第五章微分變換

ChapterⅤDifferentialRelationships5.1引言5.2微分矩陣

5.3微分平移和旋轉(zhuǎn)變換

5.4微分旋轉(zhuǎn)

5.5坐標(biāo)系之間的微分變換

5.6機(jī)械手的微分變換方程——雅可比方程

5.7雅可比方程的定義與求法5.8雅可比逆矩陣5.9本章小結(jié)10/29/20231湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系5.1引言（Introduction）微分變換在機(jī)器人視覺、動(dòng)力學(xué)和機(jī)器人控制（如力控、剛度控制、阻抗控制、順應(yīng)控制等）中十分重要。例如當(dāng)攝像機(jī)或其它傳感裝置檢測到機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置和方向的微小變化時(shí)，需要將該微小變化從攝像機(jī)或其它傳感裝置坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到基坐標(biāo)或參考坐標(biāo)系。在機(jī)器人剛度控制中，需要獲得在控制坐標(biāo)系中力與位置的微分變換。又如將直角坐標(biāo)的微分變換轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)坐標(biāo)的微分變換，還有在下一章介紹的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，也會(huì)用到微分變換。本章將介紹微分變換的基本原理和方法，包括微分平移、微分旋轉(zhuǎn)、坐標(biāo)系之間的微分變換、雅可比矩陣和逆雅可比矩陣及其應(yīng)用。10/29/20232湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系5.2微分矩陣（DerivativeMatrixes）

給出一個(gè)4×4的矩陣A（5.1）矩陣A的微分就是對矩陣A中的每一個(gè)元素對自變量x的微分，結(jié)果如下

（5.2）10/29/20233湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系5.3微分平移和旋轉(zhuǎn)變換(DifferentialTranslationandRotation)

微分平移和旋轉(zhuǎn)變換可以是針對基坐標(biāo)或參考坐標(biāo)系，也可以是針對某個(gè)指定的坐標(biāo)系進(jìn)行。例如對于一個(gè)變換矩陣T，它對基坐標(biāo)的微分變換可表示為（5.3）式中是在基坐標(biāo)的x，y，z軸向上分別平移dx，dy，dz；和繞基坐標(biāo)的向量k旋轉(zhuǎn)dθ角。由此可得到（5.4）如果上述微分變換不是針對基坐標(biāo)而是針對坐標(biāo)系T，那么微分變換的結(jié)果可表示為（5.5）此時(shí)，式中是在T坐標(biāo)的x，y，z軸向上分別平移dx，dy，dz；是繞T坐標(biāo)的向量k旋轉(zhuǎn)dθ角。由此可得到（5.6）10/29/20234湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系我們用符號來表示式（5.4）和式（5.6）中的并將它稱為微分變換算子（5.6）這樣式（5.4）和式（5.6）就可寫成如下形式（5.7）和（5.8）式（5.7）中的微分變換算子是針對基坐標(biāo)的，而式（5.8）中的微分變換算子則是針對T坐標(biāo)的。在第二章我們給出了平移和一般性旋轉(zhuǎn)變換的齊次變換矩陣表達(dá)式，平移變換矩陣是100a010bTrans(a,b,c)=001c

（5.9）000110/29/20235湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系當(dāng)平移向量是微分向量d＝dxi+dyj+dzk時(shí)，微分平移矩陣為100dx

010dyTrans(d)=001dz

（5.10）0001一般性旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣是

kxkxversθ+cosθkykxversθ-kzsinθkzkxversθ+kysinθ0

kxkyversθ+kzsinθkykyversθ+cosθkzkyversθ-kxsinθ0Rot(k,θ)=kxkzversθ-kysinθkykzversθ+kxsinθkzkzversθ+cosθ0(5.11)0

0

01當(dāng)進(jìn)行微分旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，旋轉(zhuǎn)角dθ極小，此時(shí)有如下關(guān)系10/29/20236湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系將上述關(guān)系代入式（5.11）可得1-kzdθkydθ0

kzdθ1-kxdθ0Rot(k,dθ)=-kydθkxdθ10(5.12)0

0

01由式（5.6）可得

(5.13)10/29/20237湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系5.4微分旋轉(zhuǎn)(DifferentialRotations)式（5.13）給出的微分變換算子是基于微分旋轉(zhuǎn)角dθ的微分平移和旋轉(zhuǎn)變換表達(dá)式，下面討論繞坐標(biāo)軸x、y、z旋轉(zhuǎn)δx、δy、δz的微分變換。第二章給出的繞坐標(biāo)軸x、y、z旋轉(zhuǎn)的變換矩陣分別為（5.14）（5.15）（5.16）10/29/20238湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系在微分變換的情況下，sinθ→dθ，cosθ→1，上面三個(gè)式子變?yōu)椋?.17）

（5.18）

（5.19）由此可得到（5.20）10/29/20239湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系比較式（5.12）和式（5.20）可知，繞任意向量k旋轉(zhuǎn)dθ的微分旋轉(zhuǎn)與繞x、y、z軸分別旋轉(zhuǎn)的結(jié)果相同，即（5.21）由此可得到繞坐標(biāo)軸x、y、z旋轉(zhuǎn)δx、δy、δz的微分變換算子為（5.22）

微分變換算子中的元素由微分平移向量d和微分旋轉(zhuǎn)向量δ的各個(gè)分量組成，即（5.23）（5.24）將上述二個(gè)向量組合構(gòu)成一個(gè)微分運(yùn)動(dòng)矢量D（5.25）

這樣，我們就可根據(jù)式（5.25）給出的微分運(yùn)動(dòng)矢量D直接得到微分變換算子，或基于T坐標(biāo)的微分運(yùn)動(dòng)矢量的微分變換算子。10/29/202310湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系【例5.1】已知坐標(biāo)A的變換矩陣為當(dāng)用微分平移矢量d=1i+0j+0.5k和微分旋轉(zhuǎn)矢量δ＝0i+0.1j+0k對坐標(biāo)A進(jìn)行變換時(shí)，求出微分變換的結(jié)果dA。解：首先，由式（5.22）求出微分變換算子由式（5.7）可得即微分變換結(jié)果如圖5.1所示。xyzzAyA+dAx圖5.1坐標(biāo)A的微分變換10/29/202311湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系5.5坐標(biāo)系之間的微分變換

(TransformingDifferentialChangesbetweenCoordinateFrames)上節(jié)討論了基于基坐標(biāo)或某個(gè)指定坐標(biāo)的微分變換，本節(jié)繼續(xù)討論坐標(biāo)系之間的微分變換，也就是已知微分變換算子，如何求出T坐標(biāo)的微分變換算子。由式（5.7）和（5.8）可知（5.26）則為（5.27）上式是一個(gè)重要的表達(dá)式，它描述了坐標(biāo)系之間的微分變換關(guān)系。下面我們用微分平移矢量d和微分旋轉(zhuǎn)矢量來推導(dǎo)的表達(dá)式。已知變換矩陣T為10/29/202312湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系我們用矢量的叉乘來得到式（5.27）等號右邊二項(xiàng)的乘積

（5.29）式中d和分別是微分平移和微分旋轉(zhuǎn)矢量。用左乘式（5.29）可得

（5.30）上式矩陣元素都具有如下矢量三重積形式根據(jù)矢量三重積的性質(zhì)有（5.31）10/29/202313湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系同時(shí)，三重積中只要有二個(gè)矢量是相同的，其結(jié)果為零。如（5.32）根據(jù)上述性質(zhì)，式（5.30）可寫成（5.33）對于正交矢量有（5.34）這樣，式（5.33）可重寫成

（5.35）10/29/202314湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系上式可進(jìn)一步簡化為（5.36）比較式（5.35）和式（5.36）的矩陣元素可得

（5.37）

（5.38）在式（5.37）和式（5.38）中，n、o、a和p是微分坐標(biāo)變換矩陣T的旋轉(zhuǎn)和平移矢量，和是對應(yīng)坐標(biāo)T的微分平移和旋轉(zhuǎn)矢量。10/29/202315湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系式（5.37）和式（5.38）也可用6×6的矩陣形式表示如下（5.39）將上式寫成式（5.36）和式（5.37）的形式如下

（5.40）

（5.41）式（5.40）和式（5.41）是后續(xù)內(nèi)容中要經(jīng)常用到的重要結(jié)果。10/29/202316湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系【例5.2】給出與例5.1相同的坐標(biāo)的變換矩陣、微分平移矢量和微分旋轉(zhuǎn)矢量如下：

d=1i+0j+0.5kδ＝0i+0.1j+0k

試求出坐標(biāo)A上的等效微分變換dA。解：由坐標(biāo)變換矩陣A可得到相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)與平移矢量由此可求出根據(jù)式（5.40）和式（5.41）得到10/29/202317湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系用上述結(jié)果來驗(yàn)證坐標(biāo)A上的等效微分變換dA，由式（5.8）有由已求出的、和式（5.36）可得到則上述結(jié)果與例5.1相同。10/29/202318湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系5.6機(jī)械手的微分變換方程——雅可比方程

（TheManipulatorJacobian）在第四章我們介紹過，機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程由它的末端相對于基坐標(biāo)的齊次變換矩陣T6表示，即T6=A1A2A3A4A5A6（5.42）

其中每一個(gè)關(guān)節(jié)變換矩陣Ai描述了該關(guān)節(jié)坐標(biāo)相對于前一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)的變換關(guān)系，關(guān)節(jié)變量用qi表示，如果是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)變量是θi，它是繞前一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)z軸的旋轉(zhuǎn)角度；如果是滑動(dòng)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)變量是di，它是沿前一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)z軸滑動(dòng)的距離。同樣，當(dāng)我們討論機(jī)械手的微分變換方程時(shí)，首先定義微分關(guān)節(jié)變量為dqi，如果是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，則為dθi，如果是滑動(dòng)關(guān)節(jié)，則為ddi。10/29/202319湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系機(jī)械手第i個(gè)關(guān)節(jié)的微分變換引起第6個(gè)連桿末端（即機(jī)械手末端）的微分變換dT6可由下式表示：（5.43）則（5.44）由式（5.27）可得到機(jī)械手末端的微分變換算子（5.45）其中（5.46）如果關(guān)節(jié)i是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，則di

=0，式（5.40）和式（5.41）變?yōu)?/p>

（5.47）（5.48）10/29/202320湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系當(dāng)，為單位微分旋轉(zhuǎn)矢量時(shí)，式（5.47）和（5.48）可進(jìn)一步簡化為（5.49）（5.50）如果關(guān)節(jié)i是棱形滑動(dòng)關(guān)節(jié)，則δi＝0，di=0i+0j+1k，式（5.40）和式（5.41）變?yōu)椋?.51）（5.52）機(jī)械手末端坐標(biāo)T6的微分變換是所有6個(gè)關(guān)節(jié)微分變量的函數(shù)，可用6×6的矩陣表示，矩陣元素由6個(gè)關(guān)節(jié)的微分平移和微分旋轉(zhuǎn)矢量構(gòu)成，該矩陣稱為雅可比矩陣。它的每一列元素為對應(yīng)關(guān)節(jié)的微分平移和微分旋轉(zhuǎn)矢量。應(yīng)用雅可比矩陣的機(jī)械手微分變換方程——雅可比方程如下：（5.53）10/29/202321湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系5.7雅可比矩陣的定義與求法利用雅可比矩陣可以建立起機(jī)器人手端在基礎(chǔ)坐標(biāo)中的速度與各關(guān)節(jié)速度間的關(guān)系，以及手部與外界接觸力與對應(yīng)各關(guān)節(jié)力間的關(guān)系，因此機(jī)器人雅可比矩陣在機(jī)器人技術(shù)中占有重要地位。1雅可比矩陣的定義機(jī)械手的操作速度與關(guān)節(jié)速度的線性變換定義為機(jī)械手的雅可比矩陣，可視它為從關(guān)節(jié)空間向操作空間運(yùn)動(dòng)速度的傳動(dòng)比。令機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方程

x=x(q)

代表操作空間x與關(guān)節(jié)空間q之間的位移關(guān)系，對上式兩邊求導(dǎo)，即得出q與x之間的微分關(guān)系

稱為末端在操作空間的廣義速度，簡稱操作速度，為關(guān)節(jié)速度；J(q)是6Xn的偏導(dǎo)數(shù)矩陣。

10/29/202322湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系例：根據(jù)定義求雅可比矩陣10/29/202323湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系剛體或坐標(biāo)系的廣義速度是由線速度v和角速度w組成的6維矢量（5.54）從而

含有n個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，其雅可比J（q）是6Xn階矩陣，前3行代表對夾手線速度v的傳遞比，后3行代表夾手的角速度w的傳遞比，而每一列代表相應(yīng)關(guān)節(jié)速度對于夾手線速度的傳遞比。這樣，可把雅可比J(q)分塊為：（5.55）

10/29/202324湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系2.JLi的求法1）第i個(gè)關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，qi=di,=

設(shè)某時(shí)刻僅此關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，其余關(guān)節(jié)靜止不動(dòng)，由（5.55）式可得：設(shè)bi-1為zi-1軸上的單位向量，利用它可將局部坐標(biāo)下的平移速度di轉(zhuǎn)換成基礎(chǔ)坐標(biāo)下的速度比較上面兩式，由于=

JLi=bi-1

10/29/202325湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系第i個(gè)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，設(shè)此刻僅此關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，其余的關(guān)節(jié)靜止不動(dòng)，仍然利用bi-1將zi-1軸上的角速度轉(zhuǎn)化到基礎(chǔ)坐標(biāo)中去（5.56）右圖中的矢量ri-1，e起于Oi-1,止于On,所以由wi產(chǎn)生的線速度為而（5.57）所以將（5.56）代入（5.57）得（5.58）

10/29/202326湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系3.Jai的求法1）第i個(gè)關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，qi=di,=，由于移動(dòng)關(guān)節(jié)的平移不對手部產(chǎn)生角速度，所以此時(shí)

Jai=0

(5.59)2)第i個(gè)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí),,由（2.56）得

（5.60）綜合以上所述，可得：當(dāng)?shù)趇個(gè)關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)（5.61）

當(dāng)?shù)趇個(gè)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)（5.62）10/29/202327湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系4.確定bi-1h和ri-1,e用b表示zi-1

軸上的單位向量，把它轉(zhuǎn)換在基礎(chǔ)坐標(biāo)中，即為：（5.62）用O，Oi-1,On分別表示基礎(chǔ)坐標(biāo)系，i-1坐標(biāo)及手部坐標(biāo)系的原點(diǎn)，用矢量x表示在各自坐標(biāo)系的原點(diǎn)把ri-1,e用齊次坐標(biāo)表示，令所以10/29/202328湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械系5.8雅可比逆矩陣（TheInverseJacobian）當(dāng)微分變換是由直角坐標(biāo)空間向關(guān)節(jié)坐標(biāo)空