甘肅省臨夏市2023屆高考押題金卷（全國卷Ⅲ）數(shù)學(xué)試題試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④2．已知全集為，集合，則（）A． B． C． D．3．阿波羅尼斯（約公元前262~190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點，間的距離為2，動點與，的距離之比為，當(dāng)，，不共線時，的面積的最大值是（）A． B． C． D．4．設(shè)點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（）A． B． C． D．5．設(shè)，，則（）A． B． C． D．6．已知，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列命題中錯誤的是（）A．若，，則或B．若，，，則C．若，，，則D．若，，則7．設(shè)，則（）A． B． C． D．8．正方體，是棱的中點，在任意兩個中點的連線中，與平面平行的直線有幾條（）A．36 B．21 C．12 D．69．已知點P不在直線l、m上，則“過點P可以作無數(shù)個平面，使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內(nèi)一點，且，則（）A． B． C． D．11．已知，則（）A． B． C． D．12．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知無蓋的圓柱形桶的容積是立方米，用來做桶底和側(cè)面的材料每平方米的價格分別為30元和20元，那么圓桶造價最低為________元.14．直線與拋物線交于兩點，若，則弦的中點到直線的距離等于________.15．已知雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩漸近線對稱點重合，則雙曲線的離心率為_____16．設(shè)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點是線段的中點，當(dāng)時，求的值．18．（12分）等差數(shù)列的前項和為，已知，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及前項和為；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項的和，求證：.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知為曲線上的一個動點，求線段的中點到直線的最大距離．20．（12分）設(shè)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.21．（12分）如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.（1）證明：平面；（2）設(shè)為棱的中點，當(dāng)四面體的體積取得最大值時，求二面角的余弦值.22．（10分）已知，均為正項數(shù)列，其前項和分別為，，且，，，當(dāng)，時，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

因為，所以①不正確；因為，所以，，所以，所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當(dāng)時，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因為，所以，所以函數(shù)的最小值為，④正確．故選D．2、D【解析】

對于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補集；對于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D【點睛】本題考查集合的補集、交集運算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.3、A【解析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點，間的距離為2，動點與，的距離之比為，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，，，則，化簡得，當(dāng)點到（軸）距離最大時，的面積最大，∴面積的最大值是.故選：A.【點睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.4、C【解析】

設(shè)，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導(dǎo)數(shù)知識求的最小值．【詳解】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值．解題時對和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵．5、D【解析】

集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可【詳解】，，則故選【點睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理，可判斷B；C中可判斷，所成的二面角為；D中有可能，即得解.【詳解】選項A：若，，根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有或，故A正確；選項B：若，，，由線面平行的判定定理，有，故B正確；選項C：若，，，故，所成的二面角為，則，故C正確；選項D，若，，有可能，故D不正確.故選：D【點睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.7、C【解析】試題分析：，．故C正確．考點：復(fù)合函數(shù)求值．8、B【解析】

先找到與平面平行的平面，利用面面平行的定義即可得到.【詳解】考慮與平面平行的平面，平面，平面，共有，故選：B.【點睛】本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義，涉及到了簡單的組合問題，是一中檔題.9、C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】點不在直線、上，若直線、互相平行，則過點可以作無數(shù)個平面，使得直線、都與這些平面平行，即必要性成立，若過點可以作無數(shù)個平面，使得直線、都與這些平面平行，則直線、互相平行成立，反證法證明如下：若直線、互相不平行，則，異面或相交，則過點只能作一個平面同時和兩條直線平行，則與條件矛盾，即充分性成立則“過點可以作無數(shù)個平面，使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件，故選：．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．10、D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算，可求得點的坐標(biāo)，進而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.11、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時單調(diào)遞減，對選項逐一驗證即可得到正確答案.【詳解】因為，所以，所以是減函數(shù)，又因為，所以，，所以，，所以A,B兩項均錯；又，所以，所以C錯；對于D，，所以，故選D.【點睛】這個題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對函數(shù)的單調(diào)性比較大小，兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系，有時可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值，進而得到大小關(guān)系.12、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)桶的底面半徑為，用表示出桶的總造價，利用基本不等式得出最小值.【詳解】設(shè)桶的底面半徑為，高為，則，故，圓通的造價為解法一：當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.解法二：，則，令，即，解得，此函數(shù)在單調(diào)遞增；令，即，解得，此函數(shù)在上單調(diào)遞減；令，即，解得，即當(dāng)時，圓桶的造價最低.所以故答案為：【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，注意驗證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由已知可知直線過拋物線的焦點，求出弦的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離，進一步得到弦的中點到直線的距離．【詳解】解：如圖，直線過定點，，而拋物線的焦點為，，弦的中點到準(zhǔn)線的距離為，則弦的中點到直線的距離等于．故答案為：．【點睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．15、【解析】

雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合，可得一條漸近線的斜率為1，即，即可求出雙曲線的離心率．【詳解】解：雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合，一條漸近線的斜率為1，即，，，故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生的計算能力，確定一條漸近線的斜率為1是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

求函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)的圖象，設(shè)，若函數(shù)恰有4個零點，則等價為函數(shù)有兩個零點，滿足或，利用一元二次函數(shù)根的分布進行求解即可．【詳解】當(dāng)時，，由得：，解得，由得：，解得，即當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，同時也是最大值，（e），當(dāng)，，當(dāng)，，作出函數(shù)的圖象如圖，設(shè)，由圖象知，當(dāng)或，方程有一個根，當(dāng)或時，方程有2個根，當(dāng)時，方程有3個根，則，等價為，當(dāng)時，，若函數(shù)恰有4個零點，則等價為函數(shù)有兩個零點，滿足或，則，即（1）解得：，故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法進行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及．求的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）在已知極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，ρ2＝x2+y2可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2＝4y由韋達定理以及參數(shù)的幾何意義和弦長公式可得弦長與已知弦長相等可解得．【詳解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中兩邊同時乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2＝4y．（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2＝，由|PM|＝，所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），所以sinα＝．【點睛】本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程，屬中檔題．18、（Ⅰ），（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.（Ⅱ），根據(jù)裂項求和法計算得到得到證明.【詳解】（Ⅰ）等差數(shù)列的公差為，由，得，，即，，解得，.∴，.（Ⅱ），∴，∴，即.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的基本量的計算，裂項求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.19、（1）．．（2）最大距離為．【解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的公式計算得到答案.（2）曲線的參數(shù)方程為，設(shè)，計算點到直線的距離公式得到答案.【詳解】（1）由，得，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）可知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)，，則到直線的距離為，所以線段的中點到直線的最大距離為．【點睛】本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，距離的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力.20、（1）（2）【解析】

(1)通過討論的范圍,得到關(guān)于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對值將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調(diào)性由恒成立求得結(jié)果.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，即或或解之得或，即不等式的解集為.（2）由題意得：當(dāng)時為減函數(shù)，顯然恒成立.當(dāng)時，為增函數(shù)，，當(dāng)時，為減函數(shù)，綜上所述：使恒成立的的取值范圍為.【點睛】本題考查了解絕對值不等式問題,考查不等式恒成立問題中求解參數(shù)問題,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21、（1）見證明；（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，利用線面垂直的判定定理證得平面；（2）