2023-2024學(xué)年湖南長(zhǎng)沙一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)的模為2，則的最大值為（）A. B.C. D.2．已知直線(xiàn)是圓的對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)點(diǎn)A作圓C的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.83．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線(xiàn)有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線(xiàn)》一書(shū)，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.5．已知在一次降雨過(guò)程中，某地降雨量（單位：mm）與時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可表示為，則在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度為（）mm/min.A. B.C.20 D.4006．長(zhǎng)方體中，，，，為側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則四棱錐體積的最小值為（）A. B.C. D.7．已知圓和橢圓．直線(xiàn)與圓交于、兩點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)．若時(shí)，的取值范圍是，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．已知曲線(xiàn)，則“”是“C為雙曲線(xiàn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知函數(shù)的部分圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.的最小正周期為6C.圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D.在上單調(diào)遞減10．已知數(shù)列滿(mǎn)足：且，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（）A.621 B.622C.1133 D.113411．在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為.若，是方程的兩個(gè)根，那么的值為（）A.44 B.C.66 D.12．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知P是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，若的面積為，則l的斜率為_(kāi)___________14．若函數(shù)處取極值，則___________15．已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為_(kāi)____16．已知直線(xiàn)l的方向向量，平面的法向量，若，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某餐館將推出一種新品特色菜，為更精準(zhǔn)確定最終售價(jià)，這種菜按以下單價(jià)各試吃1天，得到如下數(shù)據(jù)：（1）求銷(xiāo)量關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（2）預(yù)計(jì)今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量與單價(jià)服從（1）中的線(xiàn)性回歸方程，已知每份特色菜的成本是15元，為了獲得最大利潤(rùn)，該特色菜的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（附：，）18．（12分）命題：函數(shù)有意義；命題：實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.（1）當(dāng)且為真時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離20．（12分）設(shè)是首項(xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.（1）若，求；（2）若，求.21．（12分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，點(diǎn)M滿(mǎn)足.記M的軌跡為C.（1）說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)，并求C的方程；（2）已知經(jīng)過(guò)的直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求.22．（10分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)的極值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題意得，表示以為圓心，2為半徑的圓，表示過(guò)原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，取得最值，然后求出切線(xiàn)的斜率即可【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)的模為2，所以，所以其表示以為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，表示過(guò)原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，取得最值，設(shè)切線(xiàn)方程為，則，解得，所以的最大值為，故選：A2、C【解析】首先將圓心坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程求出參數(shù)a，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由切線(xiàn)與圓的位置關(guān)系構(gòu)造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過(guò)圓的圓心，則，解得，點(diǎn)A坐標(biāo)為，，切點(diǎn)為B則，故選:C【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4、D【解析】設(shè)，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點(diǎn)之間直線(xiàn)最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標(biāo)求出即可.【詳解】設(shè)，，所以，由，所以，因?yàn)榍?，所以，整理可得，又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)椋缘淖钚≈?，?dāng)M在位置或時(shí)等號(hào)成立.故選：D5、B【解析】對(duì)題設(shè)函數(shù)求導(dǎo)，再求時(shí)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，則，所以在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度為mm/min.故選：B6、D【解析】取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，求出橢圓的方程，可知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與棱或的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離取最小值，由此可求得四棱錐體積的最小值.【詳解】取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，，則、，因?yàn)槠矫妫矫?，則，所以，，同理可得，所以，，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓的一部分，則，，，所以，點(diǎn)的軌跡方程為，點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)點(diǎn)為曲線(xiàn)與棱或棱的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離取最小值，將代入方程得，因此，四棱錐體積的最小值為.故選：D.7、C【解析】由題設(shè)，根據(jù)圓與橢圓的對(duì)稱(chēng)性，假設(shè)在第一象限可得，結(jié)合已知有，進(jìn)而求橢圓的離心率.【詳解】由題設(shè)，圓與橢圓的如下圖示：又時(shí)，的取值范圍是，結(jié)合圓與橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨假設(shè)在第一象限，∴從0逐漸增大至無(wú)窮大時(shí)，，故，∴故選：C.8、A【解析】根據(jù)充分必要條件的定義，以及雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷可得選項(xiàng)【詳解】解：當(dāng)時(shí)，表示雙曲線(xiàn)，當(dāng)表示雙曲線(xiàn)時(shí)，則，所以“”是“C為雙曲線(xiàn)”的充分不必要條件.故選A9、D【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出，再利用函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合周期公式逆推即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，所以，又，所以，A正確；因?yàn)榈膱D象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期為，B正確；，所以是的一條對(duì)稱(chēng)軸，C正確；令，解得，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤故選：D.10、C【解析】這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是公比為2的等比數(shù)列，只要分開(kāi)來(lái)計(jì)算即可.【詳解】由于，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是等差數(shù)列，即：共10項(xiàng)，和為；，共10項(xiàng)，其和為；∴該數(shù)列前20項(xiàng)的和；故選：C.11、D【解析】由，是方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理可知與的和，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得與的和等于，即可求出的值，然后再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.【詳解】因?yàn)?，是方程的兩個(gè)根，所以，而，所以，則,故選：.12、D【解析】將拋物線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得出該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程.【詳解】拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，因此，該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出直線(xiàn)AB的方程，聯(lián)立橢圓方程得到A點(diǎn)橫坐標(biāo)滿(mǎn)足，再利用，解方程即可得到答案.【詳解】設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：，，由，得，所以，又所以，解得.故答案為：14、3【解析】=．因?yàn)閒（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值15、【解析】利用已知條件求出p，設(shè)出P的坐標(biāo)，然后求解的表達(dá)式，利用基本不等式即可得出結(jié)論【詳解】解：由題意可知：，設(shè)點(diǎn)，P到直線(xiàn)的距離為d，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，的最小值為，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題16、【解析】由，可得∥，從而可得，代入坐標(biāo)列方程可求出，從而可求出【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)l的方向向量，平面的法向量，，所以∥，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）24【解析】（1）求出，的值，根據(jù)公式求出的值，代入公式即可求出回歸直線(xiàn)方程（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出利潤(rùn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解【詳解】解：（1）由題意得，，，，得，，所以關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為：.（2）由題意得，每份菜獲得的利潤(rùn)，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∴單價(jià)應(yīng)定為24元，可獲得最大利潤(rùn).【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線(xiàn)的求法與應(yīng)用，著重考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題18、(1)；(2)【解析】(1)首先將命題，化簡(jiǎn)，然后由為真可得，均為真，取交集即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)將是的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為是的必要不充分條件，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】(1)若命題為真，則，解得，當(dāng)時(shí)，命題，若命題為真，則，解得，所以，因?yàn)闉檎妫?，均為真，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為(2)因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的必要不充分條件，所以，所以或，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)真值表判斷復(fù)合命題中的單個(gè)命題的真假，根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)的取值范圍，同時(shí)考查一元二次不等式的解法，分式不等式的解法．第(2)問(wèn)關(guān)鍵是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合間的真包含關(guān)系19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)取的中點(diǎn)，連接，，，先證明平面，再由平面得，(2)等體積法求解.根據(jù)題目條件，先證明為三棱錐的高，再求出以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的體積和以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的體積，根據(jù)，求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，依題意可知，，均為正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為三棱錐的高由題意得，∵為的中點(diǎn)，∴在中，，∴，，∴在中，邊上的高，∴的面積的面積點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為20、（1）或（2）【解析】（1）列方程組解得等差數(shù)列的公差，即可求得其前項(xiàng)和；（2）列方程組解得等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，以錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為，的公比為，則，，因?yàn)榧?，解之得或，又因?yàn)?，得所以或，故，或【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以由解得（舍去）或，于是得，所以，因?yàn)?，?）所以，（2）所以由（1）（2）得：故21、（1）C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓，（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可得到答案.（2）當(dāng)垂直于軸時(shí)，，舍去.當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)，再根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【小問(wèn)