./集合的基本關(guān)系及運(yùn)算[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別一些給定集合的子集．在具體情境中,了解空集和全集的含義．2.理解兩個(gè)集合的交集和并集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集與并集．理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,會(huì)求給定子集的補(bǔ)集．[要點(diǎn)梳理]要點(diǎn)一、集合之間的關(guān)系1.集合與集合之間的"包含"關(guān)系集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合,我們說(shuō)集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,我們說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系,稱集合A是集合B的子集<subset>.記作：,當(dāng)集合A不包含于集合B時(shí),記作AB,用Venn圖表示兩個(gè)集合間的"包含"關(guān)系：要點(diǎn)詮釋：〔1"是的子集"的含義是：的任何一個(gè)元素都是的元素,即由任意的,能推出．〔2當(dāng)不是的子集時(shí),我們記作"<或>",讀作："不包含于"〔或"不包含"．真子集：若集合,存在元素xB且,則稱集合A是集合B的真子集<propersubset>.記作：AB<或BA>規(guī)定：空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.2.集合與集合之間的"相等"關(guān)系,則A與B中的元素是一樣的,因此A=B要點(diǎn)詮釋：任何一個(gè)集合是它本身的子集,記作．要點(diǎn)二、集合的運(yùn)算1.并集一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作：A∪B讀作："A并B",即：A∪B={x|xA,或xB}Venn圖表示：要點(diǎn)詮釋：〔1"xA,或xB"包含三種情況：""；""；""．〔2兩個(gè)集合求并集,結(jié)果還是一個(gè)集合,是由集合A與B的所有元素組成的集合<重復(fù)元素只出現(xiàn)一次>.2.交集一般地,由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合,叫做集合A與B的交集；記作：A∩B,讀作："A交B",即A∩B={x|xA,且xB}；交集的Venn圖表示：要點(diǎn)詮釋：〔1并不是任何兩個(gè)集合都有公共元素,當(dāng)集合A與B沒(méi)有公共元素時(shí),不能說(shuō)A與B沒(méi)有交集,而是．〔2概念中的"所有"兩字的含義是,不僅"A∩B中的任意元素都是A與B的公共元素",同時(shí)"A與B的公共元素都屬于A∩B"．〔3兩個(gè)集合求交集,結(jié)果還是一個(gè)集合,是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.3.補(bǔ)集全集：一般地,如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素,那么就稱這個(gè)集合為全集,通常記作U.補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A,由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集<complementaryset>,簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集,記作：補(bǔ)集的Venn圖表示：要點(diǎn)詮釋：〔1理解補(bǔ)集概念時(shí),應(yīng)注意補(bǔ)集是對(duì)給定的集合和相對(duì)而言的一個(gè)概念,一個(gè)確定的集合,對(duì)于不同的集合U,補(bǔ)集不同．〔2全集是相對(duì)于研究的問(wèn)題而言的,如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問(wèn)題,則為全集；而當(dāng)問(wèn)題擴(kuò)展到實(shí)數(shù)集時(shí),則為全集,這時(shí)就不是全集．〔3表示U為全集時(shí)的補(bǔ)集,如果全集換成其他集合〔如時(shí),則記號(hào)中"U"也必須換成相應(yīng)的集合〔即．4.集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論若A∩B=A,則,反之也成立若A∪B=B,則,反之也成立若x<A∩B>,則xA且xB若x<A∪B>,則xA,或xB求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合,區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是"且"與"或",在處理有關(guān)交集與并集的問(wèn)題時(shí),常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件,結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá),增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法.[典型例題]類型一、集合間的關(guān)系例1.集合,集合,那么間的關(guān)系是〔.A.B.C.=D.以上都不對(duì)舉一反三：[變式1]若集合,則〔.A.B.C.=D.例2.寫出集合{a,b,c}的所有不同的子集.舉一反三：[變式1]已知,則這樣的集合有個(gè).[變式2]同時(shí)滿足：①；②,則的非空集合有〔A.16個(gè)B.15個(gè)C.7個(gè)D.6個(gè)例3．集合A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={<x,y>|y=x2+1},D={y=x2+1}是否表示同一集合？舉一反三：[變式1]設(shè)集合,,則〔A.B.C.D.[變式2]設(shè)集合,,則與的關(guān)系是〔A.B.C.D.[變式3]設(shè)M={x|x=a2+1,aN+},N={x|x=b2-4b+5,bN+},則M與N滿足<>A.M=NB.MNC.NMD.M∩N=例4．已知若M=N,則=．A．－200B．200C．－100D．0舉一反三：[變式1]設(shè)a,bR,集合,則b-a=<>類型二、集合的運(yùn)算例5.設(shè)集合,,,求.舉一反三：[變式1]已知集合M={y|y=x2-4x+3,xR},N={y|y=-x2-2x+8,xR},則M∩N等于<>A.B.RC.{-1,9}D.[-1,9]例6.設(shè)集合M={3,a},N={x|x2-2x<0,xZ},M∩N={1},則M∪N為<>A.{1,3,a}B.{1,2,3,a}C.{1,2,3}D.{1,3}舉一反三：[變式1]〔1已知：M={x|x≥2},P={x|x2-x-2=0},求M∪P和M∩P；〔2已知：A={y|y=3x2},B={y|y=-x2+4},求：A∩B,A∪B；〔3已知集合A={-3,a2,1+a},B={a-3,a2+1,2a-1},其中aR,若A∩B={-3},求A∪B.[變式2]設(shè)集合A={2,a2-2a,6},B={2,2a2,3a-6},若A∩B={2,3},求A∪B.例7.已知全集,求CuA.舉一反三：[變式1]設(shè)全集U={xN+|x≤8},若A∩<CuB>={1,8},<CuA>∩B={2,6},<CuA>∩<CuB>={4,7},求集合A,B.類型三、集合運(yùn)算綜合應(yīng)用例8．已知全集A={x|-2≤x≤4},B={x|x>a}.〔1若A∩B≠,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；〔2若A∩B≠A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；〔3若A∩B≠且A∩B≠A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．舉一反三：[變式1]已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,則a的取值范圍是〔 A．<-∞,-1] B．[1,+∞ C．[-1,1] D．〔-∞,-1]∪[1,+∞例9.設(shè)集合.〔1若,求的值；〔2若,求的值.舉一反三：[變式1]已知集合,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.[變式2]設(shè)全集,集合,若CuA,求實(shí)數(shù)的取值范圍.[鞏固練習(xí)]1．設(shè),,,則〔A．B．C．D．2．已知全集,則正確表示集合和關(guān)系的韋恩〔Venn圖是〔3．若集合,,且,則的值為<>A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或04．已知集合滿足,那么下列各式中一定成立的是〔A．ABB．BAC．D．5．若全集,則集合的真子集共有<>A．3個(gè)B．5個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)6．設(shè)集合,,則<>A．B．C．D．7．用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：〔1；〔2；〔3.8.若集合,,,則的非空子集的個(gè)數(shù)為.9．若集合,,則_____________．10．設(shè)集合,,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.11．已知,則_________.12．已知集合,若,請(qǐng)寫出滿足上述條件得集合.13．已知,,,求的取值范圍.14．已知集合,且,求實(shí)數(shù)的值．15．設(shè)全集,,.[鞏固練習(xí)]1．1.設(shè)A={<x,y>||x+1|+<y-2>2=0},B={-1,2},則必有〔A、B、C、A=BD、A∩B=2.集合M={y|y=x2-1,x∈R},N={x|y=},則M∩N等于〔A、{<-,1>,<,1>}B、C、D、3．已知全集,則正確表示集合和關(guān)系的韋恩〔Venn圖是〔4．已知集合滿足,那么下列各式中一定成立的是〔A．ABB．BAC．D．5．若集合,,且,則的值為<>A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或06．設(shè)集合,,則<>A．B．C．D．7．設(shè),則.8．某班有學(xué)生55人,其中體育愛(ài)好者43人,音樂(lè)愛(ài)好者34人,還有4人既不愛(ài)好體育也不愛(ài)好音樂(lè),則