r上的環(huán)上的-可乘導(dǎo)子

1環(huán)r上的可乘導(dǎo)子r是一個環(huán)，是r上的一個環(huán)的自同構(gòu)。當(dāng)r上的r滿足a和br時，d（ab）=d（a）（b）+d（a）d（b）時，d可以被視為環(huán)r。Martindale在文獻中提出如下問題:在什么條件下可乘映射是可加的?在文獻中他證明了一個環(huán)上有一些冪等元且滿足一些條件時,該環(huán)上的可乘同構(gòu)是可加的.在文獻中Daif引入了可乘導(dǎo)子的概念:環(huán)R上的映射d稱為可乘導(dǎo)子指任給a,b∈R,都有d(ab)=d(a)b+ad(b),并證明了下面定理.定理1設(shè)環(huán)R上有一個非平凡冪等e,滿足下列條件(M1)若xR=0,則x=0.(M2)如果eRx=0,則x=0(從而若Rx=0,則x=0).(M3)如果exeR(1-e)=0,則exe=0.則R上的可乘導(dǎo)子是可加的,即任給a,b∈R,都有d(a+b)=d(a)+d(b).杜煒和張建華證明了套代數(shù)上的可乘導(dǎo)子是可加的.本文作者已經(jīng)證明了一類三角代數(shù)上可乘導(dǎo)子是可加的.這種三角代數(shù)包括套代數(shù)及其許多標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù).顯然當(dāng)α是恒等影射時α-可乘導(dǎo)子是可乘導(dǎo)子.本文的主要結(jié)果是證明在定理1的條件下R上的α-可乘導(dǎo)子是可加的,即下面的定理2.定理2設(shè)α是環(huán)R上的一個自同構(gòu),e是R的一個非平凡冪等,滿足下列條件(M1)若xR=0,則x=0.(M2)如果eRx=0,則x=0(從而若Rx=0,則x=0).(M3)如果exeR(1-e)=0,則exe=0.則R上的α-可乘導(dǎo)子是可加的.1引理1.2.3,dx11-dx12-12.給定環(huán)R及R中滿足定理2條件的非平凡冪等e.注意到本文沒有假設(shè)R有單位元.設(shè)α為環(huán)R上的一個自同構(gòu).設(shè)e′∈R使得α(e′)=e.由于α是R上的一個自同構(gòu),所以e′也是環(huán)R上的一個非平凡的冪等.定理的證明采用矩陣分塊的技巧.這個辦法首先由Matindale給出,后來許多人采用這個辦法來解決問題.記R11=eRe,R12=eR(1-e),R21=(1-e)Re,R22=(1-e)R(1-e).則R=R11?R12?R21?R22.下面記號aij(1≤i,j≤2)表示aij∈Rij.顯然當(dāng)j≠k時,aijakl=0.同樣記R′11=e′Re′,R′12=e′R(1-e′),R′21=(1-e′)Re′,R′22=(1-e′)R(1-e′).則R=R′11?R′12?R′21?R′22.記號a′ij(1≤i,j≤2)表示a′ij∈R′ij.顯然d(0)=d(00)=d(0)α(0)+α(0)d(0)=0,d(e′)=d((e′2)=d(e′)α(e′)+α(e′)d(e′)=d(e′)e+ed(e′).設(shè)d(e′)=a11+a12+a21+a22,則有a11=a22,從而a11=a22=0.所以d(e′)=a12+a21.定義R上的α-導(dǎo)子f為f(x)=[α(x),a12-a21]=α(x)(a12-a21)-(a12-a21)α(x),?x∈T.則f(e′)=[e,a12-a21]=a12+a21.現(xiàn)面用α-可乘導(dǎo)子D=d-f來代替d.則D(e′)=0.定理的證明分成幾個引理.引理1.1D(R′ij)?Rij,1≤i,j≤2.證明任給x11∈R′11,則有D(x′11)=D(e′x11e′)=α(e′)D(x′11)α(e′)=eD(x′11)e∈R11.任給x′12∈R′12,則有D(x′12)=D(e′x′12)=α(e′)D(x′12)=eD(x′12)=b11+b12.因為0=D(0)=D(x′12e′)=D(x′12)e=b11,所以D(x′12)=b12∈R12.同理可證任給x′21∈R′21都有D(x′21)∈R21.任給x′22∈R′22,設(shè)D(x′22)=c11+c12+c21+c22.則有0=D(0)=D(e′x′22)=eD(x′22)=c11+c12,0=D(0)=D(x′22e′)=D(x′22)e=c21,從而有D(x′22)=c22∈R22.引理1.2D(x′mm+x′pq)=D(x′mm)+D(x′pq),m=1,2,1≤p≠q≤2.證明設(shè)m=p=1且q=2.任給t1n∈R1n,設(shè)t1n′∈R1n′使得α(t1n′)=t1n.由引理1.1知D(x′12)∈R12.所以有從而有[D(x′11)+D(x′12)-D(x′11+x′12)]t1n=0.同理可證任給t2n∈R2n,有[D(x′11)+D(x′12)-D(x′11+x′12)]t2n=0.所以[D(x′11)+D(x′12)-D(x′11+x′12)]R=0.由條件(M1)得D(x′11)+D(x′12)=D(x′11+x′12).同理可證其它等式成立.引理1.3D在R′12上是可加的.證明設(shè)x′12,y′12∈R′12.下證D(x′12+y′12)=D(x′12)+D(y′12).任給t1n∈R1n.由引理1.1知D(x′12),D(y′12),D(x′12+y′12)∈R12,所以[D(x′12)+D(y′12)-D(x′12+y′12)]t1n=0.任給t2n∈R2n,存在t2n′∈R2n′使得α(t2n′)=t2n.顯然(x′12+y′12)t2n′=(e′+x′12)(t2n′+y′12t2n′).應(yīng)用引理1.2和引理1.1得從而有所以[D(x′12+y′12)-D(x′12)-D(y′12)]t2n=0.總之有[D(x′12+y′12)-D(x′12)-D(y′12)]R=0.由條件(M1)得D(x′12+y′12)=D(x′12)+D(y′12).所以D在R′12上是可加的.引理1.4D在R′11上是可加的.證明設(shè)x′11,y′11∈R′11.下證D(x′11+y′11)=D(x′11)+D(y′11).任給t12∈R12,設(shè)t′12∈R′12使得α(t′12)=t12.應(yīng)用引理1.3得D(x′11+y′11)t12=D(x′11+y′11)α(t′12)=D((x′11+y′11)t′12)-α(x′11+y′11)D(t′12)=D(x′11t′12)+D(y′11t′12)-α(x′11)D(t′12)-α(y′11)D(t′12)=(D(x′11)+D(y′11))t12.由引理1.1得D(x′11)+D(y′11),D(x′11+y′11)∈R11.由(M3)得D(x′11)+D(y′11)=D(x′11+y′11).引理1.5D在e′R=R′11?R′12上是可加.證明設(shè)x′11,y′11∈R′11,x′12,y′12∈R′12.由引理1.2,1.3和1.4得D((x′11+x′12)+(y′11+y′12))=D((x′11+y′11)+(x′12+y′12))=D(x′11+y′11)+D(x′12+y′12)=D(x′11)+D(y′11)+D(x′12)+D(y′12)=D(x′11+x′12)+D(y′11+y′12).定理2的證明由于f是可加的,從而只需證明D是可加的.設(shè)x,y∈R,下證D(x+y)=D(x)+D(y).任給t∈eR,設(shè)t′∈e′R使得α(t′)=t.顯然t′x,t′y∈e′R,由引理1.5得t(D(x)+D