任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式一、任意角1、角的概念的推廣：角可以看成是由一條射線(xiàn)（起始邊）旋轉(zhuǎn)到一個(gè)新的位置（終邊）所形成的圖形。（1）按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角（逆時(shí)針）、負(fù)角（順時(shí)針）、零角．（2）角具有無(wú)界性；意思是說(shuō)任意角的范圍是（3）按終邊位置不同分為象限角和軸線(xiàn)角．（約定以原點(diǎn)和x的正半軸組成的射線(xiàn)為起始邊）（4）角具有周期性：終邊相同的角不一定相等；終邊相同的角相差3600的整數(shù)倍。2、角與角的位置關(guān)系的判斷（終邊相同的角、對(duì)稱(chēng)關(guān)系的角）★與任意角終邊相同的所有的角構(gòu)成一個(gè)集合，這個(gè)集合可表示為：【注意】（1）終邊與終邊共線(xiàn)(的終邊在終邊所在直線(xiàn)上).（2）終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).（3）終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).（4）終邊與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).（5）終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：.例1：與角的終邊相同，且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是＿＿＿。練習(xí)1（1）與1991°終邊相同的最小正角是______,絕對(duì)值最小的角是_________．（2）－1120°角所在象限是（3）把－1485°轉(zhuǎn)化為α＋k·360°（0°≤α＜360°,k∈Z）的形式是（4）終邊在第二象限的角的集合可以表示為（5）已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關(guān)系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C（6）下列結(jié)論中正確的是()A.小于90°的角是銳角 B.第二象限的角是鈍角C.相等的角終邊一定相同 D.終邊相同的角一定相等（7）下列角中終邊與330°相同的角是（B）A．30°B．-30°C．630°D．-630°例2：若是第二象限角，則是第_____象限角。練習(xí)2（1）若角α的終邊為第二象限的角平分線(xiàn)，則α的集合為_(kāi)___________________．（2）若角α是第三象限角，則角的終邊在.（3）若α是第一象限的角，則-是()A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角例3：的終邊與的終邊關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則＝____________。練習(xí)3：（1）集合A={α｜α=k·90°,k∈N+}中各角的終邊都在()A.x軸的正半軸上 B.y軸的正半軸上C.x軸或y軸上 D.x軸的正半軸或y軸的正半軸上（2）α是一個(gè)任意角，則α與-α的終邊是()A.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) C.關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng) D.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)（3）若α是第四象限角，則180°+α一定是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角（4）若是第四象限的角，則是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角（6）180°－α與α的終邊（）A．關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．以上都不對(duì)（7）若角α、β的終邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，則α與β之間的關(guān)系是___________．二、弧度制1、1弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．2、弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．3、弧長(zhǎng)公式：，扇形面積公式：（其中α是圓心角的弧度數(shù),L為圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng),r為圓半徑）弧度制相比角度制的優(yōu)點(diǎn)在于：①公式的表達(dá)更簡(jiǎn)潔；可以省略單位不寫(xiě)，②無(wú)論是角度制還是用弧度制,都能在角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,但用弧度制表示角時(shí),容易找出與角對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).【常用角的互化】角度00300450弧度★角度制與弧度制:這是兩種不同的度量角的制度.角度制是以“度”為單位;弧度制是以“弧度”為單位.★度與弧度的相互換算:10≈0.01745弧度,1弧度≈57018/.★在同一個(gè)式子中,兩種制度不能混用.如:與600終邊相同的角的集合不能表示為{x|x=2kπ+600,k∈Z},正確的表示方法是{x|x=2kπ+,k∈Z}或{x|x=k·3600+600,k∈Z}例1：把解：例2：把化成角度.練習(xí)：1、把下列各角化成2kπ+α（0≤α＜2π,）的形式,并求出在(－2π,4π)內(nèi)和它終邊相同的角.(1)－π;(2)－6750.2、若角θ的終邊與1680角的終邊相同,求在[0,2π]內(nèi)終邊與角的終邊相同的角.3、半徑為5cm的圓中,弧長(zhǎng)為cm的圓弧所對(duì)的圓心角等于()(A)1450(B)1350(C)(D)4、將分針撥快10分鐘,則分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是()(A)(B)－(C)(D)－5、半徑為4的扇形,基它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓周的長(zhǎng),則這個(gè)扇形的面積是_________.6、已知一弧所對(duì)的圓周角為600,圓的半徑為10cm,則此弧所在的弓形的面積等于___________.之間的一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互化必需熟練掌握.度0°30°45°60°90°弧度02★用弧度制表示：（1）終邊在軸上的角的集合：（2）終邊在軸上的角的集合：（3）終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：【強(qiáng)化練習(xí)】1．集合的關(guān)系是（）（A）（B）（C）（D）以上都不對(duì)。2．已知集合，則等于（）（A）（B）（C）（D）或3．圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的，而弧長(zhǎng)不變，則該弧所對(duì)的圓心角是原來(lái)的倍。4．若2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，則這個(gè)圓心角所在的扇形面積是．5．在以原點(diǎn)為圓心，半徑為１的單位圓中，一條弦的長(zhǎng)度為，所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為．3、任意角的三角函數(shù)的定義：定義：設(shè)是任意一個(gè)角，P是的終邊上的任意一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），它與原點(diǎn)的距離是，那么：，，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．★三角函數(shù)值只與終邊的位置有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)。三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限★注意：一全正，二正弦，三內(nèi)切，四余弦4、三角函數(shù)線(xiàn)三角函數(shù)線(xiàn)有向線(xiàn)段MP為正弦線(xiàn)有向線(xiàn)段OM為余弦線(xiàn)有向線(xiàn)段AT為正切線(xiàn)例：已知角的終邊經(jīng)過(guò)p（－3，－4），求角的正弦，余弦，正切值。例：已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，試判斷角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．例：求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組成立時(shí)，角為第三象限角.例：在單位圓中畫(huà)出適合下列條件的角α的終邊的范圍．并由此寫(xiě)出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)； (2)cosα≤－eq\f(1,2) 【方法與要點(diǎn)】1、一條規(guī)律三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦．終邊落在x軸上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；終邊落在y軸上的角的集合；終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合可以表示為2、兩個(gè)技巧(1)在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)，|OP|＝r一定是正值．(2)在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線(xiàn)是一個(gè)小技巧．3、三個(gè)注意(1)注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類(lèi)角，第一類(lèi)是象限角，第二類(lèi)、第三類(lèi)是區(qū)間角．(2)角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．(3)注意熟記0°～360°間特殊角的弧度表示，以方便解題．四、誘導(dǎo)公式1、類(lèi)型一：、、（）（1）假設(shè)是第一象限的角（2）利用旋轉(zhuǎn)，確定所在象限A（3）確認(rèn)原三角函數(shù)在象限A的符號(hào)。公式一：設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝ cos（2kπ＋α）＝ tan（2kπ＋α）＝ 公式二：設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）＝ cos（π＋α）＝ tan（π＋α）＝ 公式三：任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）＝ cos（－α）＝ tan（－α）＝ 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π－α）＝ cos（π－α）＝ tan（π－α）＝ 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π－α）＝ cos（2π－α）＝ tan（2π－α）＝ 練習(xí)：（1）化簡(jiǎn)：＝_________．（2）已知，求的值．2、類(lèi)型二：、、（）（1）改函數(shù)名稱(chēng)：、、（2）假設(shè)是第一象限的角（3）利用旋轉(zhuǎn)，確定所在象限A（4）確認(rèn)原三角函數(shù)在象限A的符號(hào)。公式六：π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2＋α）＝ cos（π/2＋α）＝ tan（π/2＋α）＝ sin（π/2－α）＝ cos（π/2－α）＝ tan（π/2－α）＝ sin（3π/2＋α）＝ cos（3π/2＋α）＝ tan（3π/2＋α）＝ sin（3π/2－α）＝ cos（3π/2－α）＝ an（3π/2－α）＝cotα 例：已知角α終邊上一點(diǎn)P(－4,3)，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin(－π－α),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的值為_(kāi)_______．※規(guī)律總結(jié)※：上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對(duì)于的三角函數(shù)值，①當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到α的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；②當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到α相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan.（奇變偶不變，符號(hào)看象限）【練習(xí)】1、求下列各三角函數(shù)值:①cos225°②tan（-11）2、sin1560°的值為()A、B、C、D、3、cos（-780°）等于()A、B、C、D、【典型例題分析】例1、求值（1）=__________．（2）=__________．（3）=__________．變式練習(xí)1：求下列函數(shù)值：變式練習(xí)2：若，則________．變式練習(xí)3：已知，則＝ ．【鞏固練習(xí)】（一）選擇題1、對(duì)于誘導(dǎo)公式中的角，下列說(shuō)法正確的是（）A．一定是銳角B．0≤＜2C．一定是正角D．是使公式有意義的任意角2、若則的值是（）A． B． C． D．3、sin·cos·tan的值是 A．－ B． C．－ D．4、（）A．sin2－cos2 B．cos2－sin2 C．±（sin2－cos2） D．sin2+cos25、已知，則的值為（）A．B．－2 C． D．6、如果A為銳角，，那么（）A、B、C、D、7、α是第四象限角,,則sinα等于()A.B.C.D.（二）填空題1、計(jì)算：cos（－2640°）+sin1665°＝．2、計(jì)算：＝．3、化簡(jiǎn)：＝_________．4、若，則＝________．5、已知，則的值為。（三）解答題1、化簡(jiǎn)：2、已知(1)化簡(jiǎn)；(2)若為第三象限角，且，求的值；(3)若，求的值．五、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.（3）倒數(shù)關(guān)系：2、四種方法在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα=eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．（、、三個(gè)式子知一可求二）(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝tanθcotθ＝taneq\f(π,4).（4）齊次式化切法：已知，則3、三個(gè)防范(1)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)——脫周——化銳．特別注意函數(shù)名稱(chēng)和符號(hào)的確定．(2)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào)．(3)注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化．例：已知f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))tanπ＋α)，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31π,3))).(1)化簡(jiǎn)是一種不指定答案的恒等變形，其結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值．(2)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則：負(fù)化正、大化小，化到銳角為終了．練習(xí)：已知角α終邊上一點(diǎn)P(－4,3)，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin(－π－α),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的值為_(kāi)_______題型1：已知一個(gè)三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)值【例2－1】?已知，，那么的值是（）ABCD（1）已知一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，要確定角所在的象限后再用平方關(guān)系，只有用到平方關(guān)系時(shí)，才考慮根號(hào)前面的符號(hào)。（2）若不能確定的象限時(shí)，則需進(jìn)行分類(lèi)討論.【訓(xùn)練1－1】已知，求、的值題型2：齊次化切法【例2－2】?已知tanα＝2.求：(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.(1)關(guān)于sinα，co