核心素養(yǎng)：數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模4.1數列的概念學習目標1.通過日常生活和數學中的實例，了解數列的概念、表示方法（列表、圖象、通項公式）以及數列的分類.2.了解數列是一種特殊函數，并能通過函數思想研究數列的性質.3.理解數列的通項公式的意義，了解數列的遞推公式，了解通項公式和遞推公式是給出數列的兩種方式，并明確它們的異同.4.理解數列的前n項和，并能用數列的前n項和求出數列的通項公式.

問題1:王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高，將這些身高數據（單位：厘米）依次排成一列數：75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.（1）75在這列數中的含義是什么？1歲時的身高是75厘米.（2）10歲時身高是多少？10歲時的身高是145厘米.在現實生活和數學學習中，我們經常需要根據問題的意義，通過對一些數據按特定順序排列的方法來刻畫研究對象.例如：記王芳第i歲時的身高為hi，那么h1=75,h2=87,…,h17=168.我們發(fā)現，hi中的i反映了身高按歲數從1到17的順序排列時的確定位置，即h1=75是排在第1位的數，h2=87是排在第2位的數……h(huán)17=168是排在第17位的數，它們之間不能交換位置.

問題2:在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版（編號K90，約產生于公元前7世紀）上有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數：

5，10，20，40，80，96，112，128，

144，160，176，192，208，224，240.

注：把滿月分成240份，則從初一到十五每天月亮的可見部分可用一個代表份數的數來表示。是具有確定順序的一列數.

記第i天月亮可見部分的數為si.那么s1=5,s2=10,…,s15=240.（1）它們具有確定的順序嗎？（2）你能用符號表示第i天月亮可見部分的數嗎？簡記為：5，10，20，40，80，96，112，128，

144，160，176，192，208，224，240.（1）這也是具有確定順序的一列數嗎？（2）上述例子的共同特征是什么？一列數順序數列的定義：

一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項.數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，也稱首項，常用符號a1表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用a2表示……第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用an表示.75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.①②5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.③有窮數列：項數有限的數列

無窮數列：項數無限的數列（2）從函數角度看數列：由于數列｛an｝中的每一項an與它的序號n有下面的對

應關系：所以數列{an}是函數y=f(x)當自變量從1開始，按照從小到大的順序依次從正整數集N+（或它的有限子集{1,2,3,…,n}）取值時，函數值an=f(n)的排列。其自變量是序號n，對應的函數值是數列的第n項an，記為an=f(n).（1）數列的一般形式：a1,a2,a3,…,an,…,簡記為{an}.辨析：在數列中,符號an

與{an}所表示的意義是否相同？（3）數列的函數表示法及性質：與其他函數一樣，數列也可以用解析式、表格和圖象來表示.例如，數列①可以表示為表4.1-1.1234567891011121314151617758796103110116120128138145153158160162163165168它的圖象如圖4.1-1所示.（4）數列的通項公式：如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式.練習：1.判斷正誤：

（1）1，1，1，1，1…是一個數列.()?（2）(1,2)，(2,1)，(1,1)，(3,1)，(1,3)是一個數列.()?（3）數列1，3，5，7和數列7，5，3，1是同一個數列.（

）?2.分別用表格、圖形和解析式表示數列：3，6，9，12，15.（1）列表法：（2）圖像法：（3）解析法：n12345an3691215an=3n,n∈{1,2,3,4,5}.特別地，各項都相等的數列叫做常數列.數列{an}的第n項an即通項公式，它是函數解析式an=f(n)，因此，可以運用函數的觀點研究數列.利用一個數列的通項公式能解決以下問題：①求出該數列的各項；

②判斷某個數是否為該數列中的項；③判斷該數列的增減性；

④求該數列的最大項和最小項等.數列的單調性：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列叫做遞增數列；從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列.如：9,99,999,9999，…；如：如：1,1,1,1，…；按單調性對數列分類：解：（1）1，3，6，10，15.解：（2）1，0，-1，0，1.根據數列的前幾項求數列的通項公式基本思路：（1）先整體觀察數列前幾項的結構特征；（2）觀察各項的異同點；相同的地方，容易得出規(guī)律；不同的部分應將其變化

規(guī)律與序號n結合起來，探求規(guī)律；（3）不是所有的數列都能用通項公式表示.自主練習3.如果數列｛an｝的通項公式為an=n2+2n，那么120是不是這個數列的項？如果是，是第幾項？分析：要判斷120是不是數列{an}中的項，就是要回答是否存在正整數n，使得n2+2n=120也就是判斷上述關于n的方程是否有正整數解.解：令n2+2n=120，解這個關于n的方程，得n=-12（舍去），或n=10,所以120是數列{an}的項，是第10項.方法技巧：判斷某數m是否為數列{an}中的項的方法：令an=m解出n的值，如果n∈N*,那么數m是數列{an}中的項，此時的n便是數列的項的序號；如果n?N*，那么數m不是數列{an}中的項.圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形.在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數依次構成一個數列的前4項，寫出這個數列的一個通項公式.（1）???

?（2）??????（3）????

???（4）換個角度觀察上圖中的4個圖形.可以發(fā)現，a1=1,a2=3a1,a3=3a2,a4=3a3由此猜測這個數列滿足公式對遞推公式的兩點說明：（1）遞推公式也是數列的一種表示方法.有時候并不一定要知道數列的通項公式，只要知道數列的某一項和遞推公式，同樣也可以知道數列的任一項；（2）與數列的通項公式一樣，并不是所有的數列都有遞推公式.CB數列的前n項和1.數列的前n項和的定義在對數列的研究中，求數列某些項的和是主要問題之一.我們把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即2.數列的前n項和公式如果數列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，Sn=f(n),那么這個式子叫做這個數列的前n項和公式.3.由Sn求通項公式an自主練習1.已知數列｛an｝的前n項和公式為Sn=n2+n，求出｛an｝的通項公式.自主練習2.已知數列｛an｝的前n項和公式為Sn=n2+n+1,求出{an}的通項公式.所以{an}的通項公式是自主練習3.已知數列｛an｝的前n項和公式為Sn=n2-4n,則a1=

,a4+a5=

.解：當n=1時，a1=S1=1-4=-3,a4+a5=S5-S3=52-4×5-(32-4×3)=8.自主練習4.已知數列｛an｝滿足a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n,n∈N*,則a1=

,an=

.解：由題設，當n=1時，a1=(2×1-1)·31=3,當n≥2時，a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n且a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=[2(n-1)-1]·3n-1兩式相減：nan=(2n-1)·3n-(2n-3)·3n-1=4n·3n-1故an=4·3n-1因為a1=3≠4×30-3831.數列的定義:按照確定的順序排列的一列數稱為數列.2.數列