shí)建構(gòu).學(xué)生說出梳理的知識(shí)點(diǎn).通過前測(cè)的方式，總結(jié)知識(shí)點(diǎn)、發(fā)現(xiàn)學(xué)生的知識(shí)疏漏，并在此過程中梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.（一）基礎(chǔ)復(fù)習(xí)、知識(shí)梳理前測(cè)：1.已知：如圖，每個(gè)小正方形的邊長1，求sinB、cosB、tanB.教師展示學(xué)生做法.這兩個(gè)直角三角形中求得∠B的三角函數(shù)值是一樣的嗎？為什么？還記得我們是用什么知識(shí)證明的嗎？相似三角形是認(rèn)識(shí)正弦、余弦、正切概念的基礎(chǔ)，那為什么可以把銳角的正弦、余弦、正切稱之為函數(shù)？銳角三角函數(shù)體現(xiàn)了角與邊比值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這與我們以往認(rèn)識(shí)的函數(shù)不太一樣，所以本章的學(xué)習(xí)擴(kuò)充了我們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí).銳角三角函數(shù)是一類新的函數(shù)，我們現(xiàn)階段只學(xué)習(xí)它的概念，對(duì)于圖象和性質(zhì)的研究我們高中之后再學(xué)習(xí).本題還考察了什么知識(shí)點(diǎn)？tan60°·cos30°-tan45°+sin30°本題考察的知識(shí)點(diǎn)是什么？對(duì)于這些函數(shù)值，你記憶的方法是什么？教師出示表格，直角三角形貼紙.3.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BC=，∠1=30°，求AC.請(qǐng)學(xué)生分享不同解題思路.做法1做法2做法3引導(dǎo)學(xué)生思考：你認(rèn)為哪種方法更簡(jiǎn)單，為什么？他們是怎么想到求銳角A或B的度數(shù)？你認(rèn)為角A或角B哪個(gè)更好求？為什么當(dāng)時(shí)沒想到？你認(rèn)為拿到幾何題目后如何分析才能避免繁瑣的過程？教師小結(jié)：由已知想可知，由未知想需知是分析問題的重要方法.4.如圖，△ABC中，∠B=30°，AB=6，∠C=135°，求BC.本題只有8名同學(xué)完成，請(qǐng)未完成的同學(xué)說出你的困難，其他同學(xué)能否幫助他解決.做法1：過C作CD⊥BC.ΔBDC是直角三角形，其中∠B=30°，但不具備邊的條件.困難：AB邊被破壞了，不知道BD、AD.預(yù)設(shè)：設(shè)BD=x，則AD=6-x，CD=.問題：如何建立等量關(guān)系列方程呢？結(jié)論：ΔADC不是直角三角形，無法建立AD與CD之間的等量關(guān)系.做法2：過C作CD⊥AB.ΔBDC、ΔADC是直角三角形，其中∠B=30°，但兩個(gè)三角形都：不具備邊的條件.困難：AB邊被破壞了，不知道BD、AD.預(yù)設(shè)：設(shè)BD=x，則AD=6-x，CD=.問題：如何建立等量關(guān)系列出方程？結(jié)論：在RtΔADC中，∠A=15°，但現(xiàn)在不知道其三角函數(shù)值，無法建立等量關(guān)系.做法3：過A作AE⊥BC.ΔACE、ΔABE是直角三角形，在RtΔABE中，∠B=30°，AB=6，可求出AE、BE；在RtΔACE中，∠ACE=45°，AE=3，可求出CE、BC.我們嘗試了過C點(diǎn)向AB做垂線不可行，過A點(diǎn)向BC做垂線可行，那么過B向AC做垂線呢？思考：通過前面的分析，你認(rèn)為如何添加輔助線才能求出BC？結(jié)論：構(gòu)造兩個(gè)含30°、45°、60°的三角形，才能求出BC.如果將圖形這樣換個(gè)位置擺放，構(gòu)造直角三角形的方法變嗎？如果還是這個(gè)題，沒有前面的分析過程，直接給這個(gè)圖形，你想如何構(gòu)造？預(yù)案1：由C向AB引垂線預(yù)案2：由B向AC引垂線預(yù)案3：由A向BC引垂線我們習(xí)慣于在三角形內(nèi)部或向水平方向的邊作垂線，但是有時(shí)并不可行，因?yàn)闃?gòu)造方法與位置無關(guān)，與角度有關(guān).思考：通過前面的分析，你認(rèn)為解決一般三角形問題的關(guān)鍵是什么？在解題的過程中，我們發(fā)現(xiàn)有一條邊特別重要，它是聯(lián)系兩個(gè)直角三角形的橋梁，是哪條邊？小結(jié)：一般三角形中求邊的方法（教師補(bǔ)充）：1、構(gòu)造含30°，45°，60°的直角三角形.2、重用公共邊.注：看到135°，想到它的補(bǔ)角45°，由此延長BC，過A向BC引垂線，從另一個(gè)思路去構(gòu)造直角三角形.學(xué)生回答：不變.在直角三角形中，當(dāng)銳角度數(shù)一定時(shí)，兩邊的比值是固定的，可以用相似三角形的知識(shí)證明.學(xué)生回答：當(dāng)角度一定時(shí)，兩邊的比值固定不變.勾股定理學(xué)生回答：30°、45°、60°的三角函數(shù)值.通過記表格找規(guī)律，兩直角三角板.學(xué)生講解思路.學(xué)生回答：做法2、3更簡(jiǎn)單，因?yàn)橹恍枰庖粋€(gè)三角形.所求邊AC既在Rt△ABC也在Rt△ADC中，△ADC中具備角的條件，但不具備邊的條件，如果求CD會(huì)比較麻煩；在△ABC中具備邊的條件，不具備角的條件，但求角會(huì)很方便.其中∠A更好求，當(dāng)時(shí)沒想到主要是看到雙垂直圖形就想倒角了，并沒有分析已知條件.學(xué)生簡(jiǎn)化解題過程，完善知識(shí)梳理圖.學(xué)生說困難，想辦法.學(xué)生板書解題過程.學(xué)生回答：在RtΔBAF中，其中AB=6，∠A=15°，但不知道其三角函數(shù)值，所以不好求.學(xué)生作答.學(xué)生回答：不變.學(xué)生作圖、分析并說明理由.學(xué)生自由發(fā)言、互相補(bǔ)充.通過前測(cè)1，鞏固勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義.此題借用網(wǎng)格中邊角的優(yōu)勢(shì)，一是讓學(xué)生體會(huì)在求銳角三角函數(shù)時(shí)，當(dāng)所求角不在直角三角形中時(shí)需要構(gòu)造直角三角形，為后面解一般三角形奠定基礎(chǔ)；二是體會(huì)銳角三角函數(shù)與角度有關(guān)，與三角形大小無關(guān).通過前測(cè)2，鞏固30°、45°、60°的三角函數(shù)值.通過前測(cè)3，鞏固解直角三角形.通過學(xué)生的講解及教師問題的引導(dǎo)，體會(huì)綜合分析法的重要性.通過前測(cè)4學(xué)生講解，發(fā)現(xiàn)其思維障礙點(diǎn)，在學(xué)生交流不同做法的過程中體會(huì)如何作垂線構(gòu)造直角三角形求邊長，培養(yǎng)理性精神.通過變換圖形位置，提高學(xué)生的識(shí)圖能力和推理能力；通過對(duì)比做法，體會(huì)角度不變，解決問題的核心方法不變.通過總結(jié)一般三角形中的求邊問題，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.（二）應(yīng)用知識(shí)、能力提升變式：如圖，△ABC中，∠B=30°，BC=2，∠C=105°，求AB.（標(biāo)圖，寫結(jié)果）學(xué)生獨(dú)立思考并作答.通過改變∠C的度數(shù)，落實(shí)學(xué)生合理添加輔助線，激發(fā)學(xué)生的求異思維，提高學(xué)習(xí)興趣.（三）回顧知識(shí)、課堂小結(jié)通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？1、知識(shí)梳理：關(guān)注知識(shí)點(diǎn)間、章前后知識(shí)的聯(lián)系.在一般三角形中求邊：（1）做垂線段，把一般三角形問題轉(zhuǎn)化為含30°，45°，60°的直角三角形問題.（2）重用公共邊.教師用幾何畫板演示圖形拆分，翻折、旋轉(zhuǎn)的變化過程.3、綜合分析法：由已知想可知，由未知想需知.學(xué)生小結(jié).通過小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)反思的意識(shí)，提高歸納、總結(jié)的能力.（四）課堂檢測(cè)如圖，△ABC中，∠B=75°，∠C=60°，BC=2，求AC.學(xué)生獨(dú)立完成.反饋基本知識(shí)、方法的落實(shí)情況.課后作業(yè)你能在∠B=30°，AB=2不變的情況下，嘗試改變∠C的度數(shù)并求出BC嗎？△ABC中，∠B=30°，AB=2，∠C=，求BC.板書設(shè)計(jì)解直角三角形復(fù)習(xí)（1）知識(shí)梳理：一般三角形中求邊的方法：前測(cè)再現(xiàn)：變式：1.構(gòu)造直角三角形2.重用公共邊學(xué)生活動(dòng)的說明 本節(jié)課學(xué)生活動(dòng)主要是由三個(gè)活動(dòng)組成的：活動(dòng)1：學(xué)生結(jié)合前測(cè)和知識(shí)梳理，完成本章知識(shí)建構(gòu)；活動(dòng)2：學(xué)生對(duì)比前測(cè)3的不同解題思路，體會(huì)綜合分析法的重要性；活動(dòng)3：學(xué)生經(jīng)歷說出前測(cè)4不同添加輔助線的方法、困難點(diǎn)和分析的過程，體會(huì)并歸納出在一般三角形中求邊的方法；通過圖形變換，感受其構(gòu)造方法與位置無關(guān)，與角度有關(guān).教學(xué)設(shè)計(jì)