第八節(jié)函數(shù)與方程第二章函數(shù)考試要求：1．理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系．2．理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．3．了解用二分法求方程的近似解的方法．必備知識(shí)·回顧教材重“四基”01一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．函數(shù)的零點(diǎn)的概念對(duì)于一般函數(shù)y＝f(x)，把使__________的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．2．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的圖象與____有公共點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有_____．f(x)＝0x軸零點(diǎn)3．函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有_______________，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解．f(a)·f(b)＜01．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是方程f(x)＝0的解，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．函數(shù)零點(diǎn)存在定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，而不是必要條件．判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性或結(jié)合函數(shù)圖象．4．二分法條件(1)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷．(2)所在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值滿足________________方法不斷地把函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間_________，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步_________，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值f(a)f(b)＜0一分為二逼近零點(diǎn)5.常用結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”．(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn). (

)(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)沒有零點(diǎn)．

(

)(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)＜0. (

)(4)若f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)＞0，則f(x)在(a，b)內(nèi)沒有零點(diǎn). (

)34512×√××2．下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是(

)34512A

解析：根據(jù)二分法的概念可知選項(xiàng)A中函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn)．3．函數(shù)f(x)＝ex＋x－3在區(qū)間(0，1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)A．0 B．1C．2 D．3B

解析：由題知函數(shù)f(x)是增函數(shù)．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理及f(0)＝－2＜0，f(1)＝e－2>0，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．故選B.34512

345125．設(shè)f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2，3)內(nèi)近似解的過程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，則方程的根所在區(qū)間為_________．(2.5，2.75)

解析：因?yàn)閒(2.25)<0，f(2.75)>0，由零點(diǎn)存在定理知，在區(qū)間(2.25，2.75)內(nèi)必有根，利用二分法得f(2.5)<0，由零點(diǎn)存在定理知，方程的根所在區(qū)間為(2.5，2.75)．34512關(guān)鍵能力·研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”考點(diǎn)1判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間——基礎(chǔ)性02考點(diǎn)2確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)——綜合性考點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用——應(yīng)用性

3412考點(diǎn)1判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間——基礎(chǔ)性

3412

3412

3412

3412

3412確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)解決這類問題一般考慮利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(2)有些題目，如第3題也可以通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)的方法來判斷.例1

(1)函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A．0 B．1C．2 D．3考點(diǎn)2確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)——綜合性C

解析：由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|x－2|(x>0)，y＝lnx(x>0)的圖象如圖所示．由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

將本例(1)中“f(x)＝|x－2|－lnx”變?yōu)椤癴(x)＝|x－2|－|lnx|”，結(jié)果如何？D

解析：由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|x－2|，y＝|lnx|的圖象，如圖所示：由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法(1)直接求零點(diǎn)．令f(x)＝0，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理．要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(3)利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．作出兩個(gè)函數(shù)圖象，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．1．設(shè)m，n∈Z，已知函數(shù)f(x)＝log2(－|x|＋8)的定義域是[m，n]，值域是[0，3].當(dāng)m取最小值時(shí)，函數(shù)g(x)＝2|x-1|＋m＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A．0 B．1C．2

D．3C

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝log2(－|x|＋8)的值域是[0，3]，所以1≤－|x|＋8≤8，即－7≤x≤7.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝log2(－|x|＋8)的定義域是[m，n]，所以m的最小值為－7，此時(shí)g(x)＝2|x-1|－6.令g(x)＝2|x-1|－6＝0，解得x＝2＋log23或x＝－log23，即有2個(gè)零點(diǎn)．

考點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用——應(yīng)用性

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的步驟考向2根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)例3

(1)已知a是函數(shù)f(x)＝2x－log0.5x的零點(diǎn)，若0＜x0＜a，則f(x0)的值滿足(

)A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0C．f(x0)＜0 D