-.z."數(shù)軸"例題講解為了學(xué)好有理數(shù)的概念，使思維適應(yīng)數(shù)集的擴(kuò)大，我們把現(xiàn)實(shí)生活量的有關(guān)模型，如直尺、杠桿、溫度計(jì)、儀表上的刻度，所具有的本質(zhì)屬性抽象化，建立起數(shù)軸模型．?dāng)?shù)軸的建立，賦予了抽象的代數(shù)概念以直觀表象．?dāng)?shù)學(xué)一開(kāi)場(chǎng)就是研究“數(shù)〞和“形〞的，從古希臘時(shí)期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來(lái)．?dāng)?shù)與形有著密切的聯(lián)系，我們常用代數(shù)的方法研究圖形問(wèn)題；另一方面，也利用圖形來(lái)處理代數(shù)問(wèn)題，這種數(shù)與形相互作用，是一種重要的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合思想．利用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段，數(shù)軸是聯(lián)系數(shù)與形的橋梁，主要表達(dá)在：1．運(yùn)用數(shù)軸直觀地表示有理數(shù)；2．運(yùn)用數(shù)軸形象地解釋相反數(shù)；3．運(yùn)用數(shù)軸準(zhǔn)確地比擬有理數(shù)的大??；4．運(yùn)用數(shù)軸恰當(dāng)?shù)亟鉀Q與絕對(duì)值有關(guān)聯(lián)的問(wèn)題．例題講解【例1】(1)數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，如果點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，且、兩點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是．(省競(jìng)賽題)(2)在數(shù)軸上，點(diǎn)、分別表示和，則線段的中點(diǎn)所表示的數(shù)是．(省競(jìng)賽題)〔3〕點(diǎn)A、B分別是數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使線段沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)到，且線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是3，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是___，點(diǎn)移動(dòng)的距離是____．(“希望杯〞邀請(qǐng)賽試題)思路點(diǎn)撥(1)確定點(diǎn)的位置；(2)在數(shù)軸上選擇兩個(gè)特殊點(diǎn)，探索它們的中點(diǎn)所表示的數(shù)與所選兩點(diǎn)所表示的數(shù)的聯(lián)系；〔3〕在平移的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度不變，即．【例2】如圖，在數(shù)軸上有六個(gè)點(diǎn)，且，則與點(diǎn)所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是________．思路點(diǎn)撥利用數(shù)軸提供的信息，求出的長(zhǎng)度．【例3】比擬與的大?。悸伏c(diǎn)撥因?yàn)楸硎镜臄?shù)有任意性，直接比擬常會(huì)發(fā)生遺漏的現(xiàn)象，假設(shè)把各個(gè)圍在數(shù)軸上表示出來(lái)，借助數(shù)軸討論它們的大小，則形象直觀，解題的關(guān)鍵是由無(wú)意義得出，據(jù)此3個(gè)數(shù)把數(shù)軸分為6個(gè)局部．【例4】閱讀下面材料并答復(fù)以下問(wèn)題．(1)閱讀下面材料：點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，、兩點(diǎn)之間的距離表示為．當(dāng)、兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)在原點(diǎn)，如圖1，當(dāng)、兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，①如圖2，點(diǎn)、都在原點(diǎn)的右邊；②如圖3，點(diǎn)、都在原點(diǎn)的左邊，；③如圖4，點(diǎn)、在原點(diǎn)的兩邊，；綜上，數(shù)軸上、兩點(diǎn)之間的距離．(2)答復(fù)以下問(wèn)題：①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和－3的兩點(diǎn)之間的距離是；②數(shù)軸上表示和－1的兩點(diǎn)和之間的距離是,如果則為_(kāi)_______；③當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí)，相應(yīng)的的取值圍是．(市中考題)思路點(diǎn)撥閱讀理解從數(shù)軸上看，的意義．：有效地從圖形、圖表獲取信息是信息社會(huì)的根本要求．從數(shù)軸上獲取有關(guān)信息是解有理數(shù)問(wèn)題的常用技巧，主要包括：①數(shù)軸上諸點(diǎn)所表示的數(shù)的正負(fù)性；②數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．(1)字母表示數(shù)是代數(shù)的特點(diǎn)，但字母具有抽象性，所以在條件允許的圍賦予字母以特殊值來(lái)計(jì)算、判斷或探求解題思路，能化抽象為具體，這就是我們常說(shuō)的“賦值法〞，但這種方法不能作為解題的規(guī)過(guò)程．(2)純粹的代數(shù)方法比擬抽象，如能借助圖形(利用數(shù)形結(jié)合的思想方法)，則可使許多抽象的概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化，甚至簡(jiǎn)單化．【例5】試求｜*-1｜十｜*－2｜+｜*－3｜+…｜*－1997｜的最小值．(**市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥由于*的任意性、無(wú)限性，因此，通過(guò)逐個(gè)求出代數(shù)式的值解題明顯困難，不妨從絕對(duì)值的幾何意義，利用數(shù)軸入手，借助【例4】的結(jié)論解題．【例6】(1)工作流水線上順次排列5個(gè)工作臺(tái)、、、、，一只工具箱應(yīng)該放在何處，才能使工作臺(tái)上操作機(jī)器的人取工具所走的路程最短"(2)如果工作臺(tái)由5個(gè)改為6個(gè)，則工具箱應(yīng)如何放置能使6個(gè)操作機(jī)器的人取工具所走的路程之和最短"(3)當(dāng)流水線上有個(gè)工作臺(tái)時(shí)，怎樣放置工具箱最適宜"思路點(diǎn)撥把流水線看作數(shù)軸，工作臺(tái)、工具箱看作數(shù)軸上的點(diǎn)，這樣，就找到了解決本例的模型——數(shù)軸，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為【例4】的形式求解．：設(shè)、、、…是數(shù)軸上依次排列的點(diǎn)表示的有理數(shù)．①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，假設(shè)，則的值最??；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，假設(shè)，則的值最?。子?xùn)練一、根底夯實(shí)：1.在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為,則a-3=________.2.a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖，則、、中最大的是________.〔第2題〕〔第3題〕〔第4題〕3.(第12屆“希望杯〞邀請(qǐng)賽試題)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖,假設(shè)m=│a+b│-│b-1│-│a-c│-│1-c│,則1000m=__________.4.如圖,工作流程線上A、B、C、D處各有1名工人,且AB=BC=CD=1,現(xiàn)在工作流程線上安放一個(gè)工具箱,使4個(gè)人到工具箱的距離之和為最短,則工具箱的安放位置是__________.5.有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)│a+b│-│c-b│的結(jié)果為()A.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c〔第5題〕〔第6題〕〔第8題〕6.(第15屆省競(jìng)賽題)如圖,數(shù)軸上標(biāo)出假設(shè)干個(gè)點(diǎn),每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位,點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)a,b,c,d,且d-2a=10,則數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是().A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.D點(diǎn)7.│*+1│+│*-1│的最小值是().A.2B.0C.1D.-18.(第18屆省競(jìng)賽題)數(shù)a、b、c、d所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上的位置如下圖,則a+c與b+d的大小關(guān)系是().A.a+c<b+dB.a+c=b+dC.a+c>b+dD.不確定的9.(市“迎春杯〞競(jìng)賽題)數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，A、B之間的距離為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3,求所有滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離的和.10.兩數(shù)a、b,如果a比b大,試判斷│a│與│b│的大小.二、能力拓展11.有理數(shù)a、b滿足a>0,b<0,│a│<│b│,用“〈〞將a、b、-a、-b連接起來(lái)_________.12.│*+1│+│*-2│+│*-3│的最小值是_________.13.數(shù)軸上表示負(fù)有理數(shù)m的點(diǎn)是點(diǎn)M,則在數(shù)軸上與點(diǎn)M相距│m│個(gè)單位的點(diǎn)中,與原點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是________.(2001年省競(jìng)賽題)14.假設(shè)a>0,b<0,則使│*-a│+│*-b│=a-b成立的*的取值圍是_________.(市選拔賽題)15.如圖,A、B、C、D、E為數(shù)軸上的五個(gè)點(diǎn),且AB=BC=CD=DE,則圖中與P點(diǎn)表示的數(shù)比擬接近的一個(gè)數(shù)是().A.-1B.1C.3D.516.設(shè)y=│*-1│+│*+1│,則下面四個(gè)結(jié)論中正確的選項(xiàng)是().A.y沒(méi)有最小值B.只有一個(gè)*使y取最小值C.有限個(gè)*(不止一個(gè))使y取最小值；D.有無(wú)窮多個(gè)*使y取最小值17.不相等的有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C,假設(shè)│a-b│+│b-c│=│a-c│,則點(diǎn)B().A.在A、C點(diǎn)右邊；B.在A、C點(diǎn)左邊；C.在A、C點(diǎn)之間；D.以上均有可能18.試求│*-2│+│*-4│+…+│*-6│+│*-2000│的最小值.19.電子跳蚤落在數(shù)軸上的*點(diǎn)K0,第一步從K0向左跳1個(gè)單位到K1,第二步由K1向右跳2個(gè)單位到K2,第三步由K2向左跳3個(gè)單位到K3,第四步由K3向右跳4個(gè)單位到K4…,按以上規(guī)律跳了100步時(shí),電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)K100所表示的數(shù)恰是19.94,試求電子跳蚤的初始位置K0點(diǎn)所表示的數(shù).三、綜合創(chuàng)新20.如圖,在數(shù)軸上(未標(biāo)出原點(diǎn)及單位長(zhǎng)度)點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn),點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)的三個(gè)數(shù)a、b、c之積是負(fù)數(shù)，這三個(gè)數(shù)之和與其中一數(shù)相等，設(shè)p為a、b、c三數(shù)中兩數(shù)的比值，求p的最大值和最小值。21.(省荊州市競(jìng)賽題)*城鎮(zhèn)沿環(huán)形路上依次排列有五所小學(xué):A1、A2、A3、A4、A5,它們順次有電腦15臺(tái)、7臺(tái)、11臺(tái)、3臺(tái)、14臺(tái),為使各校的電腦數(shù)一樣,允許一些小學(xué)向相鄰小學(xué)調(diào)出電腦,問(wèn)怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的電腦總臺(tái)數(shù)最少"并求出電腦的最少總臺(tái)數(shù).答案：1.0或-62.3.-20004.放B、C(含B、C)之間任一處5.A6.B7.A8.A9.12提示:點(diǎn)A表示的數(shù)為3或-3,滿足條件的點(diǎn)B共有4個(gè).10.當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊時(shí),0<b<a,則│a│>│b│;當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)的左邊時(shí),b<a<0,則│a│<│b│;當(dāng)點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的右、左兩側(cè)時(shí),b<0<a,這時(shí)無(wú)法比擬│a│與│b│的大小關(guān)系;當(dāng)點(diǎn)A正好在原點(diǎn)位置時(shí),b<a=0,則│b│>│a│;當(dāng)點(diǎn)B正好在原點(diǎn)位置時(shí),0=b<a,則│a│>│b│.11.b<-a<a<-b.12.413.2m14.b≤*≤a15.C16.D17.C18.500000提示:當(dāng)1000≤*≤1002時(shí),原式有最小值,這個(gè)最小值為:(1002-2)+(1004-4)+…+(2000-1000)=500000.19.-30.06提示:設(shè)k0點(diǎn)表示的有理數(shù)為*,則k1、k2…,k100點(diǎn)所表示的有理數(shù)分別為*-1,*-1+2,*-1+2-3,…,*-1+2-3+4…-99+100,由題意得:*-1+2-3+4-…-99+100=19.94,解得*=-30.06.20.由圖知abc<0,知b<0<a<c或b<a<c<0,即原點(diǎn)在點(diǎn)B、A之間或在點(diǎn)C右邊.又由a、b、c之和與其中之一相等,可知有兩數(shù)的和為0,即這兩數(shù)互為相反數(shù),故原點(diǎn)只能在點(diǎn)B、A之間且是線段AB的中點(diǎn),其中b=-a,c=3a,=3,=-3,分別為比值的最大值與最小值.21.提示:如圖,用A、B、C、D、E順時(shí)針排列依次表示一至五所小學(xué)且順次向鄰校調(diào)給*1,*2,*3,*4,*5臺(tái)電腦,依題意得7+*1-*2=11+*2-*3=3+*3-*4=14+*4-*5=15+*5-*=10得*2=*1-3,*3=*1-2,*4=*1-9,*5=*1-5此題要求y=│*1│+│*2│+│*3│+│*4│+│*5│=│*1│+│*1-3│+│*1-2│+│*1-9│+│*1-5│的最小值.由絕對(duì)值幾何意義知,當(dāng)*1=3時(shí),y有最小值12,此時(shí)有*2=0,*3=1,*4=-6,*5=-2,即一小向二小調(diào)出3臺(tái),三小向四小調(diào)出1臺(tái),五小向四小調(diào)出6臺(tái),一小向五小調(diào)出2臺(tái),這樣調(diào)動(dòng)的電腦總臺(tái)數(shù)最小數(shù)目為12臺(tái).提高訓(xùn)練1．在數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，則=__________．2．、為有理數(shù)，且>0，，，將四個(gè)數(shù)，，，按由小到大的順序排列是________________________．(省首屆數(shù)學(xué)文化節(jié)根底闖關(guān)題)3．如下圖，按以下方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個(gè)圓〔該圓周長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字0、1、2〕上：先讓原點(diǎn)與圓周上的數(shù)字0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再將正半軸按順時(shí)針?lè)较蚶@在該圓周上，使數(shù)軸上1、2、3、4、…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上1、2、0、1、…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合．這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．〔1〕圓周上的數(shù)字與數(shù)軸上的數(shù)5對(duì)應(yīng)，則=______；〔2〕數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過(guò)圓周圈后，并落在圓周上數(shù)字1所對(duì)應(yīng)的位置，這個(gè)整數(shù)是______〔用含的代數(shù)式表示〕．〔省中考題〕4．在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為的線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是〔〕．A．1998B．1999C．2000D．2001(市競(jìng)賽題)5．在數(shù)軸上和有理數(shù)、、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如下圖．有下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確的結(jié)論有〔〕個(gè)．A．4B．3C．