安徽省白澤湖中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.2．中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為，實(shí)軸長為2，則雙曲線C的方程為（）A. B.C. D.3．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a為（）A. B.或C. D.或4．若向量，，則（）A. B.C. D.5．定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則A.B.C.D.6．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，是數(shù)列的最小項(xiàng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知直線l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件9．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A， B.，C.， D.，11．已知在一次降雨過程中，某地降雨量（單位：mm）與時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可表示為，則在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度為（）mm/min.A. B.C.20 D.40012．已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．同時(shí)擲兩枚骰子，則點(diǎn)數(shù)和為7的概率是__________.14．拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，C上的一點(diǎn)M在l上的射影為N，已知線段FN的垂直平分線方程為，則___________；___________.15．若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是___________.16．設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，則為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，.（1）求點(diǎn)C到平面的距離；（2）試判斷與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.18．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m，交橢圓于A，B兩個(gè)不同點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求m的取值范圍；（Ⅲ）求證直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.19．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為（1）求及；（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線軸，垂足為H，，圓N過點(diǎn)O，與l的公共點(diǎn)的軌跡為（1）求的方程；（2）過M的直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，求21．（12分）在中，，，請?jiān)購臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，然后解答下列問題.（1）求角的大??；（2）求的面積.條件①：；條件②：.22．（10分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，前項(xiàng)和為，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴，即，，則錯(cuò)誤；，即，則錯(cuò)誤；，即，則錯(cuò)誤；，即，則正確；故選：.2、D【解析】根據(jù)條件，求出，的值，結(jié)合雙曲線的方程進(jìn)行求解即可【詳解】解：設(shè)雙曲線的方程為由已知得：，，再由，，雙曲線的方程為：故選：D3、B【解析】由題可得，即得.【詳解】∵直線與直線垂直，∴，解得或.故選：B.4、D【解析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得數(shù)量積，模，結(jié)合向量的共線定義判斷【詳解】由已知，，，與不垂直，若，則，，但是，，因此與不共線故選：D5、D【解析】分別構(gòu)造函數(shù)，，，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出【詳解】令，，，，恒成立，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，令，，，，恒成立，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，．綜上可得：，故選：D【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,本題考查的是利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題,通過題目中給定的不等式,分別構(gòu)造兩個(gè)不同的函數(shù)求導(dǎo)判出單調(diào)性從而比較函數(shù)值得大小關(guān)系．在討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，必須堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則．對于函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題，注意挖掘隱含在實(shí)際中的條件，避免忽略實(shí)際意義對定義域的影響6、C【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程即可解決.【詳解】則，又則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C7、D【解析】利用最值的含義轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決即可【詳解】解：由題意可得，整理得，當(dāng)時(shí)，不等式化簡為恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，不等式化簡為恒成立，所以，綜上，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D8、C【解析】利用兩直線平行的等價(jià)條件求得m，再結(jié)合充分必要條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】由直線l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)m＝－1時(shí)，直線l1與l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的充要條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的條件，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，注意充分必要條件的判斷是基礎(chǔ)題9、B【解析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可得離心率.【詳解】如圖所示：因?yàn)闉榈妊切?，且，又，所以，所以，過點(diǎn)作軸，垂足為，則，由，，得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.10、A【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.11、B【解析】對題設(shè)函數(shù)求導(dǎo)，再求時(shí)對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，則，所以在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度為mm/min.故選：B12、A【解析】根據(jù)平行直線的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與：平行，所以有，因?yàn)閮蓷l平行直線：與：間距離為3，所以，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用古典概型的概率計(jì)算公式即得.【詳解】依題意，記拋擲兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)分別為，，則可得到數(shù)組共有組，其中滿足的組數(shù)共有6組，分別為，，，，，，因此所求的概率等于.故答案為：.14、①.2②.4【解析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義可得線段FN的中點(diǎn)及點(diǎn)M都在線段FN的垂直平分線，再列式計(jì)算作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線l：，設(shè)點(diǎn)，則，線段FN的中點(diǎn)，由拋物線定義知：，即點(diǎn)M在線段FN的垂直平分線，因此，，解得，而，則有，，所以，.故答案為：2；4【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離15、5【解析】根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線的距離即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程為，所以準(zhǔn)線方程，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離.故答案為：16、【解析】將方程化為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用雙曲線的定義進(jìn)行求解.【詳解】將化為，所以，，由雙曲線的定義，得：，即，所以或（舍）故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）平行，證明過程見解析.【解析】（1）利用等體積法即可求解；（2）利用線面平行判定即可求解.【小問1詳解】解：正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，所以，，正三棱柱中，所以又因?yàn)檎庵?，?cè)面平面且交線為且平面中，所以平面又平面所以設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為在三棱錐中，即所以點(diǎn)C到平面的距離為.【小問2詳解】與平面的位置，證明如下：連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示，因?yàn)檎庵膫?cè)面為矩形所以為的中點(diǎn)又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)所以為的中位線所以又因?yàn)槠矫妫移矫嫠云矫?8、（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程組，從而求得橢圓的方程；（Ⅱ）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立消元，根據(jù)直線與橢圓方程有兩個(gè)不同交點(diǎn)，利用即可求出m取值范圍；（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，根據(jù)題意把所證問題轉(zhuǎn)化為證明k1+k2=0即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得，解得，∴橢圓方程為；（Ⅱ）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，，所以設(shè)直線的方程為，由消元，得∵直線l與橢圓交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，所以，解得，所以m的取值范圍為.（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可，設(shè)，由（Ⅱ）可知，則，由，而，，故直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.19、（1）；（2）【解析】(1)先根據(jù)已知求出，再求及.(2)先根據(jù)已知得到，再利用分組求和求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?，所以，解得，所以?=.（2）由已知得，由（1）知，所以，=.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和求法，考查分組求和和等比數(shù)列的求和公式，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.這叫分組求和法.20、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)出圓N與l的公共點(diǎn)坐標(biāo)，再探求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，并由圓的性質(zhì)列出方程化簡即得.(2)設(shè)出直線AB的方程，與的方程聯(lián)立，結(jié)合已知條件并借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.【小問1詳解】設(shè)為圓N與l的公共點(diǎn)，而直線軸，垂足為H，則，又，，于是得，因O，P在圓N上，即，則有，化簡整理得：，所以的方程為.【小問2詳解】顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線AB的方程為，，由消去x并整理得：，則，因?yàn)?，則點(diǎn)A到x軸距離是點(diǎn)B到x軸距離的2倍，即，由解得或，則有，因此有，所以.21、（1）條件選擇見解析，（2）【解析】（1）選①，利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍，即可求得角的值；選②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍，即可求得角的值；（2）利用三角