亞純函數(shù)系數(shù)二階微分方程解的零點(diǎn)分布

1.個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解本文假設(shè)讀者熟悉分布理論的基本結(jié)果，并使用標(biāo)準(zhǔn)分布理論的符號(hào)來(lái)表示亞純函數(shù)f的函數(shù)、零積分指數(shù)和亞純函數(shù)的指數(shù)。σ2(f)=limsupr→∞loglogΤ(r,f)logr.σ2(f)=limsupr→∞loglogT(r,f)logr.在中,BankS和LaineI首次應(yīng)用亞純函數(shù)的Nevanlinna理論研究了二階微分方程f′′+A(z)f=0(1)f′′+A(z)f=0(1)的解的零點(diǎn)分布,其中A(z)為多項(xiàng)式或超越整函數(shù).他們證明了定理1設(shè)A(z)是超越整函數(shù),其級(jí)為σ.假設(shè)f1,f2是方程(1)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解.如果σ<1/2,則max{λ(f1),λ(f2)}=∞.自從1982年,BankS和LaineI對(duì)方程(1)進(jìn)行研究并取得相關(guān)結(jié)果以來(lái),關(guān)于微分方程解的零點(diǎn)分布問(wèn)題受到國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者的關(guān)注,并取得了一些重要的結(jié)果.2004年,伍勝健從輻角分布的角度研究了二階微分方程解的零點(diǎn)聚值線(xiàn)和Borel方向之間的關(guān)系,證明了定理2設(shè)A(z)是一個(gè)級(jí)為σ<∞的超越整函數(shù),f1,f2是方程(1)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解,記E=f1f2.再設(shè)E的零點(diǎn)收斂指數(shù)λ(E)=∞,則射線(xiàn)argz=θ是E的一條∞級(jí)Borel方向的充分必要條件是λθ(E)=∞,其中λθ(E)=limε→0λθ,ε(E),λθ,ε(E)=limsupr→∞logn(r,θ,ε,E=0)logr.λθ(E)=limε→0λθ,ε(E),λθ,ε(E)=limsupr→∞logn(r,θ,ε,E=0)logr.自伍勝健的結(jié)果發(fā)表以來(lái),文進(jìn)一步研究了超越整函數(shù)系數(shù)微分方程的解的零點(diǎn)聚值線(xiàn)和Borel方向之間的關(guān)系.然而,由于伍勝健的研究方法中運(yùn)用了最大模這樣一個(gè)工具,因此,至今尚未出現(xiàn)關(guān)于亞純函數(shù)系數(shù)二階微分方程解零點(diǎn)聚值線(xiàn)和Borel方向之間的關(guān)系的相關(guān)結(jié)果.本文運(yùn)用角域Nevanlinna理論,用新的方法研究超越亞純函數(shù)系數(shù)的二階微分方程(1)的解的零點(diǎn)聚值線(xiàn)和Borel方向之間的關(guān)系,證明如下定理.定理3設(shè)A(z)是超越亞純函數(shù),其級(jí)為σ(A(z))<∞.假設(shè)方程(1)有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的亞純解f1,f2.令E=f1f2,如果σ(E)=∞,則射線(xiàn)argz=θ是E的一條∞級(jí)Borel方向的充分必要條件是λθ(E)=∞.由定理1,我們立即可得如下推論:推論1設(shè)A(z)是超越亞純函數(shù),其級(jí)為σ(A(z))<∞.假設(shè)方程(1)有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的亞純解f1,f2.令E=f1f2,如果σ(E)=∞,那么至少存在一條從原點(diǎn)出發(fā)的半直線(xiàn)L:argz=θ,使得λθ(E)=∞.推論2設(shè)A(z)是超越亞純函數(shù),其級(jí)為σ(A(z))<∞.假設(shè)f1,f2是方程(1)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解,E=f1f2.如果σ(E)<∞,則max{λ(f1),λ(f2)}<∞.2.sisk—角域內(nèi)的Nevanlinna理論我們的證明需要角域內(nèi)的Nevanlinna理論,為方便見(jiàn),先介紹角域內(nèi)的Nevanlinna理論.設(shè)f(z)是一個(gè)亞純函數(shù),考慮射線(xiàn)L:argz=θ0和角域α=θ0-η≤argz≤θ0+η=β,0＜η＜π2.α=θ0?η≤argz≤θ0+η=β,0＜η＜π2.令k=πβ-α,當(dāng)r>1時(shí),定義Aαβ(r,f)=kπ∫r1(1tk-tkr2k){log+|f(teiα)|+log+|f(teiβ)|}dtt;Bαβ(r,f)=2kπrk∫βαlog+|f(teiα)|sink(θ-α)dθ;Cαβ(r,f)=2∑bv∈Δ(1|bv|k-|bv|kr2k)sink(βv-α),其中和式∑b∈Δ是對(duì)f(z)在扇型區(qū)域Δ:1<|z|<r,α<argz<β內(nèi)的所有極點(diǎn)bv=|bv|eiθv求和,記重?cái)?shù),即幾重極點(diǎn)加幾次,否則,記為ˉCαβ(r,f).對(duì)于任意的a∈C,記Cαβ(r,a)=Cαβ(r,1f-a),和Cαβ(r,∞)=Cαβ(r,f).進(jìn)一步定義Dαβ(r,f)=Aαβ(r,f)+Bαβ(r,f),Sαβ(r,f)=Cαβ(r,f)+Dαβ(r,f).為簡(jiǎn)單起見(jiàn),在不引起混淆的前提下,我們分別用A(r,f),B(r,f),C(r,f),D(r,f),S(r,f)表示Aαβ(r,f),Bαβ(r,f),Cαβ(r,f),Dαβ(r,f),Sαβ(r,f).下面給出本文的第一個(gè)引理.引理1設(shè)f(z)是復(fù)平面上的亞純函數(shù),角域Ω(α,β)滿(mǎn)足0<β-α≤2π.則(i)對(duì)于任意的a∈C,我們有S(r,1f-a)=S(r,f)+Ο(1),(2)其中r>1.(ii)對(duì)于任意的r<R,A(r,f′f)≤k{(Rr)k∫R1logΤ(t,f)t1+kdt+logrR-r+logRr+1},B(r,f′f)≤4krkm(r,f′f).引理1(i)稱(chēng)為S(r,f)的第一基本定理,對(duì)于S(r,f),我們還有如下形式第二基本定理,對(duì)于任意的aj∈C∞,j=1,2,…,q,成立(q-2)S(r,f)＜q∑j=1ˉC(r,aj)+h(r),其中h(r)=D(r,f′f)+∑1≤j≤q,aj≠∞D(zhuǎn)(r,f′f-aj)+Ο(1).由,當(dāng)f(z)是無(wú)限級(jí)時(shí),我們有h(r)=O(logrT(r,f)),至多除去一測(cè)度有限的集合F,因此,我們有(q-2)S(r,f)＜q∑j=1ˉC(r,aj)+Ο(logrΤ(r,f)),r?F.(3)3.e的無(wú)限級(jí)borel方向定理3的證明文證明了方程(1)的任意非零亞純解滿(mǎn)足σ2(f)≤σ(A(z)).因此σ2(fi)≤σ(A(z)),i=1,2.對(duì)任意的θ∈R和充分小的ε>0,令R=2r,由引理1(ii)有,A(r,fi′fi)=Ο(∫2r1log+Τ(t,fi)t1+π2εdt)=Ο(∫2r1tσ(A)+1t1+π2εdt)=Ο(1),i=1,2.根據(jù)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理m(r,fi′fi)=Ο(log+Τ(2r,fi)+logr)=Ο(rσ(A)+1),i=1,2.(4)結(jié)合引理1(ii)和(4)式,得B(r,fi′fi)=Ο(rσ(A)+1-π2ε)=Ο(1),i=1,2.因此D(r,fi′fi)=Ο(1),i=1,2.(5)另一方面,由我們知道f1和f2的Wronskian行列式W是一個(gè)非零常數(shù),記其為c≠0.又1E=WE1c=1cf2′f2-1cf1′f1,(6)結(jié)合(5),(6)兩式可得D(r,1E)=Ο(1).(7)由式(2)和式(7)我們得到:對(duì)于任意的θ∈R和充分小的ε>0,在角域{z:θ-ε<argz<θ+ε}內(nèi),滿(mǎn)足S(r,E)=C(r,1E)+Ο(1).(8)設(shè)L:argz=θ0是E的一條無(wú)限級(jí)Borel方向,下面證明,對(duì)任意的0<ε<π/2,在角域{z|θ0-ε<argz<θ0+ε}內(nèi),有l(wèi)imsupr→∞logS(r,E)logr=∞.(9)如若不然,則存在η(0<η<π/2),使得在角域{z|θ0-η<argz<θ0+η}內(nèi),有ˉlimr→∞logS(r,E)logr＜∞.對(duì)于任意的有限復(fù)數(shù)a,根據(jù)引理1(i),有S(r,1E-a)=S(r,E)+Ο(1).因?yàn)镃(r,a)≤S(r,1E-a),所以C(r,a)≤S(r,1E-a)=S(r,E)+Ο(1).(10)另一方面,我們有C(2r,a)≥Cθ-η2,θ+η2(2r,a)≥2∑1＜|bv|＜r,θ-η2＜βv＜θ+η2(1|bv|k-|bv|k(2r)2k)sink(βv-θ+η2)≥2∑1＜|bv|＜r,θ-η3＜βv＜θ+η3(1|bv|k-|bv|k(2r)2k)sink(βv-θ+η2),其中k=πη.在扇形區(qū)域Δ:1＜|b|＜r,θ-η3＜βv＜θ+η3內(nèi),我們有0＜η6＜βv-θ+η2＜5η6＜π2.記n(t,θ,η3,a)=n(t),將上式寫(xiě)成Stieltjes積分的形式并分部積分得C(2r,a)≥∫r11tkdn(t)+1(2r)2k∫r1tkdn(t)+Ο(1)≥k∫r11tk+1dn(t)+n(r)rk-rkn(r)r2k+k(2r)2k∫r1tk-1dn(t)+Ο(1)≥n(r)rk-rkn(r)(2r)2k+Ο(1)≥(1-122k)n(r)rk+Ο(1).(11)因此,對(duì)于任意的有限復(fù)數(shù)a,由式(9)-(11),得limsupr→∞logn(r,θ,η3,a)logr＜∞.(12)這與L是E的無(wú)限級(jí)B